精品解析：江西省南昌中学三经路校区2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026-2027学年度第一学期南昌中学三经路校区10月份月考 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合交集的概念与运算，可得. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定方法：将任意改为存在并否定原结论，即可知答案. 【详解】命题：，的否定是，、 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式，即，即，解得. 当时，，不能推出， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则，一定满足， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 5. “，恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，恒成立，所以， 而在上单调递增，所以，即， 所以题目即变为选择的一个充分不必要条件， 从而选择的选项应该为的真子集，从而C正确. 6. ，使得关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将参数与未知数分离，得到，根据题目条件得出，利用基本不等式即可得出实数的取值范围 【详解】因为，所以有， 由，使得关于的不等式有解可得， 又因为，当且仅当，即（舍去负值）时等号成立， 又，所以， 所以实数的取值范围为. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，可得， 即，解得或， 当时，可得， 即，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 8. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最大值，即可判断A；利用“1”将原式变形，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断B；利用二次函数求出的最小值，即可判断C；利用“1”将原式变形，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断D. 【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故A不正确； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2，故B不正确； 由可得， 所以， 因为，故当时，取到最小值，故C正确； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 若，则 C. 方程组的解组成的集合为 D. 集合与是同一个集合 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方程的根，即可求解A，根据集合中元素的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 的最小值为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式，转化为，可判定A正确；利用基本不等式等号成立的条件，可判定B不正确；根据绝对值不等式的定义与解法，可判定C正确；根据不等式的解法，可判定D不正确. 【详解】对于A，因为，当且仅当时，等号成立， 又因为，所以，解得， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当，即时，等号成立， 显然不成立，所以，所以B不正确； 对于C，由不等式，可得或，解得或， 所以不等式的解集为或，所以C正确； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 所以不等式，即为且， 解得或或，所以不等式的解集为，所以D不正确. 11. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有两个根，且；则 D. 若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可知，，，然后根据二次函数图象与性质逐项判断即可. 【详解】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的解，且， 所以，所以， 所以等价于，等价于， 解得或，所以不等式的解集为. 13. 若“，”是假命题，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】若“，”是假命题， 则“，”是真命题. 当时，显然成立； 当时，，解得； 综上，. 14. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，再根据集合间的运算可得； （2）由是的充分不必要条件，可知是的真子集，根据集合间的关系列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知， 当时，， 则； 【小问2详解】 由已知是的充分不必要条件，则是的真子集， 又，所以，则，即， 由是的真子集，则满足且等号不能同时成立，解得，即， 又当时，两不等式同时取等号，即，不符合题意， 所以的取值范围为. 16. 回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【小问1详解】 因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. 【小问2详解】 令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 17. 已知． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）问题等价于一元二次不等式在实数集上恒成立，当且仅当，由此即可求解. （2）先求出命题为真命题时的取值范围，然后再分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由，若为真命题， 则，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题， 则， 只需，所以，分以下两种情形来讨论： 情形一：若一个是真命题，一个是假命题，当是真命题，是假命题时， 则，解得， 情形二：当是假命题，是真命题时， 则，解得， 综上所述. 18. 如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高. （1）试将垃圾池的总造价（元）表示为的函数，并指出的取值范围； （2）垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1），； （2）高为m，垃圾池总造价最低为9600元. 【解析】 【分析】（1）（2）利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，进而结合池壁、池底面积，得出总造价，再利用均值不等式求出最值. 【小问1详解】 无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为m，则宽m， ，即，. 【小问2详解】 由（1）知，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当垃圾池的高为m，宽为3m时，垃圾池总造价最低为9600元. 19. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可直接求得结果； （2）采用参变分离的方法可得，利用基本不等式可求得，由此可得结果； （3）分别讨论、和的情况，结合一元二次方程两根大小关系可确定不等式的解集. 【小问1详解】 当时，， 解得：，即的解集为. 【小问2详解】 ，， 恒成立，对任意恒成立， （当且仅当时取等号），，， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由得：， ①当时，，解得：； ②当时，的解集为； ③当时，令，解得：或， 若，则，不等式无解； 若，则，则的解集为； 若，则，则的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期南昌中学三经路校区10月份月考 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. “，恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. ，使得关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 若，则 C. 方程组的解组成的集合为 D. 集合与是同一个集合 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 的最小值为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为或 11. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有两个根，且；则 D. 若方程有四个根，则这四个根的和为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 13. 若“，”是假命题，则的取值范围是______ 14. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 17. 已知． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 18. 如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高. （1）试将垃圾池的总造价（元）表示为的函数，并指出的取值范围； （2）垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？ 19. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $