第8讲 单调性与最大(小)值(二)专项训练-2027届高三数学第一轮复习（适用于艺体生）

**基本信息** 聚焦单调性应用的基础专项训练，通过题型分类与典例变式，构建从概念到应用的递进逻辑，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较函数值大小|2典例+2变式|已知单调性比较函数值，含抽象函数与具体函数|以单调性概念为核心，从直接应用到综合性质应用，形成问题解决链| |求函数最值|2典例+2变式|利用单调性求闭区间最值及值域，涉及一次、二次函数| |解函数不等式|2典例+2变式|结合单调性与奇偶性等性质解抽象函数不等式|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第8讲　单调性与最大(小)值（二） （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 梳题型 · 提能力 ❀ 题型一 利用单调性比较函数值的大小 【典例1】已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，推出，再根据函数在上的单调性即得. 【详解】由可知，， 且在上单调递减，故，即. 故选：A. 【典例2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的性质可知，，又，，所以构造函数，再利用函数的单调性比较，的大小即可． 【详解】，，， ，， ，， 构造函数， 显然函数在上单调递增， 又， ，即， ， 故选：． 【变式1】已知函数，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得为偶函数，且在上为减函数，再利用对数函数性质得，从而可解. 【详解】因为函数定义域为，且， 则函数为偶函数， 且与在上为减函数，所以函数在上为减函数， 因为， ，而， 所以， 所以， 即. 故选：A 【变式2】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数研究在上的单调性，利用单调性得到，，将变形，利用函数在上单调性得到，即可得解. 【详解】因为，所以令，. 令，解得. 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 因为，所以，即； 因为，所以，即. 而和，则 综上可知，. 故选：D 题型二　利用单调性求函数的最值 【典例1】函数 的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值 【详解】由，得， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 故选：D 【典例2】函数在区间上的最小值是（         ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】对函数求导，判断函数单调性，结合所给区间，即得函数最小值. 【详解】由求导得，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故当时， 又由，可得， 故 故选：A. 【变式1】函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 【变式2】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 题型三　利用单调性解函数不等式 【典例1】已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 【典例2】若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由 ， 故选：C 【变式1】已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据函数的单调性可知函数在上单调递减，原不等式可转化为，解之即可. 【详解】由题意知，， 得，设， 则函数在上单调递减，且， 不等式等价于， 即， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 故选：D. 【变式2】已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性可求不等式解集. 【详解】因为当时，，即， 所以在上单调递减， 因为， 所以，所以，解得，所以不等式解集为， 故选：C. ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 1、 单选题 1. 若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上是增函数，，解得：； 则， 故选：B. 2. 函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 故选：C． 3. 函数的最小值为（    ） A． B．2 C．0 D．不存在 【答案】A 【详解】由函数表达式可知函数的定义域为， 因为，分别在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以最小值为． 故选：A． 4. 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 故选：D 5. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的，都有， 所以在上单调递减， 因为函数是定义在上的奇函数，，， 所以在上单调递减，则可画出的简图，如图所示，    所以， 则或或， 即或或， 解得， 故选：D． 7. 已知函数在区间上有最大值6，最小值5.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以当时， 令，解得或， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以若在区间上有最大值6，最小值5， 则有，即， 故选：C. 8. 已知函数的图象关于直线对称，当且，时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当且，时，恒成立， 可得在上单调递减，且关于对称， 所以在上单调递增，， ，， 即. 故选：D. 9. 设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 2、 多选题 10. （多选）函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是（   ） A．函数在R上是单调递减函数 B． C． D．的解为 【答案】BD 【详解】由，得， 因此在上单调递增，A错误； 由，得，B正确； 不一定有，如在上为增函数，，C错误； 由，得，解得，D正确. 故选：BD 11. （多选）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（    ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若则不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】令，则，又，所以. 当时，，所以， 又，所以，即.故A错误，B正确： 设，则 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即，所以在上单调递减，C正确： 因为，所以， 不等式即 又在上单调递减，所以，解得， 所以等式的解集为D正确. 故选：BCD. 12. 函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）<f（2a），则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】依题意. 所以的取值范围是. 13. 设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则__________. 【答案】 【详解】因为， 因为时，，随着的增大，函数的值越来越小，即函数在上单调递减. 所以，. 所以. 故答案为： 14. 设函数 ，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 3、 解答题 15. 已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 16. 已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【详解】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第8讲　单调性与最大(小)值（二） （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 梳题型 · 提能力 ❀ 题型一 利用单调性比较函数值的大小 【典例1】已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型二　利用单调性求函数的最值 【典例1】函数 的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】函数在区间上的最小值是（         ） A． B． C． D．0 【变式1】函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 题型三　利用单调性解函数不等式 【典例1】已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（   ） A． B． C． D． ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 1、 单选题 1. 若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2. 函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 3. 函数的最小值为（    ） A． B．2 C．0 D．不存在 4. 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数在区间上有最大值6，最小值5.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 已知函数的图象关于直线对称，当且，时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9. 设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2、 多选题 10. （多选）函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是（   ） A．函数在R上是单调递减函数 B． C． D．的解为 11. （多选）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（    ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若则不等式的解集为 12. 函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）<f（2a），则实数a的取值范围是________． 13. 设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则__________. 14. 设函数 ，则满足的的取值范围是_____. 3、 解答题 15. 已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 16. 已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $