1.1 集合及其运算复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦集合的概念、关系、运算及新定义应用等高考核心考点，按元素特征、集合关系、运算应用等8大题型系统梳理知识脉络，通过考点精讲、方法提炼、真题演练的教学流程，帮助学生构建集合问题的解题框架。 资料以题型分类为特色，针对集合个数、参数求解等难点，提炼定义法、数形结合等解题策略，如用Venn图分析集合运算培养数学思维，通过高考真题与分层练习提升数学语言表达能力。精准对接高考命题规律，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

§1.1 集合及其运算·复习讲义 目录 题型1：集合元素的特征 3 题型2：元素与集合的关系 4 题型3：集合间关系的确定 6 题型4：集合的个数问题 8 题型5：根据两集合的关系求参数 9 题型6：集合的基本运算 12 题型7：Venn图的应用 14 题型8：集合新定义 16 1. 集合的含义与表示 一般地，把研究对象统称元素，把一些元素组成的总体叫做集合． (1) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． (2) 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）． (3) 常用集合的符号： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 (4) 元素与集合之间的关系：属于和不属于，用符号和表示. 2. 集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 如果，都有，就说是的一个子集 或 或 真子集 如果集合，但，且，就说是的真子集 或 相等 如果且，就说这两个集合相等 3. 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是任何集合的子集，记：；是任何非空集合的真子集，记：且． 4. 集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号表示及其意义 若全集为，则集合的补集为 图形表示 数字语言 运算性质 题型1：集合元素的特征 【例1.1.】 已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 【例1.2.】 设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、并集的概念及运算 【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可. 【详解】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 【例1.3.】 已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.68 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合元素互异性的应用 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 题型2：元素与集合的关系 【例2.1.】 已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 【例2.2.】 已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 【例2.3.】 已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 【例2.4.】 已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 题型3：集合间关系的确定 方法提炼 判断集合关系的三种方法 (1) 定义法； (2) 列举/观察法：把集合一一列举出来观察； (3) 数形结合法：借助数轴(注意端点值)或Venn图判断. 【例3.1.】 设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】通过分析两个集合中元素的特征，变形的元素表达式，结合整数性质判断集合间的包含关系. 【详解】集合，代表所有奇数构成的集合，所有奇数都可以写成的形式. 对集合中任意元素，变形得，因为，所以， 因此符合中元素的形式，即任意都有，可得，A正确； 取奇数，（时），但若，得，因此，说明， ， 取奇数，（时）且（时，），即和有公共元素，交集不为空， 因此B、C、D错误. 【例3.2.】 已知集合，，则（   ） A． B． C．Ü D．Ü 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】分式不等式、并集的概念及运算、交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【详解】或，，所以，所以A错误； 或，，所以Ü，所以，所以B错误，C正确； 由Ü，且集合中包含小于0的元素，而集合中没有小于0的元素可知D错误. 【例3.3.】 （多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.82 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算 【详解】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 题型4：集合的个数问题 方法提炼 (1) 若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有个子集，个真子集． (2) 若，， 则满足的集合有个；满足的集合有个． 【例4.1.】 若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合的无序性结合集合的关系确定，进而可求集合的真子集个数. 【详解】因为，所以，所以的真子集个数为. 【例4.2.】 设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、分步乘法计数原理及简单应用 【详解】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 【例4.3.】 已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】特殊角的三角函数值、交集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】因为， 所以，进而的子集个数为. 【例4.4.】 已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况. 【详解】集合，， 所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确． 题型5：根据两集合的关系求参数 方法提炼 根据两集合的关系求参数的思路 (1) 若，应分和两种情况讨论. (2) 若已知集合间的运算关系，可先转化为两集合之间的关系，如A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A∪B⇔A=B等. (3) 若集合中元素是一一列举，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； (4) 若集合表示的是不等式的解集，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 【例5.1.】 已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 【例5.2.】 设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 【例5.3.】 设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】因为集合，， 所以，所以. 【例5.4.】 已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 【例5.5.】 已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得. 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 题型6：集合的基本运算 方法提炼 1. 解集合运算问题的三个注意点： (1) 解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分. (2) 灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，如， ，从而简化运算，减少运算量. (3) 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 【例6.1.】 （2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 【例6.2.】 （2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】交并补混合运算 【详解】由题可得,又因， 则. 【例6.3.】 （2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由题可得，所以 【例6.4.】 已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空集的性质及应用、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 【例6.5.】 设集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以． 题型7：Venn图的应用 方法提炼 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用图表示两个集合的交、并、补集，借助于图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用表示有限集中元素的个数，即表示有限集的元素个数,. 【例7.1.】 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 【例7.2.】 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算、描述法表示集合 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 【例7.3.】 设M，N为全集的两个非空子集，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【详解】由，且 M，N为全集的两个非空子集，可得韦恩图，如图： 则. 【例7.4.】 已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 题型8：集合新定义 方法提炼 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 【例8.1.】 设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 【例8.2.】 对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【难度】0.38 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据集合新定义，分别求出当子集为单元素、两个元素、三个元素以及四个元素时的“绝对交错和”，即可求得答案. 【详解】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 【例8.3.】 设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 6 8 【难度】0.4 【知识点】集合新定义 【分析】第一空直接按定义分类讨论即可；第二空需分析出邻点需满足的约束条件，结合不等关系的要求得到邻点列可能的排列，最后构造出符合条件的邻点列. 【详解】（1）设与互为邻点的点为，则且， 若，则，解得，（舍去）或，点为； 若，则，解得或，或，点为； 若，则，解得（舍去）或，，点为， 综上，满足条件的点共有个； （2）根据，以及点集坐标范围可得，记， 则该邻点列各点的依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件， 因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以和 一样也是偶数，即为偶数，所以和的奇偶性相同， 即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知，其横纵坐标之和为奇数， 点集中满足为奇数的点共有个，依次为， 对应的值依次为（依次递减），满足要求的邻点列只能从这个点中选择 且按值递减的顺序排列，假设个点均可以存在，即有邻点列 ，可验证相邻点确实均为邻点，所以的最大值为. 【例8.4.】 定义集合，例如：若，则，，.把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即.已知集合，则中的元素个数为______. 【答案】56 【难度】0.62 【知识点】集合新定义、其他组合计数模型 【分析】理解集合的新定义，将问题转化为求不定方程正整数解的个数，再应用组合数的定义通过隔板法计算求解即可. 【详解】定义集合， ， 因为集合， 所以中的元素满足，且， 利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中， 每个盒子中球的个数分别是， 因为，所以任意的最大值为， 该解集中的均满足， 因此问题可等价转化为方程的正整数解的个数问题， 应用隔板法，即有种分法，即中有56个元素. 【例8.5.】 （多选）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 【答案】ACD 【难度】0.25 【知识点】集合新定义、等差数列通项公式的基本量计算、由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系式求通项公式 【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素，直接得到的等比通项；集合元素个数，结合元素和的递推关系，推导出的通项，再逐一验证选项即可. 【详解】选项A，已知，最大元素， 根据定义， 则，A正确； 选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是， 因此，即是首项为，公比为2的等比数列：. 当时， ，B错误； 设为所有元素之和，则 ，因为， 所以 .一般地，，其中是的元素个数. 由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故. 结合，递推得：， 等式两边同除以得.令 ，则， 累加法求， 则. 选项C，当时，均值为 ，C正确； 选项D，当时， ，D正确. 【例8.6.】 设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． (1)当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； (2)设，记，求证：； (3)设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)当时，集合，其元素和为，为偶数，故存在平衡子集. 当时，，集合，其平衡子集为与，故； 当时，平衡互补子集总对数为，集合； 当时，集合可看作在集合的基础上，新增加了4个元素：，，，； 对于中的每一对平衡互补子集与，可构造中的4对平衡互补子集： ①与； ②与； ③不妨设，剔除元素1得到，则与； ④不妨设，剔除元素2得到，则与； 由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为中的平衡互补子集， 因此可得：，即， ，即不等式成立. (3)时，集合U的非空真子集总数为. 平衡子集个数为（每对平衡互补子集对应2个平衡子集）， 因此单次抽取到平衡子集的概率， 由（2）可知，代入可得， 令，，，则； 在严格递减，则； . ； . 【难度】0.3 【知识点】求集合的子集（真子集）、计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题、集合新定义 【分析】（1）计算的总元素和，确定平衡子集的元素和为14；统计中所有和等于14的非空真子集的数量，确定平衡互补子集的对数，以及平衡子集的总个数；计算的非空真子集总数，结合古典概型概率公式求解概率； （2）当时，的总元素和为；通过分类讨论，和平衡互补子集的总对数，得到，通过不等式的缩放证得； （3）根据题意求出单次抽取到平衡子集的概率，再 利用对立事件概率公式得到；构造函数，通过函数的单调性证明. 【详解】（1）当时，则集合，其非空真子集个数为个； ，要使，为平衡互补子集，则，中元素和都为14. 由，得平衡互补子集有与，与，与，与，共4对，即平衡子集有8个. 子集是平衡子集概率为. （2）略 （3）略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.1 集合及其运算·复习讲义 目录 题型1：集合元素的特征 3 题型2：元素与集合的关系 3 题型3：集合间关系的确定 4 题型4：集合的个数问题 4 题型5：根据两集合的关系求参数 5 题型6：集合的基本运算 6 题型7：Venn图的应用 7 题型8：集合新定义 8 1. 集合的含义与表示 一般地，把研究对象统称元素，把一些元素组成的总体叫做集合． (1) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． (2) 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）． (3) 常用集合的符号： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 (4) 元素与集合之间的关系：属于和不属于，用符号和表示. 2. 集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 如果，都有，就说是的一个子集 或 或 真子集 如果集合，但，且，就说是的真子集 或 相等 如果且，就说这两个集合相等 3. 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是任何集合的子集，记：；是任何非空集合的真子集，记：且． 4. 集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号表示及其意义 若全集为，则集合的补集为 图形表示 数字语言 运算性质 题型1：集合元素的特征 【例1.1.】 已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2.】 设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例1.3.】 已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型2：元素与集合的关系 【例2.1.】 已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【例2.2.】 已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2.4.】 已知集合，则（     ） A． B． C． D． 题型3：集合间关系的确定 方法提炼 判断集合关系的三种方法 (1) 定义法； (2) 列举/观察法：把集合一一列举出来观察； (3) 数形结合法：借助数轴(注意端点值)或Venn图判断. 【例3.1.】 设，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知集合，，则（   ） A． B． C．Ü D．Ü 【例3.3.】 （多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 题型4：集合的个数问题 方法提炼 (1) 若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有个子集，个真子集． (2) 若，， 则满足的集合有个；满足的集合有个． 【例4.1.】 若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【例4.2.】 设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例4.4.】 已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 题型5：根据两集合的关系求参数 方法提炼 根据两集合的关系求参数的思路 (1) 若，应分和两种情况讨论. (2) 若已知集合间的运算关系，可先转化为两集合之间的关系，如A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A∪B⇔A=B等. (3) 若集合中元素是一一列举，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； (4) 若集合表示的是不等式的解集，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 【例5.1.】 已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5.2.】 设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【例5.3.】 设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6：集合的基本运算 方法提炼 1. 解集合运算问题的三个注意点： (1) 解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分. (2) 灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，如， ，从而简化运算，减少运算量. (3) 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 【例6.1.】 （2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【例6.2.】 （2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【例6.3.】 （2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【例6.5.】 设集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型7：Venn图的应用 方法提炼 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用图表示两个集合的交、并、补集，借助于图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用表示有限集中元素的个数，即表示有限集的元素个数,. 【例7.1.】 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【例7.2.】 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 设M，N为全集的两个非空子集，若，则（   ） A． B． C． D． 【例7.4.】 已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 题型8：集合新定义 方法提炼 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 【例8.1.】 设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【例8.2.】 对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【例8.3.】 设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【例8.4.】 定义集合，例如：若，则，，.把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即.已知集合，则中的元素个数为______. 【例8.5.】 （多选）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 【例8.6.】 设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． (1)当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； (2)设，记，求证：； (3)设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $