精品解析：广东深圳市龙岗区实验学校2026-2027学年第一学期九年级10月份阶段性反馈数学试卷

龙岗区实验学校2026-2027学年第一学期10月份阶段性反馈 九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需注意二次项系数不为0、方程需化简后判断次数，结合一元二次方程的定义排查选项． 【详解】解：选项A：方程含、两个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项B：只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合定义； 选项C：未说明，当时方程不是二次方程，不符合定义； 选项D：展开右边得，整理得，是一元一次方程，不符合定义． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质：内项积等于外项积，可知如果四条线段其中两条线段的长度之积等于另外两条线段的长度之积，这四条线段就是成比例线段，根据比例的性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，这四条线段不成比例，故选项A不符合题意； B选项：，这四条线段不成比例，故选项B不符合题意； C选项：，这四条线段成比例，故选项C符合题意； D选项：，这四条线段不成比例，故选项D不符合题意． 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 4. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，现测得，，则该菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴该菱形的周长为． 5. 根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） 0 1 2 3 4 11 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格当时，；当时，，即的一个根在和之间． 【详解】解：由表格可知，的值随的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是． 6. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?设门高尺，根据题意可列方程为（注：1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的应用，掌握高和宽之间的关系并熟练勾股定理的应用是解题的关键． 先将门的宽表示出来，再根据勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：门高尺，高比宽多6尺8寸， 门宽为尺， 根据勾股定理可得． 故选：A． 8. 如图，小钦使用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点与刻度尺上的0刻度重合，则点表示的数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设点表示的数为，根据平行线分线段成比例定理列方程即可求解． 【详解】解：设点表示的数为， 点A在数轴上表示的数是，且两条线段相互平行， ，即 解得，． 点表示的数为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式拆分变形，代入已知比例式计算即可． 【详解】解：先对拆分变形，得， ， ∵， ∴代入得． 10. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图点P是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】黄金分割点将线段分成两部分，较长部分与整条线段的比值等于黄金比． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵的长为8， ∴． 11. 校园科技节期间，为展示同学们的优秀作品，学校决定在某围墙旁布置一块面积为的长方形作品展示区．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置一个开口宽为的进出门（如图），设长方形垂直于墙的边长为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设长方形垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：设长方形垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意可得． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是，则顶点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的性质得出平行线和相等的边，利用勾股定理求出菱形的长度，然后确定顶点坐标即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵轴， ∴轴， 由点C的坐标是，由勾股定理得， ， ∴， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴顶点B的坐标是． 13. 如图，矩形中，，，点E在边上，连接，过点A作交于点F，已知，点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，则，即，可求，作，使，连接，作于，则，，证明，可得，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：矩形，， ∴，，，， ， ∴， 又， ， ，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，连接，， 则，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴三点共线， ∴为的中点， 点是的中点， ， 由勾股定理得，， ． 三、解答题（共7小题）（14题9分，15题6分，16题6分，17题11分，18题9分，19题9分，20题11分） 14. 解下列方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法求解； （2）用公式法求解； （3）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 方程两边除以，得 直接开平方，得 解得，． 【小问2详解】 解： 由方程知，， ， ， ． 【小问3详解】 解： 移项，得 因式分解，得 ， 解得，，． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设，是原方程的两个实数根．是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在实数使得等式成立，的值为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式可得，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合即，即可得出关于的方程，解之即可得出值，再结合（1）即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理可得， 解得， 由（1）可知，， ∴． 16. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 、， ， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“丧萌反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ （3）在（2）的基础上，月销售利润能达到7300元吗？说明理由． 【答案】（1）该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． （3）月销售利润不能达到元．理由如下： 设每套降价元时月销售利润为元， 根据题意得，整理得， ∵， ∴该方程无实数根，故月销售利润不能达到元． 【解析】 【分析】（1）根据1月、3月的销售量，结合月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解． （2）根据单件利润与销售量的乘积等于总利润的等量关系列方程求解． （3）通过判断对应一元二次方程是否有实数根，确定利润能否达到目标值． 【小问1详解】 解：设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x，  由题意可得：，解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每套降价a元时，月销售利润为4800元． 此时单件利润为元，月销售量为套． 由题意可得：， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 所以售价为（元）． 答：当售价为48元时，月销售利润为4800元． 【小问3详解】 略 18. 已知是直角三角形且 （1）如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． （2）如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 【答案】（1） 证明：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O，连接，此时菱形即为所作；根据垂直平分线和角平分线证明，可得，进而即可证明四边形为菱形； （2）先根据勾股定理求出，再结合菱形的性质可得，最后运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 19. 综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”． 【探究】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想与证明】 （3）根据以上结论，猜想方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________（，，），并证明你的结论． 【拓展】 （4）已知关于x的方程的两根是，，请利用（3）中结论，直接写出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2）两根为和 （3），证明如下： ∵ 是方程的根， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 将等式两边同时除以，得 ，即 ， ∴ 是方程的根， 同理可证是方程的根， ∴。 （4）两根为和 【解析】 【分析】（1）根据“友好方程”定义，互换二次项系数与常数项即可解答； （2）由（1）可知方程的“友好方程”为，再解方程即可； （3）由特殊结果猜想倒数关系，利用方程根的定义变形证明即可； （4）换元将待求方程转化为友好方程形式，再利用（3）的结论求解即可． 【小问1详解】 解： 根据“友好方程”的定义，将方程的二次项系数与常数项互换，一次项系数保持不变，可得其“友好方程”为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，“友好方程”为， 因式分解得， 解得． 【小问3详解】 解：，证明略． 【小问4详解】 解：将方程变形得， 两边同时乘，得， 令，则方程化为， 该方程是方程的“友好方程”， 由（3）的结论，该方程的两根为方程两根的倒数， ∴方程的两根为，， ∴或， ∴，， ∴关于x的方程的两根为和． 20. 定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． （1）下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 （2）如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 （3）如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 （4）如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 【答案】（1）A （2）60；；补全求解过程见解析 （3） （4）或 【解析】 【小问1详解】 解：A、图中，且只有一组邻边相等，，所以四边形为“单邻等补四边形”，符合题意； B、因为四边形的所有邻边都相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； C、因为四边形中没有邻边相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； D、，， 四边形不是“单邻等补四边形”； 【小问2详解】 解：过D作交于点E，过D作交， 在单邻等补四边形中，，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过D作于点G，于点F， 在单邻等补四边形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， 【小问4详解】 解：或．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点B作于点G，于点H， 由（3）知，， ， ， ， ， ， 又由（3）知，， ，， ， ， 解得， 在中，， ； 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点D作于点G，于点H，延长，相交于点K， 由（3）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由（3）知，， ， 解得， ， ， ， ； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岗区实验学校2026-2027学年第一学期10月份阶段性反馈 九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，现测得，，则该菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） 0 1 2 3 4 11 A. B. C. D. 6. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?设门高尺，根据题意可列方程为（注：1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小钦使用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点与刻度尺上的0刻度重合，则点表示的数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为________． 10. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图点P是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为______． 11. 校园科技节期间，为展示同学们的优秀作品，学校决定在某围墙旁布置一块面积为的长方形作品展示区．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置一个开口宽为的进出门（如图），设长方形垂直于墙的边长为，则可列方程为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是，则顶点B的坐标是________． 13. 如图，矩形中，，，点E在边上，连接，过点A作交于点F，已知，点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（共7小题）（14题9分，15题6分，16题6分，17题11分，18题9分，19题9分，20题11分） 14. 解下列方程 （1）； （2）； （3）． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设，是原方程的两个实数根．是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 16. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 17. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“丧萌反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ （3）在（2）的基础上，月销售利润能达到7300元吗？说明理由． 18. 已知是直角三角形且 （1）如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． （2）如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 19. 综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”． 【探究】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想与证明】 （3）根据以上结论，猜想方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________（，，），并证明你的结论． 【拓展】 （4）已知关于x的方程的两根是，，请利用（3）中结论，直接写出关于x的方程的两根． 20. 定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． （1）下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 （2）如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 （3）如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 （4）如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $