精品解析：天津市河东区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期12月九年级数学统练 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “任意的一个三角形，其内角和是”是必然事件 B. “购买1张彩票，中奖”是不可能事件 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3 D. 某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶 3. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（       ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，有下列说法：①对称轴为直线；②图象开口向下；③当时，y随着x的增大而减小．其中正确的说法个数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 7. 已知方程 的两根分别为 和 ，则的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　） A. 4 B. 5 C. D. 10. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 11. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________． 14. 关于x的方程的一个根是，则它的另一个根________． 15. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 16. 如图：P是的直径的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则_______． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点． （1）线段的长等于______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标． 21. 已知中，为的弦，直线与相切于点． （1）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （2）如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 22. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 23. 海鲜市场某销售商销售一种成本为6元/千克的海产品，市场调查反映，若按12元/千克销售该产品，每天可售出200千克；如调整价格，销售价每降低1元，每天可多售出50千克，设每千克该产品的售价为x（）元，每天的销售量为y千克，每天能获得的利润为w元． （1）填表 每千克的售价为x（元） 12 11 10 8 每天的销售量为y（千克） 200 （2）直接写出y与x之间的函数关系式：____________； （3）当售价定为多少元时，每天能获得最大利润？最大利润为多少元？ 24. 在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图①，当点在线段上时，求证：． （2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． （3）若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期12月九年级数学统练 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：“一个图形绕一点旋转180度，能与自身完成重合，这样的图形叫做中心对称图形”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. “任意的一个三角形，其内角和是”是必然事件 B. “购买1张彩票，中奖”是不可能事件 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3 D. 某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件以及概率的概念判断即可． 【详解】A.三角形内角和是，因此“任意的一个三角形，其内角和是”是必然事件，故正确； B. “购买1张彩票，中奖”是随机事件，故错误； C.概率是经过大量的重复的实验后得到的概率，而不仅仅是10次，故错误； D. 某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次可能中靶，故错误； 故选：A 【点睛】此题考查统计与概率，解题关键找出选项的错误点直接判断． 3. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点关于原点对称的点的坐标为即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点坐标是， 故答案为：A． 【点睛】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键． 4. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标是． 故选：A 5. 把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练掌握图象的平移规律是解决问题的关键． 6. 关于二次函数的图象，有下列说法：①对称轴为直线；②图象开口向下；③当时，y随着x的增大而减小．其中正确的说法个数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随着x的增大而减小， ∴①②③都正确， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 7. 已知方程 的两根分别为 和 ，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根于系数的关系．根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 8. 已知点都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴，开口向上，当时，随的增大而减小，再结合横坐标可得结果． 【详解】解：， 函数图象的对称轴是直线，图象的开口向上， 当时，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 9. 如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键． 10. 如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 11. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中． 14. 关于x的方程的一个根是，则它的另一个根________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两根之积为：， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握及，是解题的关键． 15. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 16. 如图：P是的直径的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由是的切线，可得，则，由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点． （1）线段的长等于______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出答案即可； （2）找到的中点，的中点E，连接，相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）如图，连接圆与网格线的交点，H，与过点的网格线交于点，则为的外心，，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，再利用平行线分线段成比例定理和网格的特点找到的中点M，连接并延长交于点E，则点E为的中点，连接，相交于点P，则点P即为所求． 证明：∵过点的网格线为圆的切线， ∴是的外接圆直径， ∵， ∴是的外接圆直径， ∴与的交点O是的外心， 由网格的特点可知，点G是的中点， ∴， ∴， ∴， 即平分, 由网格的特点可知，， ∴， ∴点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 即平分， 则与的交点P即为的内心， 故答案为：如图，连接圆与网格线的交点，H，与过点的网格线交于点，则为的外心，，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，再利用平行线分线段成比例定理和网格的特点找到的中点M，连接并延长交于点E，则点E为的中点，连接，相交于点P，则点P即为所求． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质定理、勾股定理、三角形外心和内心等知识，找到的中点，的中点E，是解题的关键 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， 或， ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， ，． 20. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】把，代入解方程组即可得到结论． 【详解】解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法是解题关键． 21. 已知中，为的弦，直线与相切于点． （1）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； （2）如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【小问1详解】 为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． 【小问2详解】 如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 22. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】（1） （2）3， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 23. 海鲜市场某销售商销售一种成本为6元/千克的海产品，市场调查反映，若按12元/千克销售该产品，每天可售出200千克；如调整价格，销售价每降低1元，每天可多售出50千克，设每千克该产品的售价为x（）元，每天的销售量为y千克，每天能获得的利润为w元． （1）填表 每千克的售价为x（元） 12 11 10 8 每天的销售量为y（千克） 200 （2）直接写出y与x之间的函数关系式：____________； （3）当售价定为多少元时，每天能获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）售价定为元时，每天能获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据销售价每降低1元，每天可多售出50千克，填写表格即可； （2）根据销售价每降低1元，每天可多售出50千克可得y与x之间的函数关系式； （3）由总利润单利润销售量可得与的关系式，根据二次函数的最值解题即可． 【小问1详解】 根据销售价每降低1元，每天可多售出50千克，填写表格为： 每千克的售价为x（元） 12 11 10 8 每天的销售量为y（千克） 200 250 300 400 故答案为： 【小问2详解】 解： 故答案为： 【小问3详解】 ∵ ∴抛物线开口向下，当时，有最大值1250，即最大利润为1250元， 答：当售价定为元时，每天能获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 24. 在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图①，当点在线段上时，求证：． （2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． （3）若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1） 证明：∵等边， ∴，， 线段顺时针旋转，得到线段， ，， ， ，即， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）由旋转得到，，再证明，得到； （2）先证明，得到，，由等边三角形的性质可得，得到，由，得到是等腰直角三角形，即可得到，得到； （3）过作，则，，由（1）（2）可得点在直线上运动，过作于，则长度即为的最小值，再根据直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：同（1）可知，，， ，即， ， ，， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：过作，则， ∵， ∴，， 由（1）可得，当点在线段上时，，； 由（2）可得，当点在在线段的延长线上时，，； ∴点在直线上运动， 过作于，则长度即为的最小值，此时， ∵等边的边长是6， ∴， ∴， ∴中，，， ∴的最小值为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． 【小问2详解】 解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $