第7课时 函数的单调性和最值 专项训练-2027届高三数学一轮复习

第7课时　 函数的单调性和最值 1．若函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥0　　　　　　　　 B．b≤0 C．b>0 D．b<0 2．下列函数中，在区间(－1，1)上单调递减的是(　　) A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x 3．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．{－2} C．(－∞，－2] D．(－∞，－2) 4．已知函数f(x)＝lg x－，f(m)＝1，且0<p<m<n，则(　　) A．f(n)<1且f(p)>1 B．f(n)>1且f(p)>1 C．f(n)>1且f(p)<1 D．f(n)<1且f(p)<1 5．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1，3] D．[－1，1] 6．已知函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是(　　) A．(0，3] B．[2，＋∞) C．(0，＋∞) D．[2，3] 7．已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，0] B．[0，1) C．[1，＋∞) D．[－1，0] 9．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0成立，且f(3)＝6，则不等式>2的解集为(　　) A．(3，＋∞) B．(0，3) C．(0，2) D．(2，＋∞) 10．【多选题】已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是(　　) A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a>0时，f(x)的值域为R 11．在下列给出的4个条件中， ① ② ③ ④ 能使函数y＝loga为减函数的是________(把你认为正确的条件编号都填上)． 12．已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则f(x)的单调递增区间为________；若x∈[－2，1]，则f(x)的最小值为________． 13．已知函数y＝log(6－ax＋x2)在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________． 14．已知函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求m，n的值； (2)用定义法判定f(x)的单调性； (3)求使f(a－1)＋f(a2－1)<0成立的实数a的取值范围． 15．若函数f(x)＝e2x－4ex＋5在(m，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A．(ln 2，＋∞) B．[ln 2，＋∞) C．(e2，＋∞) D．[e2，＋∞) 16．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则F(x)(　　) A．最大值为3，最小值为－1 B．最大值为7－2，无最小值 C．最大值为3，无最小值 D．无最大值，最小值为－1 17．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a，b都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)和f的值； (2)试用单调性定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(t)＋f(2t－1)>1的t的取值范围． 第7课时 函数的单调性和最值参考答案 1．答案　A 2．答案　D 解析　函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1，1)上都单调递增，函数y＝cos x在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，而函数y＝2－x＝在(－1，1)上单调递减．故选D. 3．答案　C 解析　f(x)＝＝1＋，若f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，则 故k≤－2. 4．答案　C 解析　易知函数y＝lg x与y＝－都是(0，＋∞)上的增函数，∴函数f(x)＝lg x－是(0，＋∞)上的增函数，∵0<p<m<n，且f(m)＝1， ∴f(p)<f(m)＝1<f(n)． 5．答案　D 解析　函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定义域为[－1，3]，因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f(x)＝在[－1，1]上单调递增．故选D. 6．答案　D 解析　因为函数f(x)满足对任意实数x1≠x2，都有<0成立，则函数f(x)在R上单调递减，则解得2≤a≤3，所以a的取值范围是[2，3]．故选D. 7．答案　A 解析　y＝ex是增函数，y＝－e－x是增函数，因此在(0，＋∞)上f(x)＝ex－e－x单调递增，且此时f(x)>0； 又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增， 且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增． c＝log20.9<0，0<b＝log32<1，a＝50.01>1， 即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)． 8．答案　B 解析　g(x)＝其函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1)．故选B. 9．答案　A 解析　令g(x)＝， 因为对∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0成立， 不妨设0<x1<x2，则x1－x2<0，故x2f(x1)－x1f(x2)<0，则<， 即g(x1)<g(x2)， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为f(3)＝6，所以g(3)＝＝2，故>2可化为g(x)>g(3)， 所以由g(x)的单调性可得x>3，即不等式>2的解集为(3，＋∞)．故选A. 10．答案　BCD 解析　f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当a>0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增，但在整个定义域上不是单调递增的，故A错误；当a>0，x→－∞时，f(x)→－∞，x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B、C正确． 11．答案　①④ 12．答案　[－1，1]　－1 解析　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝x|x|－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x，由二次函数性质得函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．由奇函数在对称区间的单调性一致，得函数f(x)在[－1，0]上单调递增，且f(0)＝0，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1]．同样根据奇函数的对称性可得函数f(x)在[－2，－1]上单调递减．所以在[－2，1]上f(x)的最小值为f(－1)＝1×1＋2×(－1)＝－1. 13．答案　[4，5) 解析　设u＝6－ax＋x2， ∵y＝logu为减函数， ∴函数u＝6－ax＋x2在[1，2]上单调递减， ∴≥2，且u>0在[1，2]上恒成立． ∴解得4≤a<5， ∴实数a的取值范围是[4，5)． 14．答案　(1)2，0　(2)f(x)在[－1，1]上是增函数　(3)[0，1) 解析　(1)因为函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数， 所以f(0)＝0，又f(1)＝1，解得 验证：当m＝2，n＝0时，f(x)＝. f(x)的定义域[－1，1]关于原点对称， 且对任意x∈[－1，1]，都有f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，满足题意． 故m＝2，n＝0. (2)由(1)知，f(x)＝，x∈[－1，1]． 设∀x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝， ∵－1≤x1<x2≤1， ∴x2－x1>0，x1x2－1<0，(x＋1)(x＋1)>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1，1]上是增函数． (3)f(a－1)＋f(a2－1)<0⇔f(a－1)<－f(a2－1)， 因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以－f(a2－1)＝f(1－a2)， 则f(a－1)<f(1－a2)， 由(2)知f(x)＝在[－1，1]上是增函数， 所以解得0≤a<1.故实数a的取值范围是[0，1)． 15．答案　B 解析　设ex＝t(t>0)，g(t)＝t2－4t＋5(t>0)，而y＝t2－4t＋5(t∈R)图象的对称轴方程为t＝2，故g(t)＝t2－4t＋5在[2，＋∞)上单调递增，又y＝ex为增函数，所以令ex≥2，解得x≥ln 2，即f(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝e2x－4ex＋5在(m，＋∞)上单调递增，故m≥ln 2，即实数m的取值范围为[ln 2，＋∞)． 16．答案　B 解析　根据已知条件， 可以求出F(x)＝ 其图象如图中实线部分所示， 所以F(x)有最大值F(2－)＝7－2，无最小值．B正确．故选B. 17．答案　(1)0，2　(2)证明见解析　(3)<t< 解析　(1)令a＝b＝1，可得2f(1)＝f(1)，解得f(1)＝0.令a＝b＝2，可得2f(2)＝f(4)＝－2. 令a＝4，b＝，可得f(4)＋f＝f(1)＝0，即有f＝－f(4)＝2. (2)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2，可得>1，即有f<0，则f(x2)＝f＝f(x1)＋f<f(x1)， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． (3)令a＝b＝，可得2f＝f＝2，即f＝1. 因为f(t)＋f(2t－1)＝f(t(2t－1))>1＝f， 所以解得<t<. 所以满足f(t)＋f(2t－1)>1的t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $