天津市南开区育贤中学2026-2027学年九年级上学期10月 学情自测数学试题

2026-2027年九上第一次阶段性练习 姓名： 班级： 考号： 一、选择题： 1.下列方程中属于一元二次方程的是(). A.30x+1)2=2cx-1)B.2+1-2=0C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x-1) 2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0，则a的值为(). A.1或-1 B.1 C.-1 D.0 3.关于二次函数y=-3(x+2)2-3的图象，下列说法正确的是(). A.对称轴为直线x=2B.顶点坐标为(2，-3) C.最大值是-3 D.由抛物线y=-3x2-3向右平移2个单位长度可以得到 4.关于x的函数y=(m-1)xm2+1+5是二次函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 5.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点，当函数 值y<0时，自变量x的取值范围是() -20 4主 A.x<-2 B.x>4 C.-2<x<4 D.x<-2或x>4 6.某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验 基地之一为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为 96m2设小道的宽为xm,根据题意可列方程为() A.(18-2x)(11-x)=96 B.2x2=96 C.(18-x)(11-2x)=96 D.(18-2x)(11-2x)=96 7.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2若+三=-1，则k的 X1 x2 值是()A.3 B.-1C.3或-1 D.不存在 8.如图，对称轴为x=1的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于点A, 则关于x的方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是() A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 9.下列抛物线中与x轴无交点的是() A.y=2x2-3 B.y=x2+2x Cy=-x2+1 D.y=-x-2-1 10.已知方程x2+2023x-5=0的两根分别是a和B,则代数式a2+B+2024a的值为() A.0 B.-2018 C.-2023 D.-2024 11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1,给出下列结论：①abc< x=1 0;②b>a+c;③4a+2b+c<0;④3a>-c;⑤a+b≥m(am+b).其中 正确的是() -1/0 A.①②⑤B.②③⑤C.①③④D.①②④ 12.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+6上运动，过点A作 AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为 (）A.3B.4C.5D.6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是 ①② 14.将二次函数y=x2-4x+2化成y=a(x-h)2+k的形式，结果为】 15.如图，四个函数图象对应的函数解析式分别是①y=ax2,②y=bx2; ③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是（用“>”连接） 3 16.将y=3x2的图象向平移2个单位长度，再向平移3个单位长度，就得到 y=3(x+2)2-3的图象. 17.念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭， 然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物而立之年督东吴，早 逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世的年龄为岁. 18.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)开口向下，过A(-1,0),B(m,0)两点，且1<m< 2.有下列四个结论：①b<0;②若m=多，则3a+2c=0:③若点M(xy),N(x2,y2)在抛物线上，x< x2,且x1+x2>1,则y1<y2;④当a≤-1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的 实数根其中正确的是（填序号）. 三、计算题： 19.选择适当的方法解方程： (1)4(6x-1)2=25: (2)x2-2x=2x-1; (3)(3x+2)(x+3)=x+14;(4)x(x-7)=8(7-x) 四、解答题： 20.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根， (2)若原方程的两个实数根分别为x1,x2,且x子+x1x2+x经=3，求m的值. 21.已知二次函数y=2x2+4x-6. (1)将其转化成顶点式： (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)求函数图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象； (5)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (6)当x取何值时，函数y有最值？其最值是多少？ (7)当-4<x<0时，求y的取值范围； 22.已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0)，且过点A(-2,-): (1)求这个二次函数的解析式： (2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗？ (3)你能通过左右平移函数图象，使它过点B(2,-2)吗？若能，请写出平移方案. 23.某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田如图，该试验田一边靠18m长的墙，另 三边用围栏围成，围栏总长40m,围成的矩形试验田四周不能有空隙. (1)若要使围成的矩形试验田的面积为150m2,求该矩形试验田的长和宽. (2)若在CD边留2m的小门，能围成一个面积为160的矩形试验田吗？ 如果能，说明围法；如果不能，说明理由. A D B C 24.某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月 份的销售量是720件 (1)若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20 件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销 售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 25.如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接BC. 备用图 (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标. (2)若D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接BD,CD,求△BCD面积的最大值 (3)已知H是抛物线上的一点，连接CH,若∠HCB=∠ABC,直接写出点H的坐标.2026-2027年九上第一次阶段性练习 姓名： 班级： 考号： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列方程中属于一元二次方程的是() A.3(x+1)2=2(x-1) B.3+1-2=0 C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x-1) 【答案】A 【解析】略 2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0，则a的值为(). A.1或-1 B.1 C.-1 D.0 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因 为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的 根.也考查了一元二次方程的定义.先把x=0代入方法求出a的值，然后根据一元二次方程的定义确定满 足条件的a的值. 【解答】解：把x=0代入方程得a2-1=0, 解得a=1或-1， 由于a-1≠0，所以a的值为-1. 故选C. 3.关于二次函数y=-3(x+2)2-3的图象，下列说法正确的是(). A.对称轴为直线x=2 B.顶点坐标为(2，-3) C.最大值是-3 D.由抛物线y=-3x2-3向右平移2个单位长度可以得到 【答案】C 【解析】略 4.关于x的函数y=(m-1)xm+1+5是二次函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可. 【解答】 解：y=(m-1)xm+1+5是二次函数， ∴m-1≠0且m2+1=2, 解得m=-1. 5.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点，当函数值y<0时，自变量x的 取值范围是() 3 -204 A.x<-2 B.X>4 C.-2<X<4 D.x<-2或x>4 【答案】D 【解析】略 6.某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图）， 作为劳动教育系列课程的实验基地之一为了便于管理，现要在中间开辟一 横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2.设小道的宽 为xm,根据题意可列方程为() A.(18-2x)(11-x)=96 B.2x2=96 C.(18-x)(11-2x)=96 D.(18-2x)(11-2x)=96 【答案】A 【解析】解：小道的宽为x米， 种植菜园的部分可合成长为(18-2x)米，宽为(11-x)米的长方形， 依题意得：(18-2x)(11-x)=96, 故选：A. 由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为(18-2x)米，宽为(11一x)米的长方形，再根据种植 面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 7.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2若二+二=-1，则k的 X1 x2 值是() A.3 B.-1 C.3或-1 D.不存在 【答案】A 【解析】由题意可知4=(2k+3)2-42>0,解得k>-子 且x1+x2=-(2k+3)=-2k-3,x1x2=k2, +=1t2=23=-1， x1 x2 x1x2 整理得k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1, k>-至k=3 故选A. 8.如图，对称轴为x=1的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于点A,则关于x的方程ax2+ bx+c=0的正数解的范围是() A.2<X<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 【答案】C 【解析】略 9.下列抛物线中与x轴无交点的是() A.y=2x2-3 B.y=x2+2x C.y=-x2+1 D.y=-3x-1)2-1 【答案】D 【解析】略 10.己知方程x2+2023x-5=0的两根分别是和B,则代数式a2+B+2024的值为() A.0 B.-2018 C.-2023 D.-2024 【答案】B 【解析】略 11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1,给出下列结论：①abc< 0;②b>a+c;③4a+2b+c<0;④3a>-c;⑤a+b≥m(am+b).其中正确的是() :x=1 -1/0 A.①②⑤ B.②③⑤ C.①③④ D.①②④ 【答案】A 【解析】 图象特征 相应关系 延伸 结论 开口向下 a<0,b>0 对称轴在y轴右侧 abc<0 ①正确 与y轴正半轴相交 c>0 当x=-1时，对应点 y<0 a-b+c<0→b>a+C②正确 在x轴下方 由抛物线的对称性， 知当x=2时，对应点 y>0 4a+2b+c>0 ③错误 在x轴上方 对称轴为直线x=1 b 1 b=-2a -2a a-b+c<0 →3a<-c ④错误 当x=1时，y有最大 a+b+c≥am2+bm a+b≥m(am+b) ⑤正确 值 +c 12.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2一2x+6上运动，过点A作AC1x轴于点C,以AC为对 角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】~y=x2-2x+6=(x-1)2+5,抛物线的开口向上，顶点坐标为(1,5)当x=1时，y取最小值， 为5，·AC的最小值为5.AC,BD是矩形ABCD的对角线，.BD=AC,·BD的最小值为5. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是 【答案】k≤且k≠0 【解析】略 14.将二次函数y=x2-4x+2化成y=a(x-)2+k的形式，结果为一 【答案】y=(x-2)2-2 【解析】略 15.如图，四个函数图象对应的函数解析式分别是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a, b,c,d的大小关系是·（用“>”连接） ①② 【答案】a>b>c>d 【解析】略 16.将y=3x2的图象向平移2个单位长度，再向平移3个单位长度，就得到y=3(x+2)2-3的图 象 【答案】左 下 【解析】略 17.念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然 天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物而立之年督东吴，早逝 英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世的年龄为岁. 【答案】36 【解析】略 18.己知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)开口向下，过A(-1,0),B(m,0)两点，且1<m<2. 有下列四个结论：①b<0:②若m=则3a+2c=0;③若点M(xy),N(x22)在抛物线上，x1<x2, 且x1+x2>1,则y1<y2;④当a≤-1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数 根其中正确的是（填序号）. 【答案】②④ 【解析】略 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 19.选择适当的方法解方程： (1)4(6x-1)2=25: (2)x2-2x=2x-1: (3)(3x+2)(x+3)=x+14: (4)x(x-7)=8(7-x). 【答案1(1)解：方程两边同时除以4，得(6x-12=空两边开平方，得6x-1=±号x1=子x2= (2)解：移项，得2-4x+1=0,这里a=1,b=4,c=1.b2.4ac=(42-4X1X1=12>0,x=y厘=牡2匝 2×1 2 2士V3,x1=2+V3,x2=2-V3 (3)解：整理，得3x2+10x-8=0, 可变形为(x+4(3x-2)=0,+4=0,或3x-2=0,=-4,x2=子 (4)解：原方程可变形为xx-7-8(7-x)=0,x(x-7)+8(x-7)=0,(x7)x+8)=0,x-7=0,或x+8=0,x1=7, x2=-8. 【解析】1.略 2.略 3.略 4.略 四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.(本小题8分) 已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0, (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)若原方程的两个实数根分别为x1,x2,且x子+x1x2+x经=3，求m的值. 【答案】(1)证明a=1,b=-(0m+2),c=m-1, 4=b2-4ac=[-(m+2)]2-4(m-1)=m2+8. m2≥0，.m2+8>0,即4>0， “不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2小x+x2=合m+2,x128m-1, x+x1x2+x2=(x1+x2)2-x1x2=(m+2)2-(m-1)=m2+4m+4-m+1=m2+3m+5. x+x1X2+x3=3,m2+3m+5=3, 整理得m2+3m+2=0,(m+1)(m+2)=0, 解得m1=-1,m2=-2, m的值为-1或-2. 【解析】1.略 2.略 21.(本小题8分) 己知二次函数y=2x2+4x-6. (1)将其转化成y=a(x-h)2+k的形式： (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)求函数图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象； (5)说明其图象与抛物线y=2x2的关系； (6)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (7)当x取何值时，函数值y>0,y=0,y<0? (8)当x取何值时，函数y有最值？其最值是多少？ (9)当-4<x<0时，求y的取值范围； (10)求函数图象与两坐标轴的交点所形成的三角形的面积. 【答案】(1)=2(x+1)2-8; (2)开口向上，对称轴为直线=-1，顶点坐标(-1，-8)； (3)与x轴的交点为(-3,0)，(1,0)，与y轴的交点为(0，-6)： (4)解：列表如下： y=2x2+4x …0-6-8 画出函数图象如下： y个 y=2x2+4x-6 61 2 -5 2 2 -2 -4 (⑤5)将抛物线y=2x2向左平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度，得到y=2x2+4x-6的图象； (6)x<-1; (7)当x<-3或x>1时，>0：当=-3或=1时，y=0:当-3<x<1时，y<0: (8)当=-1时，函数y有最小值，y最小=-8； (9)8≤y<10: (10)12. 【解析】1.略 2.略 3.略 4.略 5.略 6.略 7.略 8.略 9.略 10.略 22.(本小题8分) 已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0)，且过点A(-2,-) (1)求这个二次函数的解析式； (2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗？ (3)你能通过左右平移函数图象，使它过点B(2,-2)吗？若能，请写出平移方案. 【答案】(1)解：由题意，得m=1 二次函数可表示为y=a(x+1)2 把点A(-2,代入，得a=克 则这个二次函数的解析式为=x+1); 2)把-2代入=(x+1)2,得)=≠-2，点B2,2)不在这个函数图象上： (3)能，根据题意设平移后的解析式为)=c+1+m2 把点B(2,-2)代入，得-2=(2+1+m)2 解得m=-1或-5. 抛物线向右平移1个单位长度或5个单位长度，即可过点B. 【解析】1.略 2.略 3.略 23.(本小题8分) 某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田.如图，该试验田一边靠18长的墙，另三边 用围栏围成，围栏总长40m,围成的矩形试验田四周不能有空隙， (1)若要使围成的矩形试验田的面积为150m2,求该矩形试验田的长和宽， (2)能围成一个面积为200的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 【答案】(1)解：设AB=m,则BC=(40-2x)m. 根据题意，得x(40-2x)=150,整理，得x2-20x+75=0,解得x1=5,x2=15. 当=5时，40-2=40-2×5=30>18，不符合题意，舍去；当=15时，40-2=40-2×15=10<18，符合题意. 因此该矩形试验田的长为15m,宽为10m. (2)不能围成一个面积为200m2的矩形试验田.理由如下： 假设可以围成，设AB=ym,则BC=(40-2y)1, 根据题意，得y(40-2y)=200,整理，得y2-20+100=0,解得y1=y2=10, 当y=10时，40-2y=40-2×10=20>18,不符合题意舍去， 假设不成立. 因此不能围成一个面积为200m2的矩形试验田. 【解析】1.略 2.略 24.(本小题10分) 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月份的 销售量是720件 (1)若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件， 售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该 模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)设月平均增长率为x, 由题意得500(1+x)2=720, 解得=0.2=20%或=-2.2<0（不符合题意，舍去）. ∴月平均增长率为20%， (2)设售价应降低a元， 由题意得(100-a-60)(20+2a)=1200, 整理得a2-30a+200=0, 解得a=10或a=20. 商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴=20 …售价应降低20元. 【解析】1.略 2.略 25.(本小题10分) 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接BC. 备用图 (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标. (2)若D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接BD,CD,求△BCD面积的最大值. (3)己知H是抛物线上的一点，连接CH,若∠HCB=∠ABC,直接写出点H的坐标. 【答案】(1)解：将点A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2, 利001a+站子2解得 2 b=3 抛物线的解析式为=x2+2+2. x2++2=c-2+吾 项点M的坐标为吾 (2)如图，过点D作DGy轴，交BC于点G. 设Dm,2m2+m+2), 直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0). 由(1)，得B(4,0),C(0,2), 一大2解得克 (n=2. 直线BC的解析式为=-+2。 ∴点G的坐标为(m,-+2). DG=2m2+2+2-(-2+2)=2m2+2m. SABCD=-0B-DG=×4m2+2m）=-m2+4m=-(m-2)2+4 ∴当m=2时，S△BcD的值最大，最大为4. (3)点H的坐标为3,2或号号 【解析】1.略 2.略 3.略