四川省南充高级中学2026-2027学年第二次诊断考试数学试题

南充高中高2024级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命审题：南充高中高2024级高考中心命题组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．复数在复平面内对应的点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知：，：，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线：（，）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 6．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A．倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 7．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的高为（ ） A． B． C． D．2 8．若函数，有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．若，则下列结论正确的有（ ） A． B． C．数据，，，，，的第30百分位数是5 D．若，随机变量，且，则 10．设函数，的零点为，极值点为，则（ ） A． B． C． D．是的极小值点 11．已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（ ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，均为单位向量，若，则__________． 13．已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 14．已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在正方体中，E，F，G分别为，，的中点． （1）若在线段上存在一点O，使平面，试确定点O的位置并证明； （2）求平面与平面夹角的正切值． 16．（15分）2026年9月19日南充市城市足球联赛（简称“充超”）火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，某特色产品商统计了其中5场比赛的观赛人数与产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：百人），为特色产品单日销售额（单位：百元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 （1）由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额； （2）若观赛人数不低于8百人的场次称为“热门场次”，从这5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 17．（15分）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（） （1）证明：数列是等比数列； （2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和． 18．（17分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的上顶点为A，左焦点为F，焦距为，的面积为6，点为椭圆上一点，圆D的面积为． （1）求椭圆C的离心率； （2）过原点O作圆D的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N． （ⅰ）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为，，求的值； （ⅱ）求的最大值． 19．（17分）已知函数，，． （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2024级第二次诊断考试（南充一诊模拟考试） 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A D C C A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．1 13．4 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）点在的中点位置． 1分. 证明：取中点，设为点，连接， 为的中点，且 又为中点，且 且 4分 所以，四边形为平行四边形，得 平面，平面 平面 6分 （2）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ， 设平面的一个法向量为 则且，得 9分 在正方体中，平面 可以作为平面的一个法向量 10分 则，， 得平面与平面夹角的正切值为． 13分 16．【解析】（1）由数据可得，，， 2分 则， 3分 ， 4分 所以，， 6分 因此，y关于x的线性回归方程为：， 7分 当时，(百元)， 因此，预测单场观赛人数为13百人时特色产品单日销售额约为13百元 8分 （2）由题意可知，“热门场次”共有3场，即的可能取值为0，1，2， ，，，12分 故的分布列为 0 1 2 ． 15分 17．【解析】（1）证明：由已知，， 当时，（非零常数） 3分 所以，数列是首项为，公比为的等比数列 5分 （2）对求导．得， 在处的切线为， 7分 令得，所以 由是等差数列，，，得 所以 10分 其前项和：① 两边同乘以2得：② 12分 ①②得： 整理，化简得 15分 18．【解析】（1）依题意得，， ，，．离心率． 4分 （2）（i）依题意得圆：，椭圆， 5分 点为椭圆上一点，， 直线：，：，与圆D相切，， 7分 平方整理，得，为方程的两根， 10分 （ⅱ）设，，由（ⅰ）知，所以， 12分 ，，， 整理得，， ， 15分 由基本不等式， 得，当且仅当时等号成立． 的最大值为18． 17分 19．【解析】（1）函数的定义域为，． 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 3分 因此在处取得极小值（也是最小值），此时． 无最大值． 所以函数的最小值为，无最大值． 4分 （2）由题意知，即讨论在上变号零点个数 对，求导可得． 讨论在上的解的个数，即在上的解的个数． 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时． 6分 且当时，；时，． 当时，在上无解，此时在上无极值点； 当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点； 当时，在上有1个解， 但在和上均大于零，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点； 当时，有2个极值点． 9分 （3），其定义域为， 则，． 令，解得或． 10分 设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，． 因此的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以， 12分 即在上有两个不同的正根（且不等于1）． 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 ． 14分 令，则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以在上单调递增． 因为 16分 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数a的取值范围是． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $