四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷

德阳市高中2023级第二次诊断考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 4. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为钝角 B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若为的外心，，则为的垂心 10. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前10项和为512 C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0 11. 已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 13. 已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是______ 14. 被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝______（用含有的式子表示）． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． （1）求角B的大小； （2）若时，求△ABC面积的最大值． 16. 如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形. （1）求证:平面 平面 （2）若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离. 17. 东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． （1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； （2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． （1）当时，求； （2）若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 德阳市高中2023级第二次诊断考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 因为，为中点， 所以，，即， 因为是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以，所以， 又，平面， 平面，又平面， 平面平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） X 0 1 2 3 P ， （2）①；；② 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在， 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）由，得，则，其中， ，所以， ，又， 因此，所以数列是等比数列； （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $