专题03 双曲线定义、方程与渐近线（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03双曲线定义、方程与渐近线 常考题型·精准突破 题型1 双曲线定义及应用 题型2 利用双曲线定义求方程 题型3 利用双曲线定义求最值问题 题型4 双曲线中焦点三角形问题 题型5 判断方程是否表示双曲线 题型6 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型7 根据双曲线过的点求标准方程 题型8 求双曲线的轨迹方程 题型9 双曲线的实际应用 题型10渐近线方程 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 双曲线定义及应用 ( 解题贴士 ： 双曲线的定义中 ， 距离的差要加绝对值 ， 否则只表示双曲线的一支 . ) 【例1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【解析】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以.综上，. 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【解析】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ，， 则．故选：B． 【变式2】（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【解析】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为，故选D 【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解析】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.故选：A 【变式4】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】由题意得，得.故选：D 【变式5】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【解析】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. ◆题型2 利用双曲线定义求方程 ( 解题贴士 ： 根据双曲线的定义得到相应的 a ， b ， c ， 再写出双曲线的标准方程 ) 【例2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为，故选B. 【变式1】（25-26高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为，故选D. 【变式2】（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选A. 【变式3】（25-26高二上·天津河西·期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且， 由题意可得，解得，∴双曲线的方程为.故选A. 【变式4】（25-26高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是________． 【答案】 【解析】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 【变式5】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为________． 【答案】 【解析】因为, 所以曲线的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线， 所以，所以曲线的方程为. ◆题型3 利用双曲线定义求最值问题 ( 解题贴士 ： 设双曲线方程为 － ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）， F 1 ， F 2 分别为双曲线的左、右焦点 ， Q （ x 0 ， y 0 ） 为平面上一定点 ， M 为双曲线右支上任意一点 . （ 1 ） 若定点 Q （ x 0 ， y 0 ） 与双曲线右焦点 F 2 在双曲线右支的同侧 ， 则 ｜ MQ ｜＋｜ MF 2 ｜ 的最小值是 ｜ QF 1 ｜－ 2 a ， 最大值不存在 ； （ 2 ） 若定点 Q （ x 0 ， y 0 ） 与双曲线右焦点 F 2 在双曲线右支的异侧 ， 则 ｜ MQ ｜＋｜ MF 2 ｜ 的最小值是 ｜ QF 2 ｜， 最大值不存在 . ) 【例3】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 【变式1】（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立，故选B. 【变式2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ，故的最小值为，故选B. 【变式3】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 【变式4】（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 【变式5】（25-26高一下·江西景德镇·期末）、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、．当取最小值时，的周长为______． 【答案】 【解析】由条件可知，，， ， 当最小时，取得最小值， 由条件可知通径最短，即当直线轴时，最小，此时， 所以的最小值是，此时的周长是. 【变式6】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 【变式7】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【解析】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 ◆题型4 双曲线中焦点三角形问题 ( 解题贴士 ： 在焦点三角形中 ， 常利用正弦定理、余弦定理 ， 结合 ｜｜ PF 1 ｜－｜ PF 2 ｜｜＝ 2 a ， 运用平方的方法 ， 建立与 ｜ PF 1 ｜ · ｜ PF 2 ｜ 的联系 ， 求解 ｜ PF 1 ｜ 和 ｜ PF 2 ｜ 的值 ， △ PF 1 F 2 的周长与面积等问题 . ) 【例4】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得，故选A. 【变式2】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又，所以．故选：C. 【变式4】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，. 又，所以， 则，所以， 可得，则的面积为. 故选：B. 【变式5】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设. 双曲线方程化成标准方程为，可得， 因为的面积为4，所以，则， 又，则，故.所以，， 则，所以， 故，故选：C. 【变式6】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【解析】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 【变式7】（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【解析】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 【变式8】（25-26高二上·全国·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 【答案】1 【解析】由题可知,所以，， 所以由余弦定理 . 所以. 【变式9】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． 【答案】 【解析】依题意得，根据题意，作图如下：   因为为等边三角形．故可得， 在直角三角形中，可得, 根据双曲线的定义：，解得：. ◆题型5 判断双曲线方程是否表示双曲线 ( 解题贴士 ： 双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式 ， 假如双曲线的方程为 ＋ ＝ 1 ， 则当 mn ＜ 0 时 ， 方程表示双曲线 . 若 则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线 ； 若 则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 . ) 【例5】（2026·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【解析】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 【变式1】（25-26高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件.故选：C. 【变式3】（多选）（26-27高二上·全国·课后作业）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【解析】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. ◆题型6 根据方程表示双曲线求参数的范围 【例6】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意得：，解得或. 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件.故选：C. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件.故选：C. 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件.故选：C. 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件.故选：C. 【变式5】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件.故选：C. 【变式6】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件.故选：C. 【变式7】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 【变式8】（2026·贵州安顺·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 【变式9】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由方程表示双曲线， 可得，解得或，故选D 【变式10】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【变式11】（25-26高二上·广西南宁·期末）方程表示双曲线时，实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程表示双曲线，则，解得：, 即实数的取值范围为 故选：C 【变式12】若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】因为方程表示双曲线， 所以，即或， 解得或，所以实数的取值范围是. ◆题型7 根据双曲线过的点求标准方程 ( 解题贴士 ： 双曲线标准方程的两种求法 （ 1 ） 定义法 ： 根据双曲线的定义得到相应的 a ， b ， c ， 再写出双曲线的标准方程 ； （ 2 ） 待定系数法 ： 先设出双曲线的标准方程 － ＝ 1 或 － ＝ 1 （ a ， b 均为正数 ）， 然后根据条件求出待定的系数代入方程即可 . ) 【例7】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①，双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得，解得，，所以双曲线方程为故选D. 【变式1】（25-26高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线的标准方程为，故选A. 【变式2】（25-26高二·全国·课后作业）经过点和的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的方程为， 则解得故双曲线的标准方程为，故选B． 【变式3】（2026·山西临汾·二模）已知双曲线经过点，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为 则，解的所以双曲线的方程为，故选A 【变式4】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为_____. 【答案】 【解析】设双曲线的标准方程为， 代入点得： ，解得，所以双曲线的标准方程为. 【变式5】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为________． 【答案】 【解析】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． ◆题型8 求双曲线的轨迹方程 ( 解题贴士 ： 与曲线有关的轨迹问题的求解步骤 第一步 ： 根据题设建立适当的平面直角坐标系 ， 并结合图形灵活运用条件确定动点满足的等量关系式 ； 第二步 ： 根据动点满足的等量关系式的几何意义 ， 结合有关曲线的定义确定轨迹的形状 ； 第三步 ： 确定曲线方程中的参数并写出方程 ； 第四步 ： 验证所得到的曲线方程是否满足题意 . ) 【例8】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，.故选：C 【变式1】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是.故选：B. 【变式2】（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为.故选：A. 【变式3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则， 化简即得：.即点的轨迹方程为：.故选：B. 【变式4】（25-26高二上·山东·阶段检测）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，化简得．故选：B 【变式5】（25-26高二上·山东临沂·期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】圆N：的圆心，半径， ∵， ∴点在圆N外，则圆P包含圆N， 设圆P的半径为， 由题意可得：，即，可得， 故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支， 可得，则， 故动圆圆心P的轨迹方程是. 【变式6】（25-26高二上·河北唐山·期末）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设，则， 又因为可得.则点的轨迹方程为. 【变式7】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设点的坐标为， 因为，, 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. ◆题型9 双曲线的实际应用 ( 解题贴士 ： 利用双曲线解决实际问题的步骤 （ 1 ） 建立适当的坐标系 ； （ 2 ） 求出双曲线的标准方程 ； （ 3 ） 根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题 （ 注意实际意义 ）. ) 【例9】（25-26高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】设炮弹爆炸点为，由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合，故选： 【变式1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知、两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【解析】设炮弹爆炸点为点，由题意可得， 所以，炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支，故选：C. 【变式2】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）在相距的A，B两哨所，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，则炮弹爆炸点所在的曲线是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】B 【解析】设点是炮弹爆炸点所在的曲线上任意一点 则，所以炮弹爆炸点所在的曲线是双曲线故选：B 【变式3】（2026·云南昆明·一模）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以.故选：A. 题型10 渐近线方程 ( 解题贴士 ： 求渐近线方程的步骤 （ 1 ） 定类型 ： 确定双曲线的焦点位置 ， 若不明确 ， 应分类讨论 ； （ 2 ） 求参数 ： 利用已知条件建立 a ， b 的关系式 ， 求出 a ， b 的值或其比值 ； （ 3 ） 写方程 ： 若双曲线的焦点在 x 上 ， 其渐近线方程为 y ＝± x ； 若双曲线的焦点在 y 上 ， 其渐近线方程为 y ＝± x . ) 【例9】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将代入双曲线方程得， 解得，所以的渐近线方程为 【变式1】（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】双曲线：（），得双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以，，所以，. 【变式2】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. 【变式3】（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8， 可得，，，则渐近线方程为，故B正确. 【变式4】（26-27高三上·安徽·阶段检测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得双曲线标准方程为， 即得，所以双曲线的渐近线方程为. 【变式5】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将转化为标准形式， 显然，由，所以，解得. 所以双曲线标准方程为.所以该双曲线的渐近线方程为. 【变式6】（25-26高一下·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知，则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 【变式7】（25-26高二上·上海·期末）若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 【答案】 【解析】由题意可知，则该双曲线的两渐近线方程分别为，， 因为该双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则这两渐近线互相垂直， 所以，解得. 【变式8】（25-26高三下·广西北海·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为____. 【答案】 【解析】因为焦点为，所以， ，，所以双曲线，故渐近线方程为. 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以有，双曲线焦点在轴上， 其中，，则，所以， 所以焦点坐标为. 2．（25-26高二上·北京·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【解析】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 4．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以，所以双曲线方程为：. 5．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 6．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分   7．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】由椭圆，可得,所以椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为; 由双曲线，可得,所以双曲线的焦点在轴，且焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上， 所以该圆的圆心为原点，半径为，圆的方程为， 所以，解得; 双曲线方程为：， 联立，解得， 将代入椭圆方程可得：， 解得(负值舍去) 故选：B 8．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 9．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 则由已知得， 又， 所以，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】已知双曲线，则， 因为，即， 所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得. 故选：C 11．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【解析】如图，延长，交于点，    因为是的平分线，且，所以与全等， 所以，为的中点，为的中点，所以， 由于双曲线的左、右焦点分别为， 所以，，所以双曲线的定义可知：， 所以，即， 所以. 故选：A 12．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设过点的切线与圆相切于点，则. 又，为双曲线的左、右焦点，所以，所以. 在中，由正弦定理可得，， 即，解得. 又点在双曲线右支上，所以，所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以， 又，所以， 又，所以. 故选：D. 13．（多选）（25-26高二上·山东烟台·期末）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【解析】对于A，曲线表示圆，则，解得，故A正确； 对于B，曲线表示等轴双曲线，则，方程无解，故B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得，故C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，故D正确. 故选：ACD. 14．（多选）（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【解析】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 15．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）下图造型为的曲线C被称为伯努利双纽线，该曲线体现出对称、和谐、简洁的数学美，同时也具有特殊的艺术美.已知C过坐标原点O，且C上的点满足到点的距离与到点的距离之积为4，则（   ） A． B．当点在上时， C．点在上 D．当点在上时， 【答案】ABD 【解析】对于A项，由C过坐标原点O，得，所以， 由图知在原点左侧，所以，故A项正确. 对于B项，设是曲线C上任意一点，则， 化简得，由得，解得或， 由图可知，故B项正确. 对于C项，，故C项错误. 对于D项，由，得关于y的方程， 所以， 设，则，又，所以， 则，当时，取得最大值为1，即，故D项正确. 故选：ABD 16．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【解析】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 17．（2026·北京·三模）双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 【答案】 【解析】因为双曲线方程为，所以. 所以渐近线方程为，由题意知，渐近线方程为，所以. 又因为，所以，故焦距是. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【解析】当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 19．（25-26高二下·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】/ 【解析】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 20．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 【解】（1）原方程可变形为， 要使方程表示双曲线，必须满足， 即或，解得或， 所以当或时，方程表示双曲线. （2）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 所以当时，方程表示焦点在轴上的双曲线. 21．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 22．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知，，动点满足 (1)指出动点的轨迹是什么曲线，并写出它的方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，在轴上方，直线的斜率为，求经过，且以坐标轴为对称轴的双曲线的标准方程，若不存在，说明理由. 【解】（1）由题意得：， 所以动点轨迹是焦点为，长轴长等于10的椭圆， 则， 即点的轨迹方程为； （2）设直线的方程为, 联立方程，化简得，         即，得到，，，，         由点在轴上，可知顶点在轴上， 设双曲线标准方程为：，将两点代入， 该方程组无解，所以不存在所要求的双曲线. 23．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03双曲线定义、方程与渐近线 常考题型·精准突破 题型1 双曲线定义及应用 题型2 利用双曲线定义求方程 题型3 利用双曲线定义求最值问题 题型4 双曲线中焦点三角形问题 题型5 判断方程是否表示双曲线 题型6 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型7 根据双曲线过的点求标准方程 题型8 求双曲线的轨迹方程 题型9 双曲线的实际应用 题型10渐近线方程 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 双曲线定义及应用 ( 解题贴士 ： 双曲线的定义中 ， 距离的差要加绝对值 ， 否则只表示双曲线的一支 . ) 【例1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【变式2】（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式4】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式5】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. ◆题型2 利用双曲线定义求方程 ( 解题贴士 ： 根据双曲线的定义得到相应的 a ， b ， c ， 再写出双曲线的标准方程 ) 【例2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·天津河西·期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是________． 【变式5】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为________． ◆题型3 利用双曲线定义求最值问题 ( 解题贴士 ： 设双曲线方程为 － ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）， F 1 ， F 2 分别为双曲线的左、右焦点 ， Q （ x 0 ， y 0 ） 为平面上一定点 ， M 为双曲线右支上任意一点 . （ 1 ） 若定点 Q （ x 0 ， y 0 ） 与双曲线右焦点 F 2 在双曲线右支的同侧 ， 则 ｜ MQ ｜＋｜ MF 2 ｜ 的最小值是 ｜ QF 1 ｜－ 2 a ， 最大值不存在 ； （ 2 ） 若定点 Q （ x 0 ， y 0 ） 与双曲线右焦点 F 2 在双曲线右支的异侧 ， 则 ｜ MQ ｜＋｜ MF 2 ｜ 的最小值是 ｜ QF 2 ｜， 最大值不存在 . ) 【例3】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4】（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【变式5】（25-26高一下·江西景德镇·期末）、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、．当取最小值时，的周长为______． 【变式6】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【变式7】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． ◆题型4 双曲线中焦点三角形问题 ( 解题贴士 ： 在焦点三角形中 ， 常利用正弦定理、余弦定理 ， 结合 ｜｜ PF 1 ｜－｜ PF 2 ｜｜＝ 2 a ， 运用平方的方法 ， 建立与 ｜ PF 1 ｜ · ｜ PF 2 ｜ 的联系 ， 求解 ｜ PF 1 ｜ 和 ｜ PF 2 ｜ 的值 ， △ PF 1 F 2 的周长与面积等问题 . ) 【例4】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 【变式6】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【变式7】（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【变式8】（25-26高二上·全国·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 【变式9】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________． ◆题型5 判断双曲线方程是否表示双曲线 ( 解题贴士 ： 双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式 ， 假如双曲线的方程为 ＋ ＝ 1 ， 则当 mn ＜ 0 时 ， 方程表示双曲线 . 若 则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线 ； 若 则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 . ) 【例5】（2026·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【变式1】（25-26高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式3】（多选）（26-27高二上·全国·课后作业）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 ◆题型6 根据方程表示双曲线求参数的范围 【例6】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式3】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式5】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式6】（25-26高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式7】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8】（2026·贵州安顺·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【变式10】（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11】（25-26高二上·广西南宁·期末）方程表示双曲线时，实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式12】若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________. ◆题型7 根据双曲线过的点求标准方程 ( 解题贴士 ： 双曲线标准方程的两种求法 （ 1 ） 定义法 ： 根据双曲线的定义得到相应的 a ， b ， c ， 再写出双曲线的标准方程 ； （ 2 ） 待定系数法 ： 先设出双曲线的标准方程 － ＝ 1 或 － ＝ 1 （ a ， b 均为正数 ）， 然后根据条件求出待定的系数代入方程即可 . ) 【例7】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26高二·全国·课后作业）经过点和的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山西临汾·二模）已知双曲线经过点，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式4】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为_____. 【变式5】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为________． ◆题型8 求双曲线的轨迹方程 ( 解题贴士 ： 与曲线有关的轨迹问题的求解步骤 第一步 ： 根据题设建立适当的平面直角坐标系 ， 并结合图形灵活运用条件确定动点满足的等量关系式 ； 第二步 ： 根据动点满足的等量关系式的几何意义 ， 结合有关曲线的定义确定轨迹的形状 ； 第三步 ： 确定曲线方程中的参数并写出方程 ； 第四步 ： 验证所得到的曲线方程是否满足题意 . ) 【例8】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·山东·阶段检测）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·山东临沂·期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是______． 【变式6】（25-26高二上·河北唐山·期末）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为______. 【变式7】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为______. ◆题型9 双曲线的实际应用 ( 解题贴士 ： 利用双曲线解决实际问题的步骤 （ 1 ） 建立适当的坐标系 ； （ 2 ） 求出双曲线的标准方程 ； （ 3 ） 根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题 （ 注意实际意义 ）. ) 【例9】（25-26高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【变式1】（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知、两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【变式2】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）在相距的A，B两哨所，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，则炮弹爆炸点所在的曲线是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【变式3】（2026·云南昆明·一模）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 题型10 渐近线方程 ( 解题贴士 ： 求渐近线方程的步骤 （ 1 ） 定类型 ： 确定双曲线的焦点位置 ， 若不明确 ， 应分类讨论 ； （ 2 ） 求参数 ： 利用已知条件建立 a ， b 的关系式 ， 求出 a ， b 的值或其比值 ； （ 3 ） 写方程 ： 若双曲线的焦点在 x 上 ， 其渐近线方程为 y ＝± x ； 若双曲线的焦点在 y 上 ， 其渐近线方程为 y ＝± x . ) 【例9】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式2】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27高三上·安徽·阶段检测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（25-26高一下·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【变式7】（25-26高二上·上海·期末）若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 【变式8】（25-26高三下·广西北海·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为____. 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 9．（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线的两个焦点是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 12．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ） A． B． C．2 D． 13．（多选）（25-26高二上·山东烟台·期末）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 14．（多选）（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 15．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）下图造型为的曲线C被称为伯努利双纽线，该曲线体现出对称、和谐、简洁的数学美，同时也具有特殊的艺术美.已知C过坐标原点O，且C上的点满足到点的距离与到点的距离之积为4，则（   ） A． B．当点在上时， C．点在上 D．当点在上时， 16．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 17．（2026·北京·三模）双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 19．（25-26高二下·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    20．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 21．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 22．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知，，动点满足 (1)指出动点的轨迹是什么曲线，并写出它的方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，在轴上方，直线的斜率为，求经过，且以坐标轴为对称轴的双曲线的标准方程，若不存在，说明理由. 23．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $