精品解析：湖南湘潭市雨湖区益智建元中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年建元中学24级九年级数学科适应性练习（一） （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 若（），则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 6. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 9. 某厂家2026年1~5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为．根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和，则； ②若，则方程一定有解； ③若，则、一定相等； ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，满分18分．） 11. 两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___． 12. 已知四边形四边形，，，则四边形与四边形的相似比是_________． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 15. 函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是__________． 16. 黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中，若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形中依次裁去以宽为边长的正方形，设第次裁去后剩余矩形的长为，则的值为__________，的值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，点、分别在的边、的延长线上，且．若，，，，求、的长． 19. 先化简再求值：，再从一元二次方程：中选出一个你喜欢的解代入求值． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求k的值． 21. 某学校开展了阳光体育活动、倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________，图①中m的值为___________、这组数据的众数为___________，中位数为___________； （2）求本次抽测的这组数据的平均数； （3）若该校有500名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为2的人数约为多少？ （4）请你根据以上数据进行分析，给学校提出建议． 22. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 23. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①______，______． ②经过几秒，的面积等于？ ③的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时．两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 24. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年建元中学24级九年级数学科适应性练习（一） （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 若（），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ∵ ∴ 原式． 故选C． 2. 下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、由于，则四条线段成比例线段，故A选项符合题意； B、由于，则四条线段不成比例线段，故B选项不符合题意； C、由于，则四条线段不成比例线段，故C选项不符合题意； D、由于，则四条线段不成比例线段，故D选项不符合题意． 3. 如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 4. 如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一进行判定即可． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例定理： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误． 【点睛】分清对应线段，平行截得的上、下两段的比相等，不要把对应边弄颠倒． 5. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误； B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确； C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误； D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 6. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项方程含有两个未知数，不符合题意； B选项方程只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合题意； C选项方程分母含未知数，不是整式方程，不符合题意； D选项方程未限定，当时不是二次方程，不符合题意． 7. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程中，，， 由根与系数的关系得，. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 9. 某厂家2026年1~5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为．根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】读取统计图中3月和5月的销量数据，根据平均增长率模型建立方程． 【详解】解：由图可知，3月份销量为368，5月的销售量为450， 该厂家电车销售的平均月增长率为， 即． 10. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和，则； ②若，则方程一定有解； ③若，则、一定相等； ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，，则可推出，，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得，都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④． 【详解】解：①由根与系数的关系，得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程，得， 即是方程的根， 方程一定有解，故②正确； ③由题意得，都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 与不一定相等，故③错误； ④， ， ， ，与异号， ，即， ， ，方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 两实数解一定互为相反数，故④正确； 综上，正确的有①②④，共个． 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，满分18分．） 11. 两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___． 【答案】60000000 【解析】 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可． 【详解】解：1200千米＝120000000厘米， 2：120000000＝1：60000000． 故答案为：60000000． 【点睛】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题． 12. 已知四边形四边形，，，则四边形与四边形的相似比是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴四边形与四边形的相似比． 故答案为：． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解方程，得，即或， 由，得， ∴． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根满足原方程，先得到的值，再整体代入所求代数式计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴ ， ． 15. 函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是__________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】先由一次函数 的图象读出 、 的符号，再计算一元二次方程 的判别式 ，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：由函数 的图象可知，直线从左向右上升，且与 轴交于负半轴，因此， ． 一元二次方程 中，，．其判别式为 ． 因为 ，且 ，所以 ，从而 ． 方程 有两个不相等的实数根． 16. 黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中，若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形中依次裁去以宽为边长的正方形，设第次裁去后剩余矩形的长为，则的值为__________，的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据黄金矩形自相似性，每次裁剪后剩余矩形仍为黄金矩形，且第次剩余矩形的长等于第次剩余矩形的宽，利用宽与长的比值定义即可求解； 【详解】解：设第次裁去后剩余矩形的长为，宽为， 剩余部分仍为一个新的黄金矩形， 第次剩余矩形满足宽与长之比为，即， 第次裁剪是裁去以宽为边长的正方形， 第次剩余矩形的长等于第次剩余矩形的宽， ， ， 当时，， 故的值为，的值为． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， ， ，． 18. 如图，点、分别在的边、的延长线上，且．若，，，，求、的长． 【答案】， 【解析】 【分析】证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，． 19. 先化简再求值：，再从一元二次方程：中选出一个你喜欢的解代入求值． 【答案】化简结果为，选取方程的根代入，原式的值为． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值．先通分将分式化简，再采用因式分解法解一元二次方程，根据分式有意义的条件选取合适的根代入计算即可． 【详解】解： ， 即：，， 根据分式可知：，， 选取方程的根代入，原式． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求k的值． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算判别式并配方，证明其恒正即可得证． （2）利用根与系数的关系代入已知等式求解k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ， ， 解得． 21. 某学校开展了阳光体育活动、倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________，图①中m的值为___________、这组数据的众数为___________，中位数为___________； （2）求本次抽测的这组数据的平均数； （3）若该校有500名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为2的人数约为多少？ （4）请你根据以上数据进行分析，给学校提出建议． 【答案】（1）40；25；2项；项 （2）项 （3）150名 （4）解：由统计图可知，学生参与锻炼的体育项目个数为1，2的人数比较多，应多增设学生喜欢的体育项目，以加强学生的身体锻炼． 【解析】 【分析】（1）用学生参与锻炼的体育项目个数为1的人数除以其人数占比，求出参与调查的人数，进而可求出参与锻炼的体育项目个数为4的占比，再根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用样本中的百分比乘以总人数，可得答案； （4）言之有理即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查的学生人数为40， ∴，即； ∵参与锻炼的体育项目个数为2的人数最多， ∴众数为2项； 把学生参与锻炼的体育项目个数按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平均数，即为个； 【小问2详解】 解：项， ∴本次抽测的这组数据的平均数为项； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为2的人数约为150名； 【小问4详解】 略 22. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1） （2）每平方米草莓平均利润下调元 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； 【小问2详解】 设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 23. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①______，______． ②经过几秒，的面积等于？ ③的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时．两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】（1）①，．②经过秒或秒时，的面积等于； ③解：的面积不能等于，理由如下： 令， 代入面积公式得， 化简整理：， 一元二次方程的判别式， 因此该方程无实数根，不存在符合条件的运动时间． （2）秒、秒、秒时的面积等于． 【解析】 【分析】（1）①根据点的运动速度，用含的代数式表示线段的长度； ②利用直角三角形面积公式列出一元二次方程，求解并检验时间取值范围； ③假设面积可以取到，列出方程，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否存在实数根； （2）根据动点运动的不同阶段分类讨论，分别写出不同时间段内的表达式，结合面积等于列方程求解，舍去超出范围的解． 【小问1详解】 解：设点、的运动时间为秒， 点从到的总时间：， 点从到的总时间：， 自变量取值范围为， ①，； ②为直角三角形，， 由三角形面积公式得， 令， 代入线段长度得， 化简整理， ， 因式分解得， 解得，， 检验：和均满足，符合题意， 答：经过秒或秒时，的面积等于； ③略； 【小问2详解】 解：点第一次回到的总时间为， 自变量取值范围为，分三种情况讨论： ①当时（向运动，向运动） ，， 令， ， 整理得：， 由求根公式，， 其中，超出取值范围，舍去； 符合； ②当时（向运动，过继续运动） ，， 令， 方程同①， 解得， 其中，超出取值范围，舍去； 符合； ③当时（从向返回，沿射线运动） 此时从点返回的时间为， 故，， 令， 则， 整理得 由求根公式得，， 其中，超出取值范围，舍去； 符合； 综上所述，满足条件的时间为秒、秒、秒． 24. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】（1）③ （2），， （3），3，1或3 【解析】 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． 【小问2详解】 解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $