专题04 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，天津专用）高二数学上学期

专题04 圆、直线与圆的位置关系 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．A 2．D 3．C 4．D 5．C 6．D 7．C 8．B 9．B 10．A 11．B 12．B 13．B 14．A 15．C 16．B 17．【答案】－2 【详解】方程化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F，解方程即得解. 【详解】方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F， 因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆， 所以， 所以F＝－2. 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．【答案】或 【分析】 由已知得，从而 ，由此能求出定点的坐标． 【详解】 解：，即， 令 ，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 19．【答案】 【分析】 利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】 由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得. 所以圆的方程为：. 故答案为：. 20．【答案】 【分析】 由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】 由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 21．【答案】 【分析】 根据题意先求出圆心关于直线对称的坐标，结合半径，代入圆的标准方程得解. 【详解】 由题意得，圆，化简得， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心关于直线的对称点的坐标为 得 ，解得 ，则所求圆的圆心坐标为，半径也为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 22．【答案】 【分析】 设所求圆的方程为，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出的值，可得圆的方程. 【详解】 设所求圆的方程为，则 ，解得 ，所以圆的方程为 故答案为： 23．【答案】 【分析】 由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 【详解】 设圆的方程为， 由圆经过三点，得 ，解得 ， 所以圆的方程为. 【点睛】 求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；② 圆心在任意弦的中垂线上；③ 两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 24．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先求出直线AB的斜率，再求出AB上的高所在直线l的斜率，结合过点C，写出点斜式，整理为一般式即可； （2）根据直线AB的斜率，求出AB的中垂线斜率，结合AB的中点，得到AB的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心G，GA即为半径，根据圆心半径写出圆G的标准方程即可. (1) 小问详解： 由已知得，直线AB的斜率为，所以AB上的高所在直线l的斜率为2，又点，所以AB上的高所在直线l的方程为，即. (2) 小问详解： 因为AB的中点为，直线AB斜率为，则AB的中垂线斜率为2， 故AB的中垂线方程为，即，由 ，解得圆心，则圆G的半径， 故圆G的标准方程为. 25．【答案】 【分析】 根据题意，由得到，可知的外接圆是以为直径的圆，然后求出圆的半径与圆心坐标，可得所求圆的标准方程. 【详解】 解：根据题意，经过三点的圆是的外接圆， 由，，，可知， 因为，所以的外接圆是以为直径的圆， 由，可知圆半径， 结合圆心为的中点，可得圆的方程为. 故答案为：. 26．【答案】 【分析】 设关于直线的对称点为，列出方程组，求得，根据反射后恰好平分圆C的圆周，得到反射光线经过两点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】 如图所示，由圆，可得圆心为， 设关于直线的对称点为， 则满足 ，解得，即， 因为反射后恰好平分圆C的圆周，所以反射光线经过两点， 又由，所以反射光线的方程为，即. 故答案为：. 27．【答案】 【分析】 先求点关于直线的对称点为点，再求出动点的轨迹，进而可得点在或时，三角形的面积最大，从而结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】 因为点关于直线的对称点为点， 设B的坐标为， 则 ，解得 ， 即点B的坐标为，则， 设， 因为，即， 可得，整理可得， 可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆（x轴上的点除外）， 当点在或时，三角形的面积最大，， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 28．【答案】①     ② 【分析】 求点关于直线的对称点，由圆的方程明确圆心与半径，根据圆外一点到圆上点的距离取最小，可得答案. 【详解】 设点关于直线对称的点为， 则 ,解得 ，故最短路径为． 记圆的圆心为，则直线BC的方程为， 联立 ，解得 ，即饮马点的坐标为． 故答案为：；. 29．【答案】（1）；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用圆的切线性质及点到直线距离公式求出半径即得. （2）由给定弦长求出弦心距，再按直线的斜率是否存在分类求解. （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. (1) 小问详解： 圆的圆心，由圆与直线相切，得圆半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 直线被圆所截弦长为，得圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. (3) 小问详解： 表示圆上的点到点的距离的平方， 而圆心到点的距离， 因此点到点距离的最小值，最大值为， 则的最小值为，最大值为， 所以的取值范围是. 30．【答案】（1）（2） 【分析】 根据点关于轴对称分别得出的坐标即可求解判断（1）；应用空间向量共面定理计算求解判断（2）；设线段的中点，由中点坐标公式得，将其代入圆方程化简即可得解判断（3）. 【详解】 点与点关于轴对称，则； 点与点关于轴对称，则； 点与点关于直线对称，则，（1）正确； 因为P，A，B，C四点共面，所以，则四点共面,（2）正确； 设线段的中点， 则由题，且 即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为，（3）错误； 故答案为：（1）（2）. 31．【答案】 【分析】 根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】 直线的方程转化为 令 ，解得 ，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则.即圆的半径为. 则圆的方程为 故答案为：. 32．【答案】（1）     （2）或；     （3）      【分析】 （1）求得平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；（2）设的方程为，利用点到直线的距离可得，求解即可； （3）设圆的方程，代入点的坐标，求解即可. (1) 小问详解： 因为，，. 所以， 所以与共线同向的单位向量为：， 所以平分线所在直线的方向向量为， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； (3) 小问详解： 设外接圆的方程为， 则 ，即 ，解得 ， 所以外接圆的方程为. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．C 2．A 3．C 4．C 5．D 6．A 7．C 8．A 9．C 10．A 11．C 12．C 13．B 14．B 15．C 16．B 17．A 18．A 19．B 20．A 21．B 22．B 23．D 24．C 25．B 26．C 27．C 28．【答案】或5 【分析】 根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】 由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 29．【答案】 【分析】 直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程. 【详解】 由题意，直线的方程化为， 由 得 ∴直线过定点，显然点在圆内， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线， ，解得， 代入到直线的方程并化简得. 故答案为：. 30．【答案】 【分析】 首先判断两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系，列式求解. 【详解】 已知与有三条公切线， 则两圆外切，故，两边同时平方可得： ，. 故答案为： 31．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由两点间的距离公式求出，即可写出圆C的标准方程； （2）根据点与圆的位置关系可知A在圆外，就切线斜率是否存在分类讨论，再根据点到直线的距离等于半径，列式即可解出． (1) 小问详解： 因为，所以圆． (2) 小问详解： 由已知得，A在圆外， 当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为， ，解得， 所以切线方程为， 综上，切线方程为或． 32．【答案】 【分析】 根据弦长可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】 圆，即，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，即，可得， 即，解得，即. 故答案为：. 33．【答案】 【分析】 将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】 将圆与圆相减可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又圆圆心到直线的距离， 圆的半径为，所以公共弦长为. 故答案为：. 34．【答案】 【分析】 结合圆心到直线的距离以及半径求得最小距离. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离最小为． 故答案为： 35．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆C的方程为，将点A、B代入，结合圆心在直线上，即可求解； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解； （3）根据点到直线的距离公式和弦长公式即可求解． (1) 小问详解： 设圆C的标准方程为， 则由题意得 ，解得 ， 故圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 因为，所以点在圆外， 当直线l的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则点到直线l的距离，解得， 此时，即； 综上，直线l的方程为或； (3) 小问详解： 因为圆心到的距离为， 所以弦长． 36．【答案】①     ② 【分析】 判断两圆的位置关系，由两圆方程相减可得公共弦方程，求到公共弦的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】 圆 的圆心为，半径， 圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， ，， 所以圆与圆相交， 将圆 和圆方程相减可得， 所以圆 与圆的公共弦所在的直线方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦的长为. 故答案为：；. 37．【答案】 【分析】 根据直线与圆的位置结合图象即可确定距离的最大值. 【详解】 将圆的方程化简为，因为圆心到直线的距离为 ，所以该直线与圆相离， 由题意根据直线与圆的关系，画出图象得 由图可以看出，当点位于图中位置时，点到直线的距离最大， 最大值为. 故答案为：. 38．【答案】 【分析】 由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】 联立 ， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 39．【答案】 【分析】 先根据直线的对称性得圆得方程为：，再根据直线过定点，且在圆内得当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，当直线过圆心时，有最大值，最后计算即可得答案. 【详解】 解：由圆得圆心，半径， 设圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以 ，整理得 ，解得： ， 所以圆得方程为：， 将直线方程变形为：， 所以直线过定点，易知其在圆内， 所以当直线与过点和的直线垂直时，有最小值， 此时最小值为：， 显然当直线过圆心时，弦有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】 本题考查点关于线的对称性问题，圆的弦长的取值范围问题，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 40．【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）先利用已知点求中垂线，联立直线方程得到圆心坐标，再利用点到圆心的距离计算半径，即得圆的标准方程； （2）先讨论斜率是否存在写出方程，根据弦长、半径与圆心到直线的距离构建关系求出参数，即得结果. 【详解】 解：（1）过点(1，6)，(5，2)的直线的斜率是，两点的中点是，故其中垂线的斜率是1，中垂线是，即，圆心在直线2x-y-3=0和上，联立方程得圆心，， 故圆C的标准方程为； （2）若直线l斜率不存在，则直线l：，此时圆心到直线的距离为1，故，|AB|=6，满足题意； 若直线l斜率存在，设为k，则直线l：，即，要使弦长|AB|=6，，半径为，则圆心到直线的距离为，即，解得，故直线方程是，即. 综上，直线l的方程为或. 【点睛】 求直线被圆截得的弦长的常用方法： （1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且 ； （2）代数法：联立直线与圆的方程，消元得到关于x的一元二次方程，由根和系数的关系，利用弦长公式计算弦长. 41．【答案】（2）（3） 【分析】 对于（1）：根据直线斜率公式以及图象分析判断；对于（2）根据中点和垂直关系分析判断；对于（3）根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断. 【详解】 （1）直线过定点，则，， 由图象可知：直线与线段AB相交，则，故（1）不正确； （2）假设点关于直线的对称点为， 则的中点坐标为， 此时，即中点在直线上， 又因为，直线的斜率是2，相乘等于， 可知与直线垂直， 所以假设成立，故（2）正确； （3）圆的圆心为，半径， 圆心C到直线l的距离为， 与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切， 因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确； 故答案为：（2）（3）． 42．【答案】或． 【分析】 求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值，进而得切线方程． 【详解】 圆标准方程是，圆心为，半径为1． 易知直线与圆相切， 设斜率存在的切线方程为，即， 由，解得，切线方程为，即． 故答案为：或． 43．【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）设圆心,由两点间的距离及圆心在直线上，列出方程组，求解即可求出圆心坐标，进而求出半径，写出圆的方程（2）由的长是，求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在求解. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 依题意可得： 解得 ，半径. ∴圆C的标准方程为； （2）,∴圆心到直线m的距离 ① 直线 斜率不存在时，直线m方程为：； ② 直线m斜率存在时，设直线m为. ,解得 ∴直线m的方程为 ∴直线m的方程为或. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题. 44．【答案】或 【分析】 分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】 由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 45．【答案】（1）     （2）或.     （3）.      【分析】 （1）由题意知到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. (1) 小问详解： 由题意知点到直线的距离为圆C的半径， 由点到直线的距离公式可得， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 因为直线与圆相交与，两点，且， 利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. (3) 小问详解： 表示点到点的距离的平方， 又圆心C到点的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 最大值为， 所以的最小值为9，最大值为49， 即的取值范围是. 46．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先确定圆心为的中垂线与的交点，根据直线垂直的关系及点斜式，结合两点距离公式计算即可； （2）利用点到直线的距离公式及弦长公式计算即可. (1) 小问详解： 易知和的中点，， 则的中垂线方程为， 联立方程 ，即圆心坐标为， 易知，所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 易知圆心C到直线的距离为， 又直线被圆截得弦长为， 所以，解之得或. 47．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. (1) 小问详解： 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为   ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， (2) 小问详解： 由（1）圆的圆心的坐标为   半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， (3) 小问详解： 设，， 因为， 所以，故， 由 ，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 48．【答案】 【分析】由题意，根据直线与交于不同的两点，且，求得，再由圆心到直线的距离，得到不等式，即可求解． 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为， 根据圆的弦长公式，得， 因为直线与交于不同的两点，且， 则，且，即 又由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离为： ，则，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，得出相应的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 49．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 50．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，设出圆心坐标，再由列出方程求解. （2）按切线斜率是否存在，结合点到直线距离公式列式求解. (1) 小问详解： 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 51．【答案】①     ② 【分析】 先两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，再结合圆的性质求出公共弦长，最后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】 圆和圆，两圆方程相减，得，化简得， 两圆的公共弦所在直线方程为， 又圆，其圆心坐标，半径， 圆心坐标到公共弦所在直线方程为的距离为， 两圆的公共弦长为， 点在两圆的公共弦所在直线上，，即， ， 又，故，根据均值不等式，得， 当且仅当时，即，等号成立. 的最小值为. 故答案为：；. 52．【答案】或. 【分析】 作出半圆和直线，由题意，两个图象有且仅有一个公共点，即可求解. 【详解】 解：由题意，原问题等价于直线与曲线有且仅有一个交点， 因为，即，所以曲线表示以为圆心，半径为3的圆的上半部分， 结合图象，当直线经过时，； 当直线经过时，； 当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）； 所以实数a的取值范围是或， 故答案为：或. 53．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据条件列方程进行求解； （2）先判断点与圆的位置关系，再对过的切线进行有无斜率的分类讨论，进而求出切线方程. (1) 小问详解：    因为圆心在射线上，设，其中. 设圆的标准方程为，其中 圆经过点，所以，化简得 圆心到直线的距离. 该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得. 故 ，解得 . 故圆的方程为. (2) 小问详解： 点距离圆心的距离为，所以点在圆外. 过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线. 设过点作圆的另一条切线方程为，变形得. 圆心到该直线的距离为，即，解得. 故该切线方程为，即. 综上，过点作圆的切线方程为或. 54．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立 ，解得 ， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 55．【答案】 【分析】 转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】 由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：    当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则 ，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 56．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据题意，分切线斜率是否存在两种情况，即可分别求得切线方程； （2）设，分别求出圆的圆心和半径，由题意可得，，推出，根据椭圆的定义可求得动圆圆心的轨迹方程. (1) 小问详解： 由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， ① 当切线斜率不存在时，显然满足要求； ② 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径2，可得，解得， 则切线方程为，化简可得； 故切线方程为或. (2) 小问详解： 由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， 设，动圆的半径为，因动圆M与圆内切且与圆外切， 则，，故可得， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设的轨迹方程为， 则，，所以， 故圆心的轨迹方程为． 57．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. (1) 小问详解： 设圆心为，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 由的长度为，则， ① 若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合；              ② 若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 58．【答案】 【分析】 确定两圆圆心及其半径后可得两圆相交，将两圆方程作差则可得公共弦的方程，再借助点到直线距离公式及垂径定理计算即可得解. 【详解】 由可得，故该圆以为圆心，为半径， 由可得， 故该圆以为圆心，为半径， 两圆心距离为， 两圆半径之和为，两圆半径之差为， 由，故两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆公共弦的方程为， 点到的距离为， 则两圆公共弦的弦长为. 故答案为：. 59．【答案】相交 【分析】 将圆M变为标准方程，可得圆心和半径，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得a值，可得圆M的方程，求出圆M和圆N的圆心距，分析即可得答案. 【详解】 圆M：，整理可得， 圆心，半径， 因为直线与圆M：相切， 所以圆心到直线的距离，即， 解得或（舍）， 所以圆M：，圆心， 圆N：，圆心， 则圆M与圆N的圆心距 因为，所以圆M和圆N相交. 故答案为：相交 60．【答案】（1）；     （2）；     （3）和.      【分析】 （1）根据圆心和圆过原点，求出半径，即可得答案. （2）先求出圆心到直线的距离d，代入弦长公式，计算即可得答案. （3）当切线垂直x轴时，分析可得，满足题意；当切线不垂直x轴时，设斜率为k，求出直线方程，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案. (1) 小问详解： 因为圆心为，且过原点， 所以半径，则圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离， 所以. (3) 小问详解： 当切线垂直x轴时，即方程为， 此时圆心到的距离为，故圆C与相切，符合题意； 当切线不垂直x轴时，设斜率为k，则方程为，即， 所以圆心到切线的距离，即， 平方可得，解得， 则切线方程为，即， 综上，切线方程为和. 61．【答案】 【分析】 设的中点为，求出点的轨迹方程，根据点到直线的距离公式可得表示两点到直线的距离之和的倍，求出点到直线的距离的最大值，即可得解. 【详解】 由题意得圆上两点，，得，    设的中点为，则， 由，得， 所以，可得点的轨迹是以为半径，为原点的圆， 则， 表示两点到直线的距离之和的倍，而为的中点， 故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值是. 故答案为：. 62．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设出圆心后，利用圆心与切点的连线与切线垂直，解出，再由圆心及圆上一点确定半径，即可得解； （2）分切线的斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. (1) 小问详解： 设圆心，则由题可知，有，解得， 故圆心，半径， 则. (2) 小问详解：    设过点的圆的切线为， ① 当的斜率不存在时，此时，圆心到直线的距离，此时圆与相切，符合题意； ② 当的斜率存在时，可设，即，由直线与圆相切可得： ，整理得，即，解得， 则. 综上所述，切线方程为或. 63．【答案】16或-24 【分析】 先分别求出两圆的圆心坐标、半径，然后将已知条件等价转换为或，从而列不等式求解即可. 【详解】 由圆，可知圆心，半径， 由圆，可知， 半径，可知 两圆心之间的距离为, 因为圆与圆相切， 所以①，即，解得 ②，即，解得 则实数的取值为或. 故答案为：或. 64．【答案】 【分析】 先设，进而转化为，再由柯西不等式可得最小值. 【详解】 设，则. 因为，即，当且仅当时等号成立. 因点在：上，由柯西不等式得： ，得，当且仅当时等号成立. 又点是直线：上，所以. 所以 所以，当且仅当时等号成立. 由，得，即. 由 ，解得，由可得，，此时时等号成立. 故答案为：. 65．【答案】（1）；     （2） 由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆． 设的坐标为，则． 由平面几何知识知，， 所以以为圆心，为半径的圆为， 即， 与的方程相减得，即为直线的方程． 又，所以直线的方程化为． 则有 ，解得 ，则直线恒过定点．     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）设的坐标为，根据得到的轨迹方程，将其与的方程作差即可得到直线方程，整理即可得到其过定点； （3）设的方程为，将其的方程联立，利用韦达定理法，计算出的表达式，用替换即可得到表达式，最后得到，最后利用截距法求出最值即可. (1) 小问详解： 设，由得，， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当直线与直线垂直时，此时， 当直线过圆心时，此时， 则根据弦长的连续性可知． 当直线的斜率不存在或为0时，． 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为． 联立 得，， 设，则， 则 用替换得． 所以． 设，则，且， 其图象为一段圆弧．当时， 令，即直线， 作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为． 66．【答案】① ③ 【分析】 求出轨迹方程判断① ；利用圆的几何性质求出圆上的点与点的距离范围判断② ；求出圆的轨迹方程，确定两圆位置关系判断③ ；由已知条件结合点到直线距离列出不等式求解判断④. 【详解】 对于① ：设点， 因为，整理得， 所以曲线的方程为，故① 正确； 对于② ：因为曲线是以为圆心，半径为的圆， 且点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为，且， 所以曲线上不存在点，使得到点的距离为10，故② 错误； 对于③ ：设点， 因为，则，整理得， 可知点E的轨迹以为圆心，半径的圆， 且，可知两圆内含，没有公共点， 所以曲线上不存在点，使得，故③ 正确； 对于④ ：圆心到直线的距离为， 若曲线上至少有3个点到直线的距离等于1， 则，即，解得，故④ 错误； 故答案为：① ③ . 67．【答案】 【分析】 先求得直线的方程，进而求得定点坐标. 【详解】 设点，因为在直线上， 所以满足，即. 因为、是圆的切线，切点为、， 所以，（为坐标原点）， 因此，、、、四点共圆，且该圆以为直径， 圆心坐标：,半径：， 圆的标准方程为：， 展开并整理得：， 圆与上述圆的公共弦为， 将两圆方程相减，得， 由，代入得： 整理为：， 要使该方程对任意恒成立，需令系数同时为0： ， 解得： ， 因此，直线恒过定点. 故答案为：        试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】 因为，则的中点坐标为， 且，则， 所以所求圆的方程为， 故选：A. 2．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）方程表示圆的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用方程表示圆的条件，列式计算得解. 【详解】 由方程表示圆，得， 所以. 故选：D 3．（25-26学年高二上·天津南开·期中）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案. 【详解】 由题意得，圆的半径， 所以圆的方程为， 所以圆的一般方程为. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆心是，半径为的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 借助圆的标准方程定义即可得. 【详解】 圆心是，半径为的圆的标准方程为. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·河北·期中）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（       ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】 因为是方程的两个不等实数根，且. 所以 ，. 所以点在圆外. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·河北·期中）圆心为且与轴相切的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先得到半径，即可得到圆的方程. 【详解】 因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 7．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】 设点，， 因为为的中点， 所以 ，则 ，即， 又因为动点在圆上，所以， 则， 则点轨迹方程为. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】本题首先可以根据圆心在轴上且与轴相切设圆的圆心为，再根据过点即可列出方程解出的值，最后得出结果． 【详解】由题意，圆心在轴上且过点的圆与轴相切， 设圆的圆心为，半径为． 则，解得 所求圆的方程为，即，故选B． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，主要考查圆的方程的求解，圆心到圆上的点的距离都是半径是解决本题的关键，考查方程思想，是简单题． 9．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）圆心为点，且过点，则该圆的标准方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据两点间距离得出半径，再应用圆的标准方程计算求解. 【详解】 圆心为点，且过点，则该圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】 由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 11．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 根据圆、直线的方程确定圆心、半径及直线所过定点，并判断定点与圆的位置关系，分析最小时直线的位置情况，再应用弦长的几何求法求的最小值. 【详解】 圆，即，圆心，半径， 直线，即，恒过定点， 由，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小，此时， 所以的最小值为. 故选：B 12．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】 圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为．    故选：B. 13．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，，.，则，可求得.设，则，.结合不等式即可求解. 【详解】 圆的圆心为，半径. ∵，是圆上的两点，∴，，. ∴，， ∴， . ∵，∴. 设，则，. ∴由向量数量积性质可得，即， 当且仅当与反向时；当且仅当与同向时. ∴的取值范围是. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）圆关于直线对称的圆的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆. 【详解】 因为圆的圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则 ，解得 即所求圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 故选：A. 15．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（     ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【分析】 根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【详解】 由的圆心，半径， 由的圆心，半径， 所以，故两圆相交. 故选：C 16．（25-26学年高二上·天津南开·期中）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（     ）. A. 12 B. 9 C. 6 D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出点与直线上的点距离和的最小值，再减去两圆半径和即可. 【详解】 圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则 ，解得 ，即， ， 则， 当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故选：B. 17．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝　　　　　　　　． 【答案】－2 【详解】方程化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F，解方程即得解. 【详解】方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F， 因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆， 所以， 所以F＝－2. 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．（25-26学年高二上·天津南开·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为　　． 【答案】或 【分析】 由已知得，从而 ，由此能求出定点的坐标． 【详解】 解：，即， 令 ，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 19．（25-26学年高二上·天津南开·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】 由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得. 所以圆的方程为：. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】 由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 21．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意先求出圆心关于直线对称的坐标，结合半径，代入圆的标准方程得解. 【详解】 由题意得，圆，化简得， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心关于直线的对称点的坐标为 得 ，解得 ，则所求圆的圆心坐标为，半径也为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 22．（25-26学年高二上·天津河东·期中）经过点的圆的一般方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设所求圆的方程为，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出的值，可得圆的方程. 【详解】 设所求圆的方程为，则 ，解得 ，所以圆的方程为 故答案为： 23．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 【详解】 设圆的方程为， 由圆经过三点，得 ，解得 ， 所以圆的方程为. 【点睛】 求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；② 圆心在任意弦的中垂线上；③ 两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 24．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. （1）求边AB上的高所在直线l的方程； （2）求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先求出直线AB的斜率，再求出AB上的高所在直线l的斜率，结合过点C，写出点斜式，整理为一般式即可； （2）根据直线AB的斜率，求出AB的中垂线斜率，结合AB的中点，得到AB的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心G，GA即为半径，根据圆心半径写出圆G的标准方程即可. (1) 小问详解： 由已知得，直线AB的斜率为，所以AB上的高所在直线l的斜率为2，又点，所以AB上的高所在直线l的方程为，即. (2) 小问详解： 因为AB的中点为，直线AB斜率为，则AB的中垂线斜率为2， 故AB的中垂线方程为，即，由 ，解得圆心，则圆G的半径， 故圆G的标准方程为. 25．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知点在圆上，则该圆的标准方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，由得到，可知的外接圆是以为直径的圆，然后求出圆的半径与圆心坐标，可得所求圆的标准方程. 【详解】 解：根据题意，经过三点的圆是的外接圆， 由，，，可知， 因为，所以的外接圆是以为直径的圆， 由，可知圆半径， 结合圆心为的中点，可得圆的方程为. 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是　　　　　　. 【答案】 【分析】 设关于直线的对称点为，列出方程组，求得，根据反射后恰好平分圆C的圆周，得到反射光线经过两点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】 如图所示，由圆，可得圆心为， 设关于直线的对称点为， 则满足 ，解得，即， 因为反射后恰好平分圆C的圆周，所以反射光线经过两点， 又由，所以反射光线的方程为，即. 故答案为：. 27．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求点关于直线的对称点为点，再求出动点的轨迹，进而可得点在或时，三角形的面积最大，从而结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】 因为点关于直线的对称点为点， 设B的坐标为， 则 ，解得 ， 即点B的坐标为，则， 设， 因为，即， 可得，整理可得， 可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆（x轴上的点除外）， 当点在或时，三角形的面积最大，， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 28．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）“将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为　　　　　　　　　　，在河边饮马点的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 求点关于直线的对称点，由圆的方程明确圆心与半径，根据圆外一点到圆上点的距离取最小，可得答案. 【详解】 设点关于直线对称的点为， 则 ,解得 ，故最短路径为． 记圆的圆心为，则直线BC的方程为， 联立 ，解得 ，即饮马点的坐标为． 故答案为：；. 29．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知圆的圆心坐标为，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，当时，求直线的方程； （3）若点为圆上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用圆的切线性质及点到直线距离公式求出半径即得. （2）由给定弦长求出弦心距，再按直线的斜率是否存在分类求解. （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. (1) 小问详解： 圆的圆心，由圆与直线相切，得圆半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 直线被圆所截弦长为，得圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. (3) 小问详解： 表示圆上的点到点的距离的平方， 而圆心到点的距离， 因此点到点距离的最小值，最大值为， 则的最小值为，最大值为， 所以的取值范围是. 30．（25-26学年高二上·天津部分·期中）给出下列命题： （1）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为； （2）已知三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面； （3）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为． 则上述命题中正确的是　　　　　　　　　　　．（把所有正确的命题序号都填上） 【答案】（1）（2） 【分析】 根据点关于轴对称分别得出的坐标即可求解判断（1）；应用空间向量共面定理计算求解判断（2）；设线段的中点，由中点坐标公式得，将其代入圆方程化简即可得解判断（3）. 【详解】 点与点关于轴对称，则； 点与点关于轴对称，则； 点与点关于直线对称，则，（1）正确； 因为P，A，B，C四点共面，所以，则四点共面,（2）正确； 设线段的中点， 则由题，且 即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为，（3）错误； 故答案为：（1）（2）. 31．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】 直线的方程转化为 令 ，解得 ，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则.即圆的半径为. 则圆的方程为 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知的三个顶点是，，. （1）求平分线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； （3）求外接圆的方程. 【答案】（1）     （2）或；     （3）      【分析】 （1）求得平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；（2）设的方程为，利用点到直线的距离可得，求解即可； （3）设圆的方程，代入点的坐标，求解即可. (1) 小问详解： 因为，，. 所以， 所以与共线同向的单位向量为：， 所以平分线所在直线的方向向量为， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； (2) 小问详解： 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； (3) 小问详解： 设外接圆的方程为， 则 ，即 ，解得 ， 所以外接圆的方程为. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A.  B. 1 C. 2 D.  【答案】C 【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用. 2．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 【答案】A 【分析】 根据给定条件，求出两圆的圆心距，再与两圆的半径和差比较大小判断作答. 【详解】 圆，即的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因此，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：A 3．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（       ） A.  B.  C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可. 【详解】 由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C 4．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用切点可求和切线斜率为，从而可得切线方程求焦点，再利用，即可求椭圆方程. 【详解】    由过的直线与圆切于点可得：， 则，由此可得切线的斜率为， 即可得切线方程：，整理得：， 令，可得，即焦点， 所以即， 所以椭圆方程为， 故选：C. 5．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据圆的方程确定圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】 设圆心C，则，设切线斜率，则，， 点斜式，整理得. 故选：D 6．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知圆与圆交于、两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 7．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（       ） A. 相交 B. 外切 C. 内含 D. 外离 【答案】C 【分析】 利用圆与圆位置关系的定义即可求解. 【详解】 由题可得：圆,半径,圆,半径,则, 所以两个圆内含； 故选：C 8．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得， ，因为在圆上，所以，即，化为，故选A. 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:① 直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；② 定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③ 参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④ 逆代法，将 代入.本题就是利用方法④ 求的轨迹方程的. 9．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）圆与圆的公共弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】 圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 10．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依题意，设，利用圆心到直线的距离等于半径列出两个方程，求解即得，进而可得圆的方程. 【详解】 因圆的圆心在直线上，可设圆心为，半径为， 依题意圆心到直线的距离，① 圆心到直线的距离，② 联立① 和② ，解得，故圆的方程为. 故选：A. 11．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 【答案】C 【分析】 计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】 由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】 由得， 所以直线与半圆有个公共点， 作出直线与半圆的图形，如图： 当直线经过点时，， 当直线与圆相切时，， 解得或（舍）， 由图可知，当直线与曲线有个公共点时，. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可得圆心到直线的距离，利用距离公式列出不等式求解即可. 【详解】 圆的圆心是，半径， 圆上恰有两个点到直线l ：y=x+b的距离等于； 所以圆心到直线的距离， 则，解得：或. 即实数的取值范围是. 故选：B 14．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的斜率的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】求出圆心与半径，则圆上至少有三个不同点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离；从而求直线的斜率的取值范围． 【详解】根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径， 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 设直线的斜率为，则＝﹣，直线的方程为，则有≤， 解得：，即的取值范围是. 故选B． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题． 15．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）圆：与圆：的公共弦的长为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【详解】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，计算圆心到直线的距离，得到答案. 【详解】圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为； 圆心距，，两圆相交. 公共弦为：，即，故圆心到公共弦的距离为， 公共弦长为：. 故选：. 【点睛】本题考查了公共弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）当直线被圆截得的弦长最短时，实数（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 根据直线方程可得直线经过定点，再由圆心到直线距离最大时弦长最短，由斜率关系即可求得. 【详解】 将直线的方程变形为， 由 可导 ，所以直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为，因为，所以点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时直线被圆截得的弦长最短， 因为，直线的斜率为， 所以，解得. 故选：B. 17．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围. 【详解】 因为圆心到直线的距离， 故要满足题意，只需，解得. 故选：A. 18．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知直线与圆交于、两点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用勾股定理可求得实数的值. 【详解】 圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，解得. 故选：A. 19．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】 由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 20．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离. 【详解】 由图可知，，， 则四点共圆，圆的直径是，点，， ，的中点坐标为， 所以四边形的外接圆的方程为， 即，圆， 两式相减得直线的方程， 则原点到直线的距离. 故选：A 21．（25-26学年高二上·天津西青·期中）我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知一条光线从点射出，经轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，则反射光线所在的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求得点关于轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程. 【详解】 由，可得圆心， 由反射定律可知，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上， 又反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 22．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知直线与圆相切，则圆M和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】B 【分析】 先通过直线与圆相切求出圆的参数，再计算两圆的圆心距，结合半径和与差判断位置关系. 【详解】 将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径（）. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径. 由点到直线的距离公式得. 结合，解得，故圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 两圆的圆心距：. 因为，所以两圆外切. 故选：B. 23．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在圆上，则圆关于直线对称 B. 若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C. 若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D. 若点在圆内，则直线与圆相离 【答案】D 【分析】 对A：计算可得该直线不过圆的圆心，即可得；对B：当圆的圆心到直线的距离时不符；对C：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得；对D：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得. 【详解】 对A：圆的圆心为， 有，故直线不过圆的圆心， 故直线不是圆的对称轴，故A错误； 对B：由点在圆外，则， 则点到直线的距离为， 但当时，有此时圆上有四个点到直线的距离为，故B错误； 对C：若点在直线上，则有，即， 则点到直线的距离为， 故直线为圆切线，故C错误； 对D：若点在圆内，则， 则点到直线的距离为， 则直线与圆相离，故D正确. 故选：D. 24．（25-26学年高二上·天津部分·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 数形结合，找到“圆上仅有1个点到直线的距离为”与“圆上有且仅有3个点到直线的距离为”的直线的两种临界状态，然后根据条件列不等式，即得答案. 【详解】 圆的圆心为：，半径，直线方程为：， 圆心到直线的距离， 因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 所以，即， 解得：. 故选：C 25．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（     ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项. 【详解】 因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图象如图所示：     由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故① 正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故② 正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故③ 错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故④ 正确； 故选：B 26．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】 由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图.    可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 27．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题通过分析直线过定点及垂直关系确定交点轨迹，再结合圆与圆的位置关系求距离最大值. 【详解】 整理，得，故过定点. 整理，得，故过定点. 因与垂直（因为），故的轨迹是以和为直径端点的圆. 圆心为两点中点：. 半径为两点距离的一半：. 即的轨迹方程为. 圆，其圆心，半径. 两圆心与的距离为. 的最大值为两圆心距离加上轨迹圆的半径和圆的半径， 即. 故选：C. 28．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是　　　　　　　　　. 【答案】或5 【分析】 根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】 由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 29．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程. 【详解】 由题意，直线的方程化为， 由 得 ∴直线过定点，显然点在圆内， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线， ，解得， 代入到直线的方程并化简得. 故答案为：. 30．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知圆与圆有三条公切线，则　　　　　． 【答案】 【分析】 首先判断两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系，列式求解. 【详解】 已知与有三条公切线， 则两圆外切，故，两边同时平方可得： ，. 故答案为： 31．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知圆C是以点为圆心，且过点的圆． （1）求圆C的标准方程； （2）若点A的坐标为，求过点A的圆C的切线方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由两点间的距离公式求出，即可写出圆C的标准方程； （2）根据点与圆的位置关系可知A在圆外，就切线斜率是否存在分类讨论，再根据点到直线的距离等于半径，列式即可解出． (1) 小问详解： 因为，所以圆． (2) 小问详解： 由已知得，A在圆外， 当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为， ，解得， 所以切线方程为， 综上，切线方程为或． 32．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知直线与圆交于A､B两点，且，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据弦长可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】 圆，即，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，即，可得， 即，解得，即. 故答案为：. 33．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）圆与圆的公共弦的长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】 将圆与圆相减可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又圆圆心到直线的距离， 圆的半径为，所以公共弦长为. 故答案为：. 34．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）圆上的点到直线的距离最小为　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合圆心到直线的距离以及半径求得最小距离. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离最小为． 故答案为： 35．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求直线l的方程； （3）求直线被圆C所截得的弦长. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设圆C的方程为，将点A、B代入，结合圆心在直线上，即可求解； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解； （3）根据点到直线的距离公式和弦长公式即可求解． (1) 小问详解： 设圆C的标准方程为， 则由题意得 ，解得 ， 故圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 因为，所以点在圆外， 当直线l的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则点到直线l的距离，解得， 此时，即； 综上，直线l的方程为或； (3) 小问详解： 因为圆心到的距离为， 所以弦长． 36．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为　　　　　，弦长为　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 判断两圆的位置关系，由两圆方程相减可得公共弦方程，求到公共弦的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】 圆 的圆心为，半径， 圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， ，， 所以圆与圆相交， 将圆 和圆方程相减可得， 所以圆 与圆的公共弦所在的直线方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦的长为. 故答案为：；. 37．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线与圆的位置结合图象即可确定距离的最大值. 【详解】 将圆的方程化简为，因为圆心到直线的距离为 ，所以该直线与圆相离， 由题意根据直线与圆的关系，画出图象得 由图可以看出，当点位于图中位置时，点到直线的距离最大， 最大值为. 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）圆：与圆：的公共弦长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】 联立 ， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 39．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据直线的对称性得圆得方程为：，再根据直线过定点，且在圆内得当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，当直线过圆心时，有最大值，最后计算即可得答案. 【详解】 解：由圆得圆心，半径， 设圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以有 ，整理得 ，解得： ， 所以圆得方程为：， 将直线方程变形为：， 所以直线过定点，易知其在圆内， 所以当直线与过点和的直线垂直时，有最小值， 此时最小值为：， 显然当直线过圆心时，弦有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】 本题考查点关于线的对称性问题，圆的弦长的取值范围问题，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 40．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，且圆C过点(1，6)，(5，2). （1）求圆C的标准方程； （2）过点P(3，2)的直线l与圆C交于A、B两点，当|AB|=6时，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）先利用已知点求中垂线，联立直线方程得到圆心坐标，再利用点到圆心的距离计算半径，即得圆的标准方程； （2）先讨论斜率是否存在写出方程，根据弦长、半径与圆心到直线的距离构建关系求出参数，即得结果. 【详解】 解：（1）过点(1，6)，(5，2)的直线的斜率是，两点的中点是，故其中垂线的斜率是1，中垂线是，即，圆心在直线2x-y-3=0和上，联立方程得圆心，， 故圆C的标准方程为； （2）若直线l斜率不存在，则直线l：，此时圆心到直线的距离为1，故，|AB|=6，满足题意； 若直线l斜率存在，设为k，则直线l：，即，要使弦长|AB|=6，，半径为，则圆心到直线的距离为，即，解得，故直线方程是，即. 综上，直线l的方程为或. 【点睛】 求直线被圆截得的弦长的常用方法： （1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且 ； （2）代数法：联立直线与圆的方程，消元得到关于x的一元二次方程，由根和系数的关系，利用弦长公式计算弦长. 41．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是； （2）若点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有3个点到直线的距离为1． 其中正确的命题有　　　　　　　　．（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】（2）（3） 【分析】 对于（1）：根据直线斜率公式以及图象分析判断；对于（2）根据中点和垂直关系分析判断；对于（3）根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断. 【详解】 （1）直线过定点，则，， 由图象可知：直线与线段AB相交，则，故（1）不正确； （2）假设点关于直线的对称点为， 则的中点坐标为， 此时，即中点在直线上， 又因为，直线的斜率是2，相乘等于， 可知与直线垂直， 所以假设成立，故（2）正确； （3）圆的圆心为，半径， 圆心C到直线l的距离为， 与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切， 因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确； 故答案为：（2）（3）． 42．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）经过点，并且与圆相切的直线方程是　　　　　　. 【答案】或． 【分析】 求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值，进而得切线方程． 【详解】 圆标准方程是，圆心为，半径为1． 易知直线与圆相切， 设斜率存在的切线方程为，即， 由，解得，切线方程为，即． 故答案为：或． 43．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点（2，3）的直线被圆C所截得的弦的长是，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）设圆心,由两点间的距离及圆心在直线上，列出方程组，求解即可求出圆心坐标，进而求出半径，写出圆的方程（2）由的长是，求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在求解. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 依题意可得： 解得 ，半径. ∴圆C的标准方程为； （2）,∴圆心到直线m的距离 ① 直线 斜率不存在时，直线m方程为：； ② 直线m斜率存在时，设直线m为. ,解得 ∴直线m的方程为 ∴直线m的方程为或. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题. 44．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　. 【答案】或 【分析】 分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】 由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 45．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程： （3）已知实数，满足圆的方程，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）或.     （3）.      【分析】 （1）由题意知到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. (1) 小问详解： 由题意知点到直线的距离为圆C的半径， 由点到直线的距离公式可得， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 因为直线与圆相交与，两点，且， 利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. (3) 小问详解： 表示点到点的距离的平方， 又圆心C到点的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 最大值为， 所以的最小值为9，最大值为49， 即的取值范围是. 46．（25-26学年高二上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先确定圆心为的中垂线与的交点，根据直线垂直的关系及点斜式，结合两点距离公式计算即可； （2）利用点到直线的距离公式及弦长公式计算即可. (1) 小问详解： 易知和的中点，， 则的中垂线方程为， 联立方程 ，即圆心坐标为， 易知，所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 易知圆心C到直线的距离为， 又直线被圆截得弦长为， 所以，解之得或. 47．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. (1) 小问详解： 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为   ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， (2) 小问详解： 由（1）圆的圆心的坐标为   半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， (3) 小问详解： 设，， 因为， 所以，故， 由 ，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 48．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知直线与圆交于不同的两点，若，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】由题意，根据直线与交于不同的两点，且，求得，再由圆心到直线的距离，得到不等式，即可求解． 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为， 根据圆的弦长公式，得， 因为直线与交于不同的两点，且， 则，且，即 又由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离为： ，则，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，得出相应的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 49．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 50．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据给定条件，设出圆心坐标，再由列出方程求解. （2）按切线斜率是否存在，结合点到直线距离公式列式求解. (1) 小问详解： 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 51．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知圆和圆相交，则两圆的公共弦长是　　　　　　　　　　　；若点在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 先两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，再结合圆的性质求出公共弦长，最后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】 圆和圆，两圆方程相减，得，化简得， 两圆的公共弦所在直线方程为， 又圆，其圆心坐标，半径， 圆心坐标到公共弦所在直线方程为的距离为， 两圆的公共弦长为， 点在两圆的公共弦所在直线上，，即， ， 又，故，根据均值不等式，得， 当且仅当时，即，等号成立. 的最小值为. 故答案为：；. 52．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】或. 【分析】 作出半圆和直线，由题意，两个图象有且仅有一个公共点，即可求解. 【详解】 解：由题意，原问题等价于直线与曲线有且仅有一个交点， 因为，即，所以曲线表示以为圆心，半径为3的圆的上半部分， 结合图象，当直线经过时，； 当直线经过时，； 当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）； 所以实数a的取值范围是或， 故答案为：或. 53．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）设出圆的标准方程，根据条件列方程进行求解； （2）先判断点与圆的位置关系，再对过的切线进行有无斜率的分类讨论，进而求出切线方程. (1) 小问详解：    因为圆心在射线上，设，其中. 设圆的标准方程为，其中 圆经过点，所以，化简得 圆心到直线的距离. 该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得. 故 ，解得 . 故圆的方程为. (2) 小问详解： 点距离圆心的距离为，所以点在圆外. 过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线. 设过点作圆的另一条切线方程为，变形得. 圆心到该直线的距离为，即，解得. 故该切线方程为，即. 综上，过点作圆的切线方程为或. 54．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立 ，解得 ， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 55．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】 由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：    当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则 ，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 56．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知圆和圆 （1）过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据题意，分切线斜率是否存在两种情况，即可分别求得切线方程； （2）设，分别求出圆的圆心和半径，由题意可得，，推出，根据椭圆的定义可求得动圆圆心的轨迹方程. (1) 小问详解： 由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， ① 当切线斜率不存在时，显然满足要求； ② 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径2，可得，解得， 则切线方程为，化简可得； 故切线方程为或. (2) 小问详解： 由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， 设，动圆的半径为，因动圆M与圆内切且与圆外切， 则，，故可得， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设的轨迹方程为， 则，，所以， 故圆心的轨迹方程为． 57．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. (1) 小问详解： 设圆心为，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 由的长度为，则， ① 若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合；              ② 若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 58．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆与圆的公共弦的弦长为　　　　　． 【答案】 【分析】 确定两圆圆心及其半径后可得两圆相交，将两圆方程作差则可得公共弦的方程，再借助点到直线距离公式及垂径定理计算即可得解. 【详解】 由可得，故该圆以为圆心，为半径， 由可得， 故该圆以为圆心，为半径， 两圆心距离为， 两圆半径之和为，两圆半径之差为， 由，故两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆公共弦的方程为， 点到的距离为， 则两圆公共弦的弦长为. 故答案为：. 59．（25-26学年高二上·河北·期中）已知直线与圆M：相切，则圆M和圆N：的位置关系是　　　　　　　（外离、相交、外切、内切、内含） 【答案】相交 【分析】 将圆M变为标准方程，可得圆心和半径，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得a值，可得圆M的方程，求出圆M和圆N的圆心距，分析即可得答案. 【详解】 圆M：，整理可得， 圆心，半径， 因为直线与圆M：相切， 所以圆心到直线的距离，即， 解得或（舍）， 所以圆M：，圆心， 圆N：，圆心， 则圆M与圆N的圆心距 因为，所以圆M和圆N相交. 故答案为：相交 60．（25-26学年高二上·河北·期中）已知圆C经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，求弦长的值； （3）过点引圆C的切线，求切线的方程. 【答案】（1）；     （2）；     （3）和.      【分析】 （1）根据圆心和圆过原点，求出半径，即可得答案. （2）先求出圆心到直线的距离d，代入弦长公式，计算即可得答案. （3）当切线垂直x轴时，分析可得，满足题意；当切线不垂直x轴时，设斜率为k，求出直线方程，根据题意，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案. (1) 小问详解： 因为圆心为，且过原点， 所以半径，则圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离， 所以. (3) 小问详解： 当切线垂直x轴时，即方程为， 此时圆心到的距离为，故圆C与相切，符合题意； 当切线不垂直x轴时，设斜率为k，则方程为，即， 所以圆心到切线的距离，即， 平方可得，解得， 则切线方程为，即， 综上，切线方程为和. 61．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设的中点为，求出点的轨迹方程，根据点到直线的距离公式可得表示两点到直线的距离之和的倍，求出点到直线的距离的最大值，即可得解. 【详解】 由题意得圆上两点，，得，    设的中点为，则， 由，得， 所以，可得点的轨迹是以为半径，为原点的圆， 则， 表示两点到直线的距离之和的倍，而为的中点， 故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值是. 故答案为：. 62．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知的圆心在轴上，并且与直线相切于点. （1）求的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设出圆心后，利用圆心与切点的连线与切线垂直，解出，再由圆心及圆上一点确定半径，即可得解； （2）分切线的斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. (1) 小问详解： 设圆心，则由题可知，有，解得， 故圆心，半径， 则. (2) 小问详解：    设过点的圆的切线为， ① 当的斜率不存在时，此时，圆心到直线的距离，此时圆与相切，符合题意； ② 当的斜率存在时，可设，即，由直线与圆相切可得： ，整理得，即，解得， 则. 综上所述，切线方程为或. 63．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知圆与圆相切，则实数的取值为　　　　　. 【答案】16或-24 【分析】 先分别求出两圆的圆心坐标、半径，然后将已知条件等价转换为或，从而列不等式求解即可. 【详解】 由圆，可知圆心，半径， 由圆，可知， 半径，可知 两圆心之间的距离为, 因为圆与圆相切， 所以①，即，解得 ②，即，解得 则实数的取值为或. 故答案为：或. 64．（25-26学年高二上·天津南开·期中）设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 先设，进而转化为，再由柯西不等式可得最小值. 【详解】 设，则. 因为，即，当且仅当时等号成立. 因点在：上，由柯西不等式得： ，得，当且仅当时等号成立. 又点是直线：上，所以. 所以 所以，当且仅当时等号成立. 由，得，即. 由 ，解得，由可得，，此时时等号成立. 故答案为：. 65．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 【答案】（1）；     （2） 由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆． 设的坐标为，则． 由平面几何知识知，， 所以以为圆心，为半径的圆为， 即， 与的方程相减得，即为直线的方程． 又，所以直线的方程化为． 则有 ，解得 ，则直线恒过定点．     （3）.      【分析】 （1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）设的坐标为，根据得到的轨迹方程，将其与的方程作差即可得到直线方程，整理即可得到其过定点； （3）设的方程为，将其的方程联立，利用韦达定理法，计算出的表达式，用替换即可得到表达式，最后得到，最后利用截距法求出最值即可. (1) 小问详解： 设，由得，， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当直线与直线垂直时，此时， 当直线过圆心时，此时， 则根据弦长的连续性可知． 当直线的斜率不存在或为0时，． 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为． 联立 得，， 设，则， 则 用替换得． 所以． 设，则，且， 其图象为一段圆弧．当时， 令，即直线， 作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为． 66．（25-26学年高二上·天津西青·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，定点两点，动点满足，则点的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为曲线.给出下列结论： ①曲线的方程为； ②在曲线上存在点，使得到点的距离为10； ③在曲线上不存在点，使得； ④若曲线上至少有3个点到直线的距离等于1，则. 其中正确结论的序号为　　　　　　　　　　. 【答案】① ③ 【分析】 求出轨迹方程判断① ；利用圆的几何性质求出圆上的点与点的距离范围判断② ；求出圆的轨迹方程，确定两圆位置关系判断③ ；由已知条件结合点到直线距离列出不等式求解判断④. 【详解】 对于① ：设点， 因为，整理得， 所以曲线的方程为，故① 正确； 对于② ：因为曲线是以为圆心，半径为的圆， 且点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为，且， 所以曲线上不存在点，使得到点的距离为10，故② 错误； 对于③ ：设点， 因为，则，整理得， 可知点E的轨迹以为圆心，半径的圆， 且，可知两圆内含，没有公共点， 所以曲线上不存在点，使得，故③ 正确； 对于④ ：圆心到直线的距离为， 若曲线上至少有3个点到直线的距离等于1， 则，即，解得，故④ 错误； 故答案为：① ③ . 67．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点　　　　　． 【答案】 【分析】 先求得直线的方程，进而求得定点坐标. 【详解】 设点，因为在直线上， 所以满足，即. 因为、是圆的切线，切点为、， 所以，（为坐标原点）， 因此，、、、四点共圆，且该圆以为直径， 圆心坐标：,半径：， 圆的标准方程为：， 展开并整理得：， 圆与上述圆的公共弦为， 将两圆方程相减，得， 由，代入得： 整理为：， 要使该方程对任意恒成立，需令系数同时为0： ， 解得： ， 因此，直线恒过定点. 故答案为：        试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆、直线与圆的位置关系 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）方程表示圆的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·天津南开·期中）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆心是，半径为的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河北·期中）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（       ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 6．（25-26学年高二上·河北·期中）圆心为且与轴相切的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是 A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）圆心为点，且过点，则该圆的标准方程是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 12．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）圆关于直线对称的圆的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（     ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 16．（25-26学年高二上·天津南开·期中）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（     ）. A. 12 B. 9 C. 6 D.  17．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝　　　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·天津南开·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为　　． 19．（25-26学年高二上·天津南开·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 20．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）与圆关于直线对称的圆的标准方程为　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·天津河东·期中）经过点的圆的一般方程为　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. （1）求边AB上的高所在直线l的方程； （2）求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 25．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知点在圆上，则该圆的标准方程为　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是　　　　　　. 27．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）“将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为　　　　　　　　　　，在河边饮马点的坐标为　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知圆的圆心坐标为，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，当时，求直线的方程； （3）若点为圆上任意一点，求的取值范围． 30．（25-26学年高二上·天津部分·期中）给出下列命题： （1）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为； （2）已知三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面； （3）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为． 则上述命题中正确的是　　　　　　　　　　　．（把所有正确的命题序号都填上） 31．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为　　　　　. 32．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知的三个顶点是，，. （1）求平分线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； （3）求外接圆的方程. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A.  B. 1 C. 2 D.  2．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 3．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（       ） A.  B.  C. 2 D. 1 4．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知圆与圆交于、两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（       ） A. 相交 B. 外切 C. 内含 D. 外离 8．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）圆与圆的公共弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 12．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的斜率的取值范围是 A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）圆：与圆：的公共弦的长为（       ） A.  B. 2 C.  D.  16．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）当直线被圆截得的弦长最短时，实数（       ） A.  B.  C.  D. 1 17．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知直线与圆交于、两点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 2 20．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·天津西青·期中）我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知一条光线从点射出，经轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，则反射光线所在的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知直线与圆相切，则圆M和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 23．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ） A. 若点在圆上，则圆关于直线对称 B. 若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C. 若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D. 若点在圆内，则直线与圆相离 24．（25-26学年高二上·天津部分·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（     ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 26．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是　　　　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知圆与圆有三条公切线，则　　　　　． 31．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知圆C是以点为圆心，且过点的圆． （1）求圆C的标准方程； （2）若点A的坐标为，求过点A的圆C的切线方程． 32．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知直线与圆交于A､B两点，且，则　　　　　　　　　　. 33．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）圆与圆的公共弦的长为　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）圆上的点到直线的距离最小为　　　　　　. 35．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的切线l，求直线l的方程； （3）求直线被圆C所截得的弦长. 36．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为　　　　　，弦长为　　　　　. 37．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为　　　　　. 38．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）圆：与圆：的公共弦长为　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，且圆C过点(1，6)，(5，2). （1）求圆C的标准方程； （2）过点P(3，2)的直线l与圆C交于A、B两点，当|AB|=6时，求直线l的方程. 41．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）给出下列命题： （1）直线与线段相交，其中，，则实数的取值范围是； （2）若点关于直线的对称点为，则的坐标为； （3）圆上恰有3个点到直线的距离为1． 其中正确的命题有　　　　　　　　．（把所有正确的命题的序号都填上） 42．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）经过点，并且与圆相切的直线方程是　　　　　　. 43．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点（2，3）的直线被圆C所截得的弦的长是，求直线的方程． 44．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）过点作圆的切线，则切线方程为　　　　　　. 45．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程： （3）已知实数，满足圆的方程，求的取值范围. 46．（25-26学年高二上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 47．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 48．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知直线与圆交于不同的两点，若，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 50．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 51．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知圆和圆相交，则两圆的公共弦长是　　　　　　　　　　　；若点在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 53．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 54．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 55．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 　　　　　　　． 56．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知圆和圆 （1）过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 57．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 58．（25-26学年高二上·天津河东·期中）圆与圆的公共弦的弦长为　　　　　． 59．（25-26学年高二上·河北·期中）已知直线与圆M：相切，则圆M和圆N：的位置关系是　　　　　　　（外离、相交、外切、内切、内含） 60．（25-26学年高二上·河北·期中）已知圆C经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，求弦长的值； （3）过点引圆C的切线，求切线的方程. 61．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为　　　　　　　　　. 62．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知的圆心在轴上，并且与直线相切于点. （1）求的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 63．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知圆与圆相切，则实数的取值为　　　　　. 64．（25-26学年高二上·天津南开·期中）设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是　　　　　　. 65．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 66．（25-26学年高二上·天津西青·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，定点两点，动点满足，则点的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为曲线.给出下列结论： ①曲线的方程为； ②在曲线上存在点，使得到点的距离为10； ③在曲线上不存在点，使得； ④若曲线上至少有3个点到直线的距离等于1，则. 其中正确结论的序号为　　　　　　　　　　. 67．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $