精品解析：湖南娄底市双峰县芙蓉学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

湖南省2026年九年级（上）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、单选题（本大题共10小题，满分30分） 1. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（ ） A. 一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B. 一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C. 不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D. 不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 4. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则DE的值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 8. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 12. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 13. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则___________． 14. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 15. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 16. 如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 按要求进行计算． （1）； （2）已知，且，求的值． 18. 如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的值为________． 20. 如图所示，在中，点D在上，点E在上，且，，，． （1）求的长． （2）若四边形BCDE的面积为，求的面积． 21. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点、、、在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 22. 如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 23. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年九年级（上）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、单选题（本大题共10小题，满分30分） 1. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3. 如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（ ） A. 一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B. 一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C. 不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D. 不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用勾股定理计算出各边长度，再验证三边是否成比例． 设方格边长为1，用勾股定理算出和三边的长度．计算两组三角形对应边的比值，发现三组对应边比例相等．根据“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理，得出两三角形一定相似的结论．对照选项，选出正确答案． 【详解】解：设每个小方格的边长为1， 在中： ，， 在中： ，， ，， ∴三组对应边的比例相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可以判定与一定相似． A．仅为直角三角形不能判定相似，还需要对应边成比例或对应角相等，故本选项不符合题意； B．因为两个三角形的对应边成比例，满足相似三角形的判定条件，故本选项符合题意； C．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； D．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 5. 已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 6. 如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则DE的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用平行线分线段成比例可得DE与EF之比，再根据DF＝12，可得答案． 【详解】， ， ， ， ， ， 故选C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键． 7. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 8. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 9. 如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 10. 如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，   四边形 四边形，且相似比为  .   四边形的面积为，   四边形的面积为． 12. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 13. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用格点构建，则，根据勾股定理可计算出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，， ∴， ∴． 14. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 15. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 16. 如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：设交于点M．由矩形的性质可证明，即，设，则有，，再代入得到比例式求解即可． 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则有，， ，解得：， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 按要求进行计算． （1）； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值计算即可得出结果； （2）设，则，，，再结合计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴设， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 18. 如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 【答案】14 【解析】 【分析】根据和的面积比求出边长比，再根据，利用相似三角形的性质确定各边长的比例求出的长度，进而求出的长． 【详解】解：的面积等于，的面积等于， ． ． ， ． ， ， ． ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出点的坐标为________，的值为________． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）证明，结合位似的性质和三角函数计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点的坐标为； 由题意知，， ，，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图所示，在中，点D在上，点E在上，且，，，． （1）求的长． （2）若四边形BCDE的面积为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质． （1）根据题意可得，再利用相似三角形性质即可得到本题答案； （2）由（1）知，设的面积为，利用相似三角形面积比等于相似比的平方列式即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即：； 【小问2详解】 解：设的面积为，则的面积为， ∵ ∴，解得：， ∴的面积为． 21. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点、、、在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，由相似三角形的判定与性质得到，代入计算即可； （2）由相似三角形的判定与性质得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ，则， 即， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ， ， ， 解得， 答：灯泡到地面的高度为． 22. 如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． （1）求证：； （2）如果，，求的值． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 23. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）可知， ， ． 24. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $