精品解析：河南周口市部分校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

河南10月高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7. 在四面体中，点为底面上一点，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间非零向量，，，则（ ） A. ，可以相互垂直 B. ，为平面的共面向量 C. 是平面的一个法向量 D. ，不能作为其确定平面内的一组基底 11. 如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过与两点的直线方程为__________． 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 14. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知两条直线和. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 17. 在直三棱柱中，,分别为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角是直二面角，求的长. 18. 已知直线的方程为 ，其中 （1）当变化时，求点到直线的距离的最大值 （2）若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南10月高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线经过两点，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 4. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 5. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 6. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是. 故选：B 7. 在四面体中，点为底面上一点，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量运算法则将转化为，根据空间向量基本定理求. 【详解】因为点为底面上一点，所以可设， 所以， 又， 所以，，， 所以，，， 故选：B. 8. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或. 故选：AC. 10. 已知空间非零向量，，，则（ ） A. ，可以相互垂直 B. ，为平面的共面向量 C. 是平面的一个法向量 D. ，不能作为其确定平面内的一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误. 【详解】若，相互垂直，则，解得， 与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误； ，的竖坐标均为0，所以，均在平面内， 所以，为平面的共面向量，所以选项B正确； ，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴， 是平面的一个法向量，所以选项C正确； 因为，是非零向量，所以，所以，不共线， 所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误. 11. 如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意得，，，；二面角的平面角为，，故. 对选项A，，与方向一致，又且，由线面平行判定定理得，故A正确. 对选项B，由，，，得平面， 又，故平面，故B正确. 对选项C，，平面的法向量为， 因为与法向量不平行，故不垂直于，C错误. 对选项D，，，即，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 14. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用坐标表示，，再代入曼哈顿距离，利用基本不等式求最值. 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设，， ，，， ，， 由可知，，整理为， ， 因为，得， 且，所以， 所以的最大值为，当时等号成立， 所以的最大值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知两条直线和. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列式计算即得； （2）利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【小问1详解】 由，可得，解得. 【小问2详解】 由，可得且，解得. 16. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）运用向量加法的线性运算及中点向量公式，通过两次中点（D为BC中点，E为AD中点）逐步将所求向量用已知基底表示； （2）利用向量模长与夹角余弦值求各基底向量间的数量积，再代入第一问结果进行向量数量积的分配律展开并求值. 【小问1详解】 由题可得向量； 【小问2详解】 由题，， 由（1）得， 所以． 17. 在直三棱柱中，,分别为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角是直二面角，求的长. 【答案】（1）证明：连接，因四边形是矩形，与互相平分， 因是线段的中点，则是的中点，又因为的中点,则 又平面平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证是的中点，利用三角形中位线定理推得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）依题建系，设，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列方程求出的值即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得平面，因为，则可以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，且①， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得； 因，则， 再设平面的一个法向量为， 则 ，取，得. 因二面角是直二面角，则， 将①代入，可得②. 联立①和②，解得，所以. 18. 已知直线的方程为 ，其中 （1）当变化时，求点到直线的距离的最大值 （2）若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1） （2）4，． 【解析】 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【小问1详解】 直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. 【小问2详解】 设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $