精品解析：河南省开封市大联考2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题

2026～2027学年高二10月测评 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -6 B. 6 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为空间向量与共线， 不妨设，则，所以，解之得， 则. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线一般式转化为斜截式得到斜率，再结合倾斜角的取值范围和斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】首先将直线的一般式方程化为斜截式： 移项得，两边同时除以，整理得，因此该直线的斜率. 设直线的倾斜角为，根据直线倾斜角的定义，，且斜率与倾斜角满足关系，代入得. 结合的取值范围，解得. 【点睛】 3. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行解出的值即可. 【详解】由题意，若，所以，解得或， 经检验，或时，， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C． 4. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项. 【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确； B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B 6. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可. 【详解】∵，，三向量共面， ∴存在实数，，使得，即， ∴，解得，，． 故选：B. 7. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 8. 直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设与的交点坐标为，与的交点坐标为， ，即，， 由中点坐标公式得，， 即，解得，所以，， 则直线的方程为，即. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10. 设为实数，直线，下列说法正确的有（ ） A. 时，在两坐标轴上截距相等 B. 时，与没有公共点 C. 经过原点 D. 原点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过代入求值、分析直线平行关系、验证过原点情况及利用直线恒过点求距离最大值来逐一判断选项. 【详解】选项A，当时，直线的方程为.令，得横截距为； 令，得纵截距为，截距相等，故A正确. 选项B，当时，，，两直线斜率相同且纵截距不同， 平行无公共点，故B正确. 对于选项C，将代入方程，得，故不经过原点，C错误. 对于选项D，将方程整理为，所以直线恒过定点， 原点到距离的最大值为原点到的距离，故D正确. 故选：ABD 11. 如图1，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是（ ） A. B. 和所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 若点为线段上的动点，且的余弦值为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法逐项判断. 【详解】取中点，连接，因为，为中点， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面. 以为原点，分别以过与垂直、平行的直线为轴、轴，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A：，，所以，A正确； 对于B：，设和所成角为，则， 又，所以，B错误； 对于C：，则点到直线的距离 ，C正确； 对于D：设，则， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则， 解得，即，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由所求角与方向向量和法向量夹角互余即可求得结果. 【详解】直线与平面所成角与其方向向量与平面法向量的夹角互余， 直线与平面所成的角为. 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求. 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 点关于直线的对称点的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设所求点坐标为，进而根据对称性得，再解方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则与的中点在直线，且过与的直线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以，即，解得， 所以，点关于直线的对称点的坐标为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）由斜率和纵截距写出直线方程，然后求出横截距； （2）写出直线与坐标轴交点坐标，然后得到线段长，然后求得三角形周长. 【小问1详解】 由已知可得直线的方程为， 令，可得， 所以直线与轴交点的坐标为； 【小问2详解】 设坐标原点为，，， 由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为， ， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点． （1）求的值； （2）求证：； 【答案】（1） （2）证明如下： 正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； （2）计算得到即可证明. 【小问1详解】 正方体中，，， 有，， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 18. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1），距离最大值； （2）面积的最小值为12，直线l的方程为3x+2y+12=0. 【解析】 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【小问1详解】 已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值． ∵， ∴的斜率为，得，解得； 【小问2详解】 若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点， 则设直线为，，则，， ． （当且仅当时，取“=”）， 故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0. 19. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 连接，因为点，分别为的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 又因为侧面平面，侧面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，设平面与平面所成的夹角为，可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 令，， 则， 令，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年高二10月测评 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -6 B. 6 C. -4 D. 4 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 6. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 10. 设为实数，直线，下列说法正确的有（ ） A. 时，在两坐标轴上截距相等 B. 时，与没有公共点 C. 经过原点 D. 原点到直线距离的最大值为 11. 如图1，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是（ ） A. B. 和所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 若点为线段上的动点，且的余弦值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 13. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 14. 点关于直线的对称点的坐标为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． （1）求直线与轴交点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 16. 如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点． （1）求的值； （2）求证：； 17. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 18. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 19. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $