精品解析：广东深圳市高级中学深圳市高级中学南校区2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测试卷

初三数学期中模拟卷一 一、选择题（共8小题，共16分） 1. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边相等 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 二．填空题（共5小题，共20分） 9. 若，则的值为______． 10. 已知方程的两根为、，则代数式的值为________． 11. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 12. 如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 13. 如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为________． 三．解答题（共7小题，共64分） 14. 解方程： （1）； （2） 15. 如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段上找一点，使得； （2）以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在轴左侧画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标_____________________． 16. 如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 17. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 18. 如图，在中，点D是上一点，且，，， （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； （2）已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； （3）若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 20. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，是的中点，连接，． （1）如图1，若，，求折中线的长； （2）如图2，若，请探究折中线的长与菱形的边长之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学期中模拟卷一 一、选择题（共8小题，共16分） 1. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是 故选：A． 2. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 由得，根据可得，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则，解得：． 故选：A． 3. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 4. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边相等 【答案】A 【解析】 【分析】通过矩形和菱形的性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，②矩形的四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：且 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积． 【详解】解：如图，设最小的三角形底边长为m,FH=3m，DE=4m, 则FH：DE=3:4, 图中所有三角形均相似， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴四边形DBCE的面积． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质，关键是得出FH：DE=3:4． 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 8. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，     ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 二．填空题（共5小题，共20分） 9. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，则有即可求解．此题考查比例的性质，解题关键在于掌握，间的比例关系． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 已知方程的两根为、，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再结合根与系数的关系得到，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∵方程 的两根为、， ∴， ∴． 11. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质得到，利用角平分线的定义得出，从而得到是黄金三角形，利用底与腰的比值为，得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即：是黄金三角形， ∴， 解得：． 12. 如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为，从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴ ∴的最小值为． 13. 如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与相似三角形的应用，掌握通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的比例关系求解线段比值是解题的关键． 通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的性质和线段关系求出的值． 【详解】解：如图所示，延长与的延长线相交于点F， ，平分，则是等腰三角形，， ，， ， 和是对顶角， ， ，则， 设． ． ， ， ，则， ，得， 则． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，共64分） 14. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 15. 如图，在单位长度为的平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在线段上找一点，使得； （2）以原点为位似中心，将缩小为原来的，请在轴左侧画出缩小后的三角形，并直接写出点的对应点坐标_____________________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取格点，，使且，连接交于点，则点即为所求． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，取格点，，使且， 此时， ∴， 则点即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的对应点坐标为． 16. 如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 是对角线的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再由证出四边形是平行四边形，再由得到四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，然由菱形面积计算公式得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 四边形是菱形，周长为52， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 17. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）75元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设每件售价为元，根据单件利润销售量总利润，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件售价为元， 依题意，得， 解得：，； ∵为了尽快减少库存 ， 答：每件售价应为75元． 18. 如图，在中，点D是上一点，且，，， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴． 19. 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； （2）已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； （3）若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】（1）①② （2）7或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【小问1详解】 解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． 【小问2详解】 解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． 【小问3详解】 解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 20. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，是的中点，连接，． （1）如图1，若，，求折中线的长； （2）如图2，若，请探究折中线的长与菱形的边长之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】（1） （2） 解：折中线的长等于，理由如下： ∵在菱形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折中线的长等于． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质与菱形的性质是解题的关键． （1）如图：连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，即可解答； （2）证明，列出比例式，求出代入比例式求解即可； （3）当时，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作交的延长线于点F，证明，再，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴折中线的长为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， 在中，， ∴， 当时，如图，过点C作交的延长线于点F， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，折中线的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $