函数的单调性常见的五种题型专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数的单调性常见的五种题型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一：根据函数图象判断单调性 1．设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 3．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是(　　)　　 A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上没有单调性 题型二：单调性的判断与单调区间的求解 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数的增区间为( ) A． B． C． D． 4．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　) A． y＝－x B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 8．下列函数为增函数的是（   ） A． B． C．（是自变量） D． 9．函数的单调递减区间为______. 10．已知函数，则的单调递增区间是___________． 11．函数的单调减区间为______. 12．函数的单调递减区间是________． 13．函数的单调减区间为__________. 14．函数的单调递减区间为___________. 题型三：利用单调性比较大小与解不等式 1．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 2．函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．设，已知的解是，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为_____________. 9．定义在上的函数，对任意不相等的、满足，且，则使成立的的取值范围是________. 题型四：利用单调性求参数的取值范围与最值 1．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 5．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 6．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 7．已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 8．已知函数，，若对任意．及对任意，都有，则实数a的值可以是（    ） A． B． C．2 D．3 9．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C．， D． 10．已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 12．若函数在区间上的最大值为，则实数_______. 13．若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是__________. 14．已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 题型五：解答题——用定义法证明单调性及其应用 1．已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 2．已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)若，求实数的取值范围． 3．已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 4．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若对任意的，都有，求的取值范围． 5．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 6．已知函数. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求函数在上的值域. 7．已知函数． (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 8．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 参考答案与解析 题型一：根据函数图象判断单调性（参考答案） 【答案速览】1．B　2．C　3．C 1．B 【分析】根据函数的定义以及定义域与值域，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】A图象不满足定义域要求； D图象中存在值对应两个值，不满足函数概念； C图象不满足单调函数概念； B图象满足定义域为，值域为，且单调递减. 故选：B 2．C 【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C 3．C 【详解】由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A、B选项是正确的； 又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减， 但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C选项错误； 观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D选项正确. 故选C. 要知道四个选项中哪个是错误的，考虑先根据函数图象写出函数的单调区间； 根据题意可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，据此可判断A、B选项； 函数在[-3，1]和[4，5]上单调递减，据此判断其余选项，试试吧！ 题型二：单调性的判断与单调区间的求解（参考答案） 【答案速览】1．B　2．A　3．C　4．A　5．B　6．B　7．AC　8．BD 1．B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 2．A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 3．C 【分析】先求导，再解不等式得结果. 【详解】 ，∴的解为，故函数的增区间为， 故选:C． 4．A 【分析】分别根据函数单调性的性质进行判断即可. 【详解】对于A，＝在(0，＋∞)内是减函数，＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数； B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调； 选项D中，y′＝－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝－x在(0，＋∞)上是增函数； 故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断给定函数在某个区间上的单调性的问题，解题的关键是要明确基本初等函数的单调性，属于简单题目. 5．B 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解 【详解】由题可知，或， 可看作，则为增函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，根据复合函数的增减性，当时，为减函数 故选：B 【点睛】本题考查对数型复合函数的增减区间判断，属于基础题 6．B 【分析】根据基本函数的解析式直接判断单调性即可. 【详解】对于A，是单调递减函数，故A不正确； 对于B，，在上单调递减，在上单调递增， 故B正确； 对于C，当时，，函数单调递减，故C不正确； 对于D，，由向右平移1个单位变换得到， 所以在区间和上单调递增，故D不正确. 故选：B. 7．AC 【分析】结合函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数， 且在上单调递增，A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称，由，得， 所以不是偶函数，B不正确； 对于C，由，，定义域关于原点对称， 得，所以是偶函数， 且在上单调递增，C正确； 对于D，由，定义域关于原点对称， 得，是偶函数. 当时，，故在上单调递减，D不正确. 故选：AC. 8．BD 【分析】根据增函数的定义，结合幂函数以及对勾函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由函数可得其定义域为， 由，且，则，故A错误； 对于B，由函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，，故是增函数，故B正确； 对于C，当时，不是增函数，故C错误； 对于D，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，由， 则函数在上单调递增，故D正确. 故选：BD. 9． 【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果. 【详解】由，得到或， 函数的图像如图所示， 由图知，函数的单调递减区间为， 故答案为：. 10． 【解析】分段分析函数的单调性，即可求出函数的递增区间. 【详解】当时，在上单调递增，且 当时，在上单调递增，且时，， 所以函数在上单调递增， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题. 11．， 【分析】讨论，，去掉绝对值号，在每种情况下，据二次函数的单调区间的求法，写出每种情况的单调减区间，即可得出的单调减区间. 【详解】①当时，，对称轴为∴此时的减区间为； ②当时，，对称轴为∴此时的减区间为； ∴综上：的单调减区间为，. 故答案为：，. 12． 【分析】讨论的符号去绝对值，得到的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间 【详解】函数图像如下图示 可知，的单调递减区间为 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题 13．/ 【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解. 【详解】函数是由函数和组成的复合函数， ，解得或， 函数的定义域是或， 因为函数在单调递减，在单调递增， 而在上单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间． 故答案为：. 14．(或都对) 【解析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 【详解】令，则， 在单调递减，在单调递增， 根据复合函数的单调性可得：在单调递减， 故答案为：. 题型三：利用单调性比较大小与解不等式（参考答案） 【答案速览】1．B　2．D　3．C　4．C　5．A　6．D　7．D 1．B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 2．D 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 3．C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 4．C 【分析】确定函数开口向下，对称轴为，得到大小关系. 【详解】的解是，则，对称轴为，故. 故选：. 【点睛】本题考查了不等式与函数的关系，意在考查学生的计算能力. 5．A 【分析】根据的定义域以及单调性可得，满足的条件，由此即可解得的范围． 【详解】由题意，函数是定义在上的减函数，因为 得 ，解得， 所以x的取值范围是 . 故选：A. 6．D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 7．D 【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可. 【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8． 【分析】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【详解】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为： 9． 【分析】令，其中，设，推导出函数是定义在上的减函数，将所求不等式变形为，解之即可. 【详解】对任意的、满足， 不妨设，则，则， 令，其中，则， 所以，函数是定义在上的减函数，且， 由可得，解得. 故使得不等式成立的的取值范围是. 故答案为：. 题型四：利用单调性求参数的取值范围与最值（参考答案） 【答案速览】1．C　2．B　3．C　4．A　5．B　6．C　7．C　8．CD　9．AC　10．AD 1．C 【分析】由可得函数在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由有函数在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C. 2．B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 3．C 【分析】根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围 【详解】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 4．A 【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得. 【详解】， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 故选：A 5．B 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B 6．C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 7．C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 8．CD 【分析】因为对任意及对任意，都有，所以，根据以及解析式的结构分别求出最小值和最大值即可. 【详解】当对任意时，，当且仅当，即时，等号成立，所以在上； 又， 当，即时，在上，由，解得，所以； 当，即时，在上，由，解得，所以； 综上可知，实数a的取值范围是； 故选：CD． 9．AC 【分析】AC选项通过函数单调性求值域；B选项通过二次函数的性质求值域；D选项通过基本不等式求值域. 【详解】对于A： ，，函数在定义域上单调递增， 又，，所以，故A正确； 对于B：由，所以，即，故B错误； 对于C： ，，函数在定义域上单调递增， 又，，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，故D错误； 故选：AC 10．AD 【分析】根据函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】函数区间上是增函数，在区间上是减函数，则， 函数的最大值为， 、的大小关系不确定，、的大小关系不确定， 故AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 11． 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 12．3 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】∵函数， 由复合函数的单调性知， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为， 即，显然不合题意， 故实数. 故答案为：3 13． 【分析】根据题意，转化为不等式，即可求解. 【详解】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度， 当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 题型五：解答题——用定义法证明单调性及其应用（参考答案） 1．(1) (2)证明： ，且， ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）利用函数单调性，可求函数在区间内的最值. 【详解】（1）由函数过点，有， 解得， 所以的解析式为：． （2）略 （3）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 2．(1)函数在上单调递增；证明如下： 设， 则， 化简得：， 因为，所以，，， 则，即， 所以函数在上单调递增； (2)或. 【分析】（1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【详解】（1）略 （2）因为在上单调递增，且， 所以可得， 由，得，则； 由，得，则； 由，即，因式分解得， 则或，即或， 解得或； 综上可得或. 3．(1) 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 4．(1) 在上单调递增，下面证明： 若，则. 即，所以在上单调递增． (2) 【分析】（1）任取，由可得结论； （2）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1）略 （2）若，则，不满足条件； 若，则对任意，都有，满足条件. 所以的取值范围是． 5．(1) (2) 【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式； （2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上， 则可设，， 即， 由的图象过点，可得，解得， 所以，即. （2）因为，对称轴， 因为在上是单调函数，所以或，解得或， 即实数的取值范围. 6．(1)在上单调递减. 任取， ∵，∴，，， ∴， ∴在上单调递减. (2) 【分析】（1）由双勾函数知道在上单调递减，由定义法证明函数单调递减； （2）由（1）知道单调区间，从而求出值域. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在上单调递减， ∴ ∴在的值域： 7．(1)证明：任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递减. (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，转化为任意，使得恒成立，由（1），得到函数在为单调递减函数，求得，即可求解. 【详解】（1）略； （2）解：因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 当时，可得，所以， 所以实数a的取值范围． 8．(1) 证明：因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； (2). 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $