精品解析：湖南永州市冷水滩区李达中学2026-2027学年九年级上学期第一次检测数学试卷

2026年下期九年级第一次课后服务练习 一．选择题（共10小题） 1. 如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 4. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 5. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 6. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，F为上一动点，连接，点C与关于直线对称，连接，，并延长交于点E，连接，相交于点N，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 二．填空题（共6小题） 11. 已知，若与的周长比为，则_____． 12. 在中，和均为锐角，且，则______度． 13. 如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 14. 如图，在中，，，，则的度数为________． 15. 在中，，，，则的长度为______． 16. 如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，，F是的中点．与相交于点G．则的值为__________． 三．解答题（共8小题） 17. 计算：． 18. 如图，在中，，求的值． 19. 如图，在中，点D是上一点，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，在中，，，，点D是边上的中点． （1）求线段的长． （2）求的值． 21. 综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面的距离的长； （2）求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 22. 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 23. 定义：， ， ， ； 例如： （1）______，______，______； （2）如图，在中，，，，；求证：； （3）利用（2）中的结论证明： （，）． 24. 如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）当时，求的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期九年级第一次课后服务练习 一．选择题（共10小题） 1. 如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴, ∴， 故选：D． 2. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 3. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形一定是相似图形，且面积比等于相似比的平方．由已知比例确定对应点到位似中心的距离之比，得相似比，进而计算面积比． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ． ， 设，．若点在、之间，则，与矛盾， 点在、之间，即． 与的相似比为． 与的面积之比为． 4. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 5. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 6. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 7. 如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正方形中，由，可得的长；再由“一线三等角”，证得，从而推得；由相似三角形的性质，可得的长，从而根据勾股定理可得的值，进而求出小正方形的面积． 【详解】解：正方形的边长为，， ， 四边形和均为正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ∴在中，， ∴． 8. 如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三等分点得到线段比例，利用两边成比例且夹角相等证明，推出；再证，得到，设，根据列方程求解． 【详解】解：D、F、E、G分别为，的三等分点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则，， 由，得， ， ． 9. 如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义以及相似三角形等知识点，合理画出辅助线是解题的关键． 法一：过点C作，交的延长线于点E，由相似求出和的长，即可求解； 法二：过点D作，交于点F，由比例关系得出的长，即可得到解． 【详解】解： 在中，，， ， ∴， 方法一：如图，过点C作，交的延长线于点E， ， ， ， ，， ， 在中，； 方法二，如图，过点D作，交于点F， ， ， ，，， ， ， ， 在中，． 10. 如图，在正方形中，F为上一动点，连接，点C与关于直线对称，连接，，并延长交于点E，连接，相交于点N，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，可证明，得到，设，则，，证明，得到，则；由轴对称的性质可得，，过点A作于点G，则，可证明，则可证明，，得到；设，，则，，，由勾股定理可得，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴在中，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得，， 如图所示，过点A作于点G，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵，且， ∴，， ∴； 设，，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（共6小题） 11. 已知，若与的周长比为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为， ∴， 故答案为：． 12. 在中，和均为锐角，且，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值及绝对值的非负性，根据非负式子和为0它们分别等于0，求出两个角的三角函数值，从而得到角度，最后结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 14. 如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【详解】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数值求解角度． 【解答】解：过点A作于D， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 15. 在中，，，，则的长度为______． 【答案】或 【解析】 【详解】分两种情况：当是锐角三角形时；当是钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当是锐角三角形时，如图：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 当是钝角三角形时，如图：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 综上所述：的长度为或． 16. 如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，，F是的中点．与相交于点G．则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，根据正方形得到，进而证明，结合相似三角形的性质可得；设，则，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 三．解答题（共8小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值进行计算即可； 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的混合运算，正确计算是解题的关键． 18. 如图，在中，，求的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，先运算，再把数值代入，，计算，即可作答． 【详解】解：中，， 根据勾股定理，． ， 19. 如图，在中，点D是上一点，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在中，，，，点D是边上的中点． （1）求线段的长． （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，利用三角函数可计算出，，计算出，利用勾股定理计算出即可； （2）利用正切函数的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， 在中， ，， ∵，点D是边上的中点， ∴， ∴ 在中， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴， 在中，． 21. 综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面的距离的长； （2）求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 【答案】（1）点到地面的距离的长为； （2）建筑物的高度约为． 【解析】 【分析】利用中的正弦求解即可； 过点作于点，先判断四边形是矩形，求出，证明，得到，，最后在中，利用求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， 答：点到地面的距离的长为； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图，则， 根据题意，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：建筑物的高度约为． 22. 已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【答案】（1） 证明：， ． 又， ． ． ， ． ． （2） 证明：，， ． ． 又， ． ． ． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，．根据得出，故可得出结论； （2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 定义：， ， ， ； 例如： （1）______，______，______； （2）如图，在中，，，，；求证：； （3）利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】（1）；1； （2） 证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3） 证明：∵ ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）当时，求的比值． 【答案】（1） 证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键． （1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作，垂足为G，容易证出，用相似三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出，进一步求出； （3）作，垂足为H，容易证出，得到的三边关系．根据可以证明，从而得到，利用相似的性质计算出，最后求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为H，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $