第04讲：圆锥曲线压轴类型专题【八大考点+八大题型】期中复习讲义-2025-2026学年高二数学上学期《考点·题型·密卷》（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲：圆锥曲线压轴类型专题 【题型梳理】 【考点梳理】 考点一、弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|P1P2|＝·， 考点二、求椭圆离心率的方法 ①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解． ②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 考点三、焦点三角形的结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a＋c)． ④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.　 考点四．抛物线最值问题的求法 (1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题． (2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． 【题型探究】 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 【例2】．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【详解】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 【例3】．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为， 根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得. 则实数k的取值范围为. 题型二：圆锥曲线的中点弦问题 【例1】．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 所以点的轨迹方程为， 设过点的直线与椭圆交于，， 所以，所以， 因为为中点，所以，， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：B. 【例2】．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【例3】．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ，由代入得，.所以椭圆的离心率为. 故选：A. 题型三：圆锥曲线的弦长问题 【例1】．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，结合两点间距离公式运算求解； （2）根据（1）中韦达定理可得，且直线与轴的交点为椭圆的右焦点，进而可求面积. 【详解】（1）设两点的坐标分别为， 联立方程，消去得． 由，且，可得， 则， 可得点的坐标为， 又因为，解得或（舍去）， 所以的值为. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 由椭圆方程可知：， 由直线与轴的交点为椭圆的右焦点， 则， 所以的面积为． 【例2】．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得，当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 【例3】．（22-23高二上·山东烟台·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积. 【详解】（1）解：设双曲线的方程为，将点代入方程中得， 所以双曲线的方程为，即双曲线的方程为. （2）解：在双曲线中，，，则， 则，所以直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 则， 所以，. 题型四：圆锥曲线的最值、范围问题 【例1】．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 【详解】（1）由椭圆的对称性，不妨设点在第二象限， 则，代入椭圆方程可得，又椭圆的离心率，则， 解得，又，则，所以椭圆方程为； （2） 由（1）得椭圆方程为， 设直线与椭圆的交点，， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则， 又原点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为． 【例2】．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 【例3】．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 【详解】（1）因为两条渐近线互相垂直，则，即， 又过点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程消去y可得. 因为直线与双曲线相交于不同的两点， 则，解得， 设，则， 可得， 且原点到直线的距离， 则， 若的面积不小于，即， 整理可得，解得，可得， 综上所述：直线的斜率的取值范围为. 题型五：圆锥曲线的向量问题 【例1】．（22-23高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 【详解】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得， 故，所以.    （3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为.    【例2】．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围； （2）根据成立，得出，结合韦达定理计算求参. 【详解】（1）由，得， 由，得成立. 设，则， 因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点， 所以，即， 所以，综上得， 解得. （2）令得，依题意， 因为，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，计算得，又因为， 所以. 【例3】．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析； 【分析】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表示求出，并结合交点个数可判断结论. 【详解】（1）由实轴长为2可得，即； 再由离心率为可得，即， 所以， 可得双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 联立，整理可得， 显然，且，解得且； 设，可得， 所以 ， 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足. 题型六：圆锥曲线的定点定值问题 【例1】．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【例2】．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）如图，设，，联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 【例3】．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【详解】（1）双曲线的焦点为，， 对椭圆：有， 又椭圆的离心率为，则由，得， 又有， 椭圆的标准方程为； （2）设，，设直线方程为， 由，整理得：， 由， ，， ，， ， 要使为定值，则， 即，即， 解得：或舍， 故． 题型七：圆锥曲线的定直线问题 【例1】．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 【例2】．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【详解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【例3】．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【详解】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    题型八：圆锥曲线压轴问题 【例1】．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线过点且与椭圆交于不同的两点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组求解即可； （2）设出直线方程，联立椭圆方程消去，结合弦长公式求解可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以，椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为0时，直线被椭圆所截得的弦为椭圆长轴，长为4，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为， 联立消去整理得， ，， 因为， 所以， 即，整理得， 解得（负值已舍去），所以， 所以，直线的方程为或.    【例2】．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的方程为，长轴长为，短轴长为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在轴的右侧，若，求四边形面积的最小值. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆方程为， 则，所以离心率； （2）设线段的中点为，连接，因为，所以. 由题意知直线的斜率存在， 设点的坐标为， 则点的坐标为，直线的斜率， 所以直线的斜率， 故直线的方程为. 令，得，故. 由，得，化简得. 因此． 当且仅当时，即时等号成立． 故四边形面积的最小值为． 【例3】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． （2）①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得，则，，，而，，则，，因此 ，解得， 所以直线MN：恒过定点． ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为，则，即，解得， 即可得点有，，同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【高分达标】 1．（25-26高二上·北京·期中）椭圆E的方程为 (1)直接写出椭圆E的焦点坐标和长轴长； (2)已知直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1)，4； (2) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程与相关定义计算即可； （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理与弦长公式计算参数即可. 【详解】（1）设E的焦点坐标， 由可知，该椭圆的长轴长，短轴长， 所以，则焦点坐标为； （2）设， 联立直线与椭圆方程，则， 所以，即， 且， 所以， 则直线l的方程为. 2．（22-23高二上·广东·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程． （2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解. 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有， 故以为中点的弦所在的直线方程为，即. 3．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率 (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质与平面向量的坐标运算进行计算即可； （2）联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，再结合向量的坐标运算化简即可. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以. 由，，得，, 因为，所以，又，所以， 则， 所以椭圆的方程为，离心率. （2）由（1）知，    根据题意易知直线斜率必然存在，设为. 由，得， 则，即， 设，，则，， 所以. 因为， 所以，解得，符合， 所以直线的方程为. 4．（25-26高二上·云南红河·期中）已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. (1)若，求直线的斜率； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的方程为，与椭圆方程联立韦达定理，然后利用向量垂直的坐标运算求得，即可得解. （2）求出点的纵坐标，进而的面积，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为. 由，消得，， 设，，则，， 则， ， ，， 因为，所以， 即，所以， 即，整理得到，解得. 所以直线的斜率为. （2）由（1）得，所以的中点的纵坐标为， 所以的面积， 当且仅当时，的面积最大值为. 5．（25-26高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 6．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 7．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标即可算出a、b的值，也即求出椭圆的方程； （2）可知定点，再根据P求出过抛物线C的切线方程，结合点到直线的距离以及椭圆的弦长公式即可求得的面积． 【详解】（1）由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 8．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求出得方程； （2）设直线，由求出，根据弦长公式求. 【详解】（1）因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． （2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 9．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 11．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； (3)设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出双曲线右焦点为，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. 【详解】（1）由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； （2）设，则有， =，由， 当时，. （3）由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 12．（24-25高二下·海南海口·期中）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 【详解】（1）解：由题意，可设抛物线的标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）解：①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 13．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 则到直线的距离为，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）设，由，消去得， 则，， 由直线与双曲线左支交于两点，得，解得， 所以的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离，设， 由，消去得，则， 则， 于是， 令，则， 所以的取值范围为． 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由离心率为，得， 所以椭圆方程为. （2）（i）由点，得线段AE的方程为，设， 由的面积是1，得，而， 解得，，即点，又点. 所以直线l的斜率. （ii）依题意，直线l的斜率存在且为正，设直线l的，点， 由的面积与的面积之比为， 得，而，则， 又点均在第一象限，因此， 由，解得，即， 则，，而， 因此，整理得，解得， 所以直线l的斜率为. 15．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点； ②设和的面积分别为、，求的最大值． 【详解】（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 椭圆的标准方程为． （2） ①证明：设点，、，， 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意； 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立，消去可得， 由，得， 由韦达定理可得，， 则， ， 解得， 即直线的方程为，故直线过定点． ②由韦达定理可得，， ， ，令，则， ， 函数在上单调递增， ，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：圆锥曲线压轴类型专题 【题型梳理】 【考点梳理】 考点一、弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|P1P2|＝·， 考点二、求椭圆离心率的方法 ①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解． ②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解． 考点三、焦点三角形的结论 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a＋c)． ④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.　 考点四．抛物线最值问题的求法 (1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题． (2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． 【题型探究】 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【例2】．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【例3】．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 题型二：圆锥曲线的中点弦问题 【例1】．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 题型三：圆锥曲线的弦长问题 【例1】．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． (1)求的值； (2)求的面积． 【例2】．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【例3】．（22-23高二上·山东烟台·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积. 题型四：圆锥曲线的最值、范围问题 【例1】．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 【例2】．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【例3】．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 题型五：圆锥曲线的向量问题 【例1】．（22-23高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 【例2】．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【例3】．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型六：圆锥曲线的定点定值问题 【例1】．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【例2】．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【例3】．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 题型七：圆锥曲线的定直线问题 【例1】．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【例2】．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【例3】．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 题型八：圆锥曲线压轴问题 【例1】．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线过点且与椭圆交于不同的两点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【例2】．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的方程为，长轴长为，短轴长为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在轴的右侧，若，求四边形面积的最小值. 【例3】．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【高分达标】 1．（25-26高二上·北京·期中）椭圆E的方程为 (1)直接写出椭圆E的焦点坐标和长轴长； (2)已知直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线l的方程. 2．（22-23高二上·广东·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 3．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 4．（25-26高二上·云南红河·期中）已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. (1)若，求直线的斜率； (2)求面积的最大值. 5．（25-26高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 6．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 7．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 8．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 9．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 11．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； (3)设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 12．（24-25高二下·海南海口·期中）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 13．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若O为坐标原点，椭圆C的右顶点为A，点E的坐标为，过点F的直线l与椭圆C交第一象限于点M，与线段AE交于点P． （i）若的面积是1，求直线l的斜率； （ii）若的面积与的面积之比为，求直线l的斜率． 15．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点； ②设和的面积分别为、，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $