专题06 整式计算题专项训练14大题型68题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题06 整式计算题专项训练 基础·固本强基 题型1 已知字母的值，求代数式的值 题型2 已知式子的值，求代数式的值 题型3 程序流程图与代数式求值 题型4 合并同类项 题型5 整式的加减计算 题型6 整式加减中的无关型问题 题型7 整式加减中的整体性思维 题型8 整式加减的新定义运算 题型9 整式加减的化简求值 题型10 整式加减的规律计算 题型11 数轴与绝对值结合的化简计算 题型12 含绝对值的式子化简 提升·进阶突破 题型13 整式计算题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 整式计算题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 已知字母的值，求代数式的值（共4小题） 【易错】负数、分数代入代数式必须加括号，严格遵循运算顺序，不要漏乘、漏算乘方。 1．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，，，求的值． 【答案】的值为或 【分析】先通过绝对值求出字母的值，然后根据条件选取字母的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴或， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为或． 2．（26-27七年级上·安徽六安·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性即可求出的值，再将的值代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ． 3．（26-27七年级上·四川宜宾·期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，． (1)分别写出，，x的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)1或 【详解】（1）解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，， ∴； （2）解：∵； ∴原式， ∴当时，原式； 当时，原式. 4．（26-27七年级上·江苏南通·期中）按要求解答问题： (1)若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，求的值． (2)若，，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据相反数、倒数和绝对值的意义求得，，，再代入求解即可； （2）根据绝对值的意义求得，，再结合，得到，，或，，即可代入求解． 【详解】（1）解：，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1， ，，， ， ； （2）解：，， ，， ， ，，或，， 或． 题型2 已知式子的值，求代数式的值（共4小题） 【易错】优先整体变形，不要强行求单个字母，变形时注意符号，防止倍数关系出错 5．（26-27七年级上·陕西西安·期中）已知：有理数满足，a、b互为相反数且都不为零，c、d互为倒数．求：的值． 【答案】或2/2或 【分析】先根据绝对值的性质求解m的取值，根据相反数、倒数的定义推导出、和的值，然后化简代数式，分情况代入m的值计算结果． 【详解】解：已知，可得：或， 解得或． 已知a、b互为相反数，因此， 又因为a、b均不为0，因此； 已知c、d互为倒数，因此； 代入原式 当时，原式， 当时，原式， 所以，原式的值为或2． 6．（26-27七年级上·辽宁鞍山·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)若，求z的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，得，求出x，y即可； （2）将求出的x，y代入，可知绝对值内部式子等于，解方程求出． 【详解】（1）解：，且 ， ，； （2）解：把 代入 ，得 ， 即 ， ． 7．（2026七年级上·全国·期中）求下列代数式的值： (1)若，，则代数式________； (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)24 (2)28 【分析】（1）将，代入所求式子计算即可得出结果； （2）整体代入的值，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入得； （2）解：当时，． 8．（26-27七年级上·全国·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． 题型3 程序流程图与代数式求值（共4小题） 【易错】读懂分支条件，循环计算要分步，不要跳步；判断终止条件，避免重复或提前停止运算 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则如完全平方公式、乘法分配律等和代入求值的方法是解题的关键． （1）首先根据程序图的顺序，对输入的按照“加、平方、减、乘”的步骤列出代数式，然后对其进行化简； （2）把代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 原式 ． 10．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图一个“数值转换机”的示意图． (1)输出的结果为_____；（用含的代数式表示） (2)当输入时，求输出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用． （1）根据程序流程图的顺序列代数式即可； （2）把代入（1）中所求代数式计算，即可得答案． 【详解】（1）解：∵输入， ∴输出的结果为． 故答案为 （2）解：当时，． ∴求输出的值为． 11．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图． (1)用含x，y的代数式表示输出的结果； (2)当，时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用． （1）根据数值转换机写出代数式即可； （2）将，代入（1）中的代数式，计算后得出结果． 【详解】（1）解：用含x，y的代数式表示输出的结果为； （2）解：当，时， 原式 ． 12．（25-26七年级上·吉林·期中）如图是一个运算程序： (1)若，，求m的值． (2)若，，求m的值． (3)若，m的值为，则______． (4)当，m的值为0时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)0 (4)或2 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把，代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，即可作答． （3）理解题意，结合，故，再解得的值，即可作答． （4）理解题意，进行分类讨论且分别列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， （2）解：∵，，且， 则； （3）解：依题意，，m的值为， ∵， 则， 则， 解得， （4）解：依题意，当时，即， 则， ∴， 解得，满足， ∴ 当时，即， 则， ∴， 检验：，即满足； 综上：当，m的值为0时，的值为或2． 题型4 合并同类项（共4小题） 【易错】只有同类项才能合并，仅系数相加减，字母和指数不变；区分系数、指数，不要改变字母 13．（2025七年级上·四川眉山·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（2025七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则，是解题的关键． 根据合并同类项的法则，字母及其指数不变，只把系数相加减，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 15．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是合并同类项，掌握合并同类项的法则是解本题的关键． （1）合并同类项的系数，字母及其指数不变即可得到答案． （2）合并同类项的系数，字母及其指数不变即可得到答案． （3）合并同类项的系数，字母及其指数不变即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16．（25-26七年级上·全国·期中）先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 题型5 整式的加减计算（共4小题） 【易错】去括号，括号前为负号，括号内每一项都变号；不要只改第一项符号，漏变后面项 17．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（26-27七年级上·黑龙江绥化·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：. （2）解：. 19．（26-27七年级上·黑龙江大庆·期中）已知，． (1)化简 (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 20．（26-27七年级上·吉林·期中）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容．代数式 的值为7，则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有，． 所以代数式的值为5． (1)若代数式的值为5，代数式的值为_____； (2)当时，代数式的值为18，当时，求代数式的值； 【拓展应用】 (3)若，，则代数式的值为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料中的方法直接求解即可得到答案； （2）将与分别代入，观察所得两式的关系，利用整体代入法求解； （3）将已知的两个代数式进行适当组合，构造出目标代数式，再利用整体代入法求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：当时，， ， 当时，； （3）解：由得，且， ． 题型6 整式加减中的无关型问题（共4小题） 【易错】先完整化简整式，某项与字母无关，则该项系数为 0，常数项不受影响，别误令常数为 0 21．（26-27七年级上·上海嘉定·期中）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入，的表达式，合并同类项化简； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出，后代入代数式计算，即可解答． 【详解】（1）解：当，时， ，， ∴ ． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，， ∴． 22．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案 (1)求多项式A． (2)若值与n的取值无关，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式加减运算、整式加减运算中无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据求得A； （2）先根据（1）中的值，求出，将含n的项合并，并使n的系数等于0，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，, ， ； （2），， ， 值与n的取值无关， ， ． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含的代数式表示下面的问题： 大长方形的长___________； 阴影的周长___________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)①，② (2) 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为： ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）①大长方形的长为小长方形的长上宽的倍；②阴影的长为，宽为，再根据长方形的周长公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可． 【详解】（1）解：大长方形的长可表示为：； 故答案为：； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为； 故答案为：； （2）略 24．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． (1)当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； (2)若W的值与x无关，且，求m的值． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查整式的化简和求值，掌握整式的化简的步骤是解题的关键． （1）①根据题意，化简即可求解； ②根据题意，先计算，再根据，即得，求解即可； （2）化简，根据题意，可得一次项系数和常数项都为零，计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， ①当，，时， ； 即； ②，， ，， 则， ， ， 解得， 则； （2） 与x无关，，即， ， ，即， ，即， ， ． 题型7 整式加减中的整体性思维（共4小题） 【易错】整体代换时注意式子符号，添括号变号，不要直接拆分整体，注意倍数与正负 25．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2；（2）；（3）27． 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． （1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，，把化为，整体代入计算； （3）根据，，把化成，整体代入计算． 【详解】解：（1）当时， ； 故答案为：2； （2）当，时， ； 故答案为：； （3）当，时， ． 26．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）有这样一道题“如果代数式的值为-2，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的小王同学解题过程如下： 原式． 小王同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，代数式的值为． 【答案】（1）2034；（2）；（3）4 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，解题的关键是利用整体代入的思想进行求解． （1）将代数式变形为含有的形式，再整体代入求值； （2）先对代数式去括号、合并同类项，变形为含有的形式，再整体代入求值； （3）将代数式变形为含有和的形式，再整体代入求值． 【详解】解：（1）， ； （2）， 原式 ； （3）， 原式 ． 27．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）原式可化为，把，，整体代入进行计算即可． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 28．（24-25七年级上·河南安阳·期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法．它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）； （2）． 【问题解决】 （1）对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】 （2）①已知，则______； ②已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求整式的值． 【答案】（1）（2）①1；②24；（3） 【分析】本题考查化简求值，灵活运用各种化简的方法是本题的关键． （1）先分别将和看成一个整体化简即可； （2）①将整体代入计算； ②将看成一个整体后化简，并将代入计算； （3）将原式写成形式，将整体代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）①∵， ∴ ， 故答案为：1； ②∵， ∴ ； （3） ， ∵， ∴原式． 题型8 整式加减的新定义运算（共4小题） 【易错】严格套用题目法则，不可套用旧运算，代入对应字母，去括号时留心符号错误 29．（25-26七年级上·江苏·期中）定义：若两个有理数a，b满足，则称a，b互为“关联数”． (1)3与哪个数互为“关联数”？请写出计算过程； (2)若m，n互为“关联数”，且，求n的值； (3)若x与自身互为“关联数”，求代数式的值． 【答案】(1) 解：设3的关联数为x， 则， ， ； (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值 （1）设3的关联数为x，根据“关联数”的定义作答即可； （2）根据“关联数”的定义作答即可； （3）根据“关联数”的定义求出x的值，把化简后代入计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， 由乘以任何数都等于0可知或2． ， 时原式； 时原式． 30．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 【答案】(1)， (2) 解： ； ， ； ， ， 所以a与b不是关于3的实验数． (3) 【分析】（1）根据“实验数”的定义，设这个数为m，则，求出未知数即可；设这个数为n，则，求出n即可； （2）首先化简a和b，然后计算，求出是不是3即可； （3）首先化简c和d，因为c与d是关于3的实验数，所以，求出结果即可． 本题考查了整式的加减，列代数式，解决本题的关键是熟练运用“实验数”的定义解决问题． 【详解】（1）解：设这个数为m，则： ， 解得 设这个数为n，则： ， 解得 故答案为：， （2）略 （3）解： ， ， ， 因为c与d是关于3的实验数， 所以， 所以， 得：． 31．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，请计算的值． 【答案】(1) (2)36 【分析】本题考查新定义运算，整式的加减运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察所给式子，找出规律即可求解； （2）根据得出，再利用新定义计算，最后将作为整体代入求值． 【详解】（1）解：由题意知， 故答案为：； （2）解：， ， ， ． 32．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3) 不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 题型9 整式加减的化简求值（共4小题） 【易错】先化简，后代值；负数分数代入加括号，不要直接代入原式进行复杂计算 33．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 34．（25-26七年级上·广东河源·期末）已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减和整式加减中的化简求值． （1）根据整式的加法计算即可； （2）根据整式的加减法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 当时， ． 35．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中和满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、非负数的性质以及代数式求值，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则以及平方数和绝对值的非负性是解题的关键．先根据平方和绝对值的非负性求出、的值，再对代数式进行去括号、合并同类项化简，最后代入求值． 【详解】解：， ，， ，， 当，时，原式 ． 36．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值： 已知，求的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先化简整式，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ， 当时， 原式 ． 题型10 整式加减的规律计算（共4小题） 【易错】多验证前几项找规律，分清序号和项，归纳后回代检验，不要凭猜测直接写通项 37．（24-25七年级上·江苏南京·期中）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2)5050 (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索； （1）根据已知等式得出第条算式为，，再将代入可得答案； （2）利用所得规律展开得原式，再利用高斯求和公式计算可得； （3）原式提取符号得出原式，再利用所得规律变形，最后利用求和公式计算可得答案． 【详解】（1）解：① ② ③ ④ ⑤ ……， 以此类推可知，第条算式为， 则第⑧条算式为， 故答案为：． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 38．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）找规律：观察算式 ； ； ； ； … (1)按规律填空 　； 　． (2)由上面的规律计算： （要求：写出计算过程） 【答案】(1)3025； (2)1622600 【分析】（1）根据题干中算式总结出公式：，根据规律计算即可； （2）根据规律用前50项减前10项即可； 【详解】（1）该列数的规律是：， ， ， 故答案为：3025，； （2） ； 【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结归纳出规律并应用规律是解题的关键． 39．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察以下等式： ； 根据以上规律，解决下列问题： (1)　　； (2)计算（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)440 (2) 【分析】（1）根据已知等式，将每一项进行改写，再求和即可得； （2）参照（1），将每一项进行改写，再求和即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：440． （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减，观察已知等式，正确发现一般规律是解题关键． 40．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①  ②  ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：________； (2)写出第n个等式：________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）分别从两个因数找规律，利用规律求解； （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）解：①  ②  ③ 按照上述规律，第4个等式是：； 故答案为：． （2）解：第n个等式： 故答案为：． （3）解： ． 题型11 数轴与绝对值结合的化简计算（共4小题） 【易错】由数轴判断大小，确定绝对值内式子正负；负数去绝对值要变相反数，不要直接去符号 41．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”或“”填空：_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 42．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）已知，． (1)若，异号，求的值； (2)，求的值． 【答案】(1)2或 (2)2或8 【分析】（1）先根据绝对值的性质求出a、b的可能取值，再结合，异号这一条件确定a、b的具体取值，最后计算的值． （2）先根据绝对值的性质得，确定a、b的具体取值，最后计算的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，异号， ∴或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为2或； （2）解：∵，， ∴， ， ， ，或，， 或， 综上可知，的值为2或8． 43．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置可得，进而可得，； （2）根据数轴可得，进而在数轴上表示出，再根据数轴比较大小，即可求解； （3）根据数轴可得，，，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 44．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a 0； ② 0； (2)比较a、b、、的大小；（用“”把它们连接起来） (3)化简：． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，绝对值，解题的关键是掌握有理数的大小比较，数轴知识，绝对值的定义． （1）利用数轴知识和有理数的大小比较解答； （2）根据数轴的特点以及相反数的意义标出、的位置，再由数轴上右边的数总比左边的数大的特点比较出a，b，，的大小即可； （3）先由数轴判断出，，，再由绝对值的性质化简即可得出结论． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴； 故答案为：①，②； （2）解：、的位置如图所示： 由数轴可得； （3）解：由数轴得， ∴，，， ∴ ． 题型12 含绝对值的式子化简（共4小题） 45．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 46．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）在研究和解决数学问题的过程中，当问题所给对象不能统一进行研究时，就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究，最后综合各类结果得到整个问题的答案．这一思想方法称为“分类讨论的思想”，其用处非常广泛，例如：我们讨论的值时，就会对进行分类，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解答下列问题： (1)______，______．当时，______，当时，______． (2)已知：，求的值；（提示表示） (3)若，直接写出所有可能的值． 【答案】(1)；；； (2)或 (3)或或． 【分析】（1）根据绝对值的意义进行化简即可； （2）根据与的符号分类讨论，化简绝对值后求值即可； （3）根据、、的符号分类讨论，化简绝对值后求值即可． 【详解】（1）解：，， 当时，， 当时，； （2）解：∵， ∴，且， ①当，时，则， ∴； ②当，时，则， ∴； ③当，时，则， ∴； ④当，时，则， ∴； 综上，或； （3）解：∵， ∴，且，， ①当，，时，则， ∴； ②当，，时，则， ∴； ③当，，时，则， ∴； ④当，，时，则， ∴； ⑤当，，时，则， ∴； ⑥当，，时，则， ∴； ⑦当，，时，则， ∴； ⑧当，，时，则， ∴； 综上，或或． 47．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 48．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，；用这种方法解决下列问题： (1)当时， ； (2)当时，求 ； (3)已知是有理数，当时，试求 ； (4)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了绝对值和有理数的运算，熟练掌握分类讨论方法是解题的关键． （1）直接将代入计算答案即可； （2）直接将按照当时，，去绝对值后代入计算答案即可； （3）分别讨论当、或当、时分析计算答案即可； （4）根据，讨论、、中有一个字母小于0，两个字母大于0的情况或、、都小于0的情况，进行分析计算即可． 【详解】（1）解：当时， 故答案为：1； （2）解：当时， 故答案为：； （3）解：已知是有理数，当时，分两种情况： 当、时， 当、时， 因此当时， 故答案为：； （4）解：已知是有理数，当时，分两种情况讨论： 当、、中有一个字母小于0，两个字母大于0时，假设、、， 则 当、、时， 则 综上，的值为或． 提升·进阶突破 题型13 整式计算题进阶练（共10小题） 49．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知，，，求的值． 【答案】的值为1或5 【分析】先求出m，n的值，再根据判断出m和n的具体情况，最后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴当，时，； 当，时，． 50．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均是有理数，，则（     ） A．或0 B． C．0 D．或或0 【答案】C 【分析】由可得，a，b，c中负数的个数为1或3，若有3个负数时，则，与题干条件矛盾，故a，b，c中负数只有1个，再化简代数式即可． 【详解】解：由可得，a，b，c中负数的个数为1或3， 若有3个负数时，则， 与题干条件矛盾， 故a，b，c中负数只有1个 不妨设 则． 51．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）观察下列各式的特征： ；；；． 根据规律，解决以下问题： (1)若有理数，则_______，若有理数，则_______． (2)表示有理数a的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为______． A．    B．    C．    D． (3)计算： 【答案】(1)； (2)C (3) 【分析】（1）由题意可知，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数； （2）根据表示有理数a的点在数轴上的位置，可以判断，负数的绝对值是它的相反数； （3）负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号进行计算． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ； （2）， ， ； （3） ． 52．（26-27七年级上·江苏·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． 猜想并写出：__________． 尝试解决：__________． 试一试：__________． 【答案】 【分析】猜想并写出：利用所给的变化规律解答即可； 尝试解决：利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法即可得出答案； 试一试：利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法及提公因式法即可得出答案． 【详解】解：猜想并写出：由题意可得； 尝试解决： 试一试：，，， 由此可得出规律：，n为正整数， ． 53．（26-27七年级上·全国·单元测试）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“”或“”填空：________0，________0； (2)若，，，互为相反数，，互为倒数，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据数轴可知和的范围，再根据有理数的加减法则，即可求解； （2）根据绝对值、相反数和倒数的定义，可得，，，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， 所以，； （2）解：由图可知，，， 因为，，，互为相反数，，互为倒数， 所以，，，， 所以 ． 54．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，回答问题． ，，，， (1)仿照例子，写出第5个等式 ； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用前面的规律写出下一个等式； （2）利用（1）中的规律进行拆项，即可求解； （3）仿照（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：由前面规律得； （2）解： ； （3）解： ． 55．（26-27七年级上·江苏南通·期中）小赵同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小赵于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；…… 探索以上等式的规律，回答下列问题： (1)； (2)归纳写出第个等式：； (3)利用（2）中的等式，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题可通过归纳总结从开始连续奇数求和的通用规律，再借助规律变形计算非起始段的连续奇数和． 【详解】（1）解：由题意得： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 故； （2）解：观察（1）中式子，归纳写出第个等式为： ； （3）解：利用（2）中的等式，计算得： 56．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察所给的式子即可求出； （2）根据题意把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式为 （2）解： 57．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 58．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 拔高·压轴破难 题型14 整式计算题压轴练（共10小题） 59．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 60．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 61．（25-26六年级上·山东威海·期末）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 偶数的个数 个偶数的和 1 2 2 3 4 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． 【答案】(1)；； (2)①； ②理由如下： 令， 将等式倒序得， 将两式相加得：， 每一组括号内的和均为，且共有组， ， 两边同时除以2得：． (3)③；④ 【分析】（1）依据信息1中归纳出的n个连续正偶数的和为的规律，直接代入求解即可； （2）①结合信息1的表格特征，猜想出从2开始n个连续正偶数和的代数式； ②用倒序相加法，将和式正序与倒序相加，合并同类项后化简推导，验证猜想的合理性； （3）①先根据最后一个偶数2026求出对应的n值，再代入归纳的和的公式，结合乘法分配律进行有理数混合运算得出结果； ②借鉴信息2的错位相减法，先设和式为，给等式两边乘以等比数列的公比5，再将两式作差，化简后求解即可得到结果． 【详解】（1）解：观察信息1的表格可知，个连续正偶数的和， 当时，． （2）①解：猜想：； ②略 （3）③解：最后一项为，即， ， 根据，可得：． ④解：令， 两边同时乘以5得：， ， 化简得：， 两边同时除以4得：． 62．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【答案】(1)6；六 (2)；89 (3)2026 (4) 【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答； （2）仿照材料二中的思路，运用除2取余法，可知把十进制63对应的二进制数为，根据材料三中：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为89； （3）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为2026； （4）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一， （2）解：运用除2取余法，如图所示，    ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：， （3）解：将十二进制转化为十进制数为：， （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示，    将所得的十进制数转化为七进制数为：． 63．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：，因为的末尾数字是1，所以的末尾数字是1，所以的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)判断能否被5整除，并说明理由． 【答案】(1)9；6 (2) 解：能被5整除 理由：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字是7，的末尾数字是9，的末尾数字是3，的末尾数字是1； 的末尾数字是9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字是9；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字是9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为9； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：9，6； （2）略 64．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 【答案】(1) (2)①6；；②1③④的值为或8 【分析】本题考查列代数式、整式的加减以及解一元一次方程，正确理解“伴生多项式”是解答本题的关键． （1）根据“伴生多项式”的定义解答即可； （2）①先求出，再代入，求出，即可； ②先求出，再求得，根据差不含有二次项得； ③求出，根据与多项式的值相等列方程，求出，代入方程，求解方程得m的值； ④分别求出，代入，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据定义得：， 故答案为：； （2）解：①， 当时， ； ； 故答案为：6；； ②∵， ∴ ∴ ∵差不含有二次项，即二次项系数为0， ∴， 解得， 故答案为：1； ③∵， ∴， 又与多项式的值相等， ∴， 解得， 把代入方程得：， 解得： ④∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， 综上，的值为或8． 故答案为：或8． 65．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）材料一：若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为a、b、c，则通常记这个三位数为，即三位数． 材料二：试说明当能被3整除时，三位数能被3整除． 解：因为能被3整除，可设（其中k为正整数）， 因为 所以一定能被3整除． 【概念理解】 （1）三位数235_____________被3整除．（填“能”或“不能”） 【及时应用】 （2）已知一个三位数能被3整除，若是一个不大于500的数，则这个三位数为_____________． 【类比探究】 （3）当一个三位数能被7整除时，a、b、c应满足什么条件，试说明理由． 【解决问题】 （4）已知一个三位数，满足，且能被5和7整除，则这个三位数是_____________． 【答案】（1）不能（2）111；（3）是7的倍数（4）560 或 735 【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减及乘除，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据材料二的知识解答即可； （2）根据题意判断能被3整除，进而得到，由均是百位数字得出的值即可； （3）先表示出三位数，再判断能被7整除的条件即可； （4）得出能被5整除的末位数是0或5，再求出的值即可判断符合条件的三位数字． 【详解】解：（1）∵ ，10不能被3整除， ∴235不能被3整除， 故答案为：不能； （2）∵ 因为能被3整除，所以能被3整除， 设（k为正整数），则 ∵， ∴， ∴， ∴， 因为均是百位数字， ∴，，， 则，这个三位数是111； 故答案为：111； （3） 因为一定能被7整除， 所以，能被7整除的条件是能被7整除； （4）∵，且能被5和7整除， ∴或5； 当时，，即， ∴则这个三位数是， 又这个数能被7整除， ∴能被7整除， ∴， 此时，三位数是560； 当时，，即， ∴， ∴三位数为， ∴能被7整除， ∴， ∴这个三位数是735． 所以，符合条件的三位数是560和735． 故答案为：560和735． 66．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】(1) ；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合上面发现的规律进行计算即可； （3）根据所给等式，发现规律，并据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知：，，⋯⋯， 所以，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①因为；；；… 所以，， 故答案为：； ② ． 67．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整体思想在整式加减中的应用． （1）通过合并同类项系数求解； （2）将已知条件整体代入求值； （3）通过等式变换和整体代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ． 68．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：……请根据上述规律完成下列问题： (1)第5个等式为 ； (2)写出你猜想的第个等式： （用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律的探索，通过观察等式特征，得出一般规律，并应用规律进行计算． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第5个等式为． （2）根据以上规律，第n个等式为． （3）∵ ， ∴ ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式计算题专项训练 基础·固本强基 题型1 已知字母的值，求代数式的值 题型2 已知式子的值，求代数式的值 题型3 程序流程图与代数式求值 题型4 合并同类项 题型5 整式的加减计算 题型6 整式加减中的无关型问题 题型7 整式加减中的整体性思维 题型8 整式加减的新定义运算 题型9 整式加减的化简求值 题型10 整式加减的规律计算 题型11 数轴与绝对值结合的化简计算 题型12 含绝对值的式子化简 提升·进阶突破 题型13 整式计算题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 整式计算题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 已知字母的值，求代数式的值（共4小题） 【易错】负数、分数代入代数式必须加括号，严格遵循运算顺序，不要漏乘、漏算乘方。 1．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，，，求的值． 2．（26-27七年级上·安徽六安·期中）已知，求的值． 3．（26-27七年级上·四川宜宾·期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，． (1)分别写出，，x的值； (2)的值． 4．（26-27七年级上·江苏南通·期中）按要求解答问题： (1)若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，求的值． (2)若，，且，求的值． 题型2 已知式子的值，求代数式的值（共4小题） 【易错】优先整体变形，不要强行求单个字母，变形时注意符号，防止倍数关系出错 5．（26-27七年级上·陕西西安·期中）已知：有理数满足，a、b互为相反数且都不为零，c、d互为倒数．求：的值． 6．（26-27七年级上·辽宁鞍山·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)若，求z的值 7．（2026七年级上·全国·期中）求下列代数式的值： (1)若，，则代数式________； (2)当时，求代数式的值． 8．（26-27七年级上·全国·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型3 程序流程图与代数式求值（共4小题） 【易错】读懂分支条件，循环计算要分步，不要跳步；判断终止条件，避免重复或提前停止运算 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 10．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图一个“数值转换机”的示意图． (1)输出的结果为_____；（用含的代数式表示） (2)当输入时，求输出的值． 11．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图． (1)用含x，y的代数式表示输出的结果； (2)当，时，求输出的结果． 12．（25-26七年级上·吉林·期中）如图是一个运算程序： (1)若，，求m的值． (2)若，，求m的值． (3)若，m的值为，则______． (4)当，m的值为0时，直接写出的值． 题型4 合并同类项（共4小题） 【易错】只有同类项才能合并，仅系数相加减，字母和指数不变；区分系数、指数，不要改变字母 13．（2025七年级上·四川眉山·期中）合并同类项： (1)； (2)． 14．（2025七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 16．（25-26七年级上·全国·期中）先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． 题型5 整式的加减计算（共4小题） 【易错】去括号，括号前为负号，括号内每一项都变号；不要只改第一项符号，漏变后面项 17．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）化简： (1)； (2)． 18．（26-27七年级上·黑龙江绥化·期中）化简： (1) (2) 19．（26-27七年级上·黑龙江大庆·期中）已知，． (1)化简 (2)当时，求的值． 20．（26-27七年级上·吉林·期中）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容．代数式 的值为7，则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有，． 所以代数式的值为5． (1)若代数式的值为5，代数式的值为_____； (2)当时，代数式的值为18，当时，求代数式的值； 【拓展应用】 (3)若，，则代数式的值为_____． 题型6 整式加减中的无关型问题（共4小题） 【易错】先完整化简整式，某项与字母无关，则该项系数为 0，常数项不受影响，别误令常数为 0 21．（26-27七年级上·上海嘉定·期中）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 22．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案 (1)求多项式A． (2)若值与n的取值无关，求m的值． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含的代数式表示下面的问题： 大长方形的长___________； 阴影的周长___________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 24．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． (1)当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； (2)若W的值与x无关，且，求m的值． 题型7 整式加减中的整体性思维（共4小题） 【易错】整体代换时注意式子符号，添括号变号，不要直接拆分整体，注意倍数与正负 25．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 26．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）有这样一道题“如果代数式的值为-2，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的小王同学解题过程如下： 原式． 小王同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，代数式的值为． 27．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 28．（24-25七年级上·河南安阳·期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法．它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）； （2）． 【问题解决】 （1）对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程； 【简单应用】 （2）①已知，则______； ②已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求整式的值． 题型8 整式加减的新定义运算（共4小题） 【易错】严格套用题目法则，不可套用旧运算，代入对应字母，去括号时留心符号错误 29．（25-26七年级上·江苏·期中）定义：若两个有理数a，b满足，则称a，b互为“关联数”． (1)3与哪个数互为“关联数”？请写出计算过程； (2)若m，n互为“关联数”，且，求n的值； (3)若x与自身互为“关联数”，求代数式的值． 30．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 31．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，请计算的值． 32．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 题型9 整式加减的化简求值（共4小题） 【易错】先化简，后代值；负数分数代入加括号，不要直接代入原式进行复杂计算 33．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 34．（25-26七年级上·广东河源·期末）已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 35．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中和满足． 36．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值： 已知，求的值，其中． 题型10 整式加减的规律计算（共4小题） 【易错】多验证前几项找规律，分清序号和项，归纳后回代检验，不要凭猜测直接写通项 37．（24-25七年级上·江苏南京·期中）观察下列算式： ① ② ③ ④ ⑤ …… (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________； (2)计算：； (3)计算： 38．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）找规律：观察算式 ； ； ； ； … (1)按规律填空 　； 　． (2)由上面的规律计算： （要求：写出计算过程） 39．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）观察以下等式： ； 根据以上规律，解决下列问题： (1)　　； (2)计算（结果用含的代数式表示）． 40．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①  ②  ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：________； (2)写出第n个等式：________； (3)根据上述规律，计算： 题型11 数轴与绝对值结合的化简计算（共4小题） 【易错】由数轴判断大小，确定绝对值内式子正负；负数去绝对值要变相反数，不要直接去符号 41．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”或“”填空：_______，_______； (2)化简：． 42．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）已知，． (1)若，异号，求的值； (2)，求的值． 43．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 44．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a 0； ② 0； (2)比较a、b、、的大小；（用“”把它们连接起来） (3)化简：． 题型12 含绝对值的式子化简（共4小题） 45．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 46．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）在研究和解决数学问题的过程中，当问题所给对象不能统一进行研究时，就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究，最后综合各类结果得到整个问题的答案．这一思想方法称为“分类讨论的思想”，其用处非常广泛，例如：我们讨论的值时，就会对进行分类，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解答下列问题： (1)______，______．当时，______，当时，______． (2)已知：，求的值；（提示表示） (3)若，直接写出所有可能的值． 47．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 48．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，；用这种方法解决下列问题： (1)当时， ； (2)当时，求 ； (3)已知是有理数，当时，试求 ； (4)已知是有理数，当时，试求的值． 提升·进阶突破 题型13 整式计算题进阶练（共10小题） 49．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知，，，求的值． 50．（26-27七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均是有理数，，则（     ） A．或0 B． C．0 D．或或0 51．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）观察下列各式的特征： ；；；． 根据规律，解决以下问题： (1)若有理数，则_______，若有理数，则_______． (2)表示有理数a的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为______． A．    B．    C．    D． (3)计算： 52．（26-27七年级上·江苏·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． 猜想并写出：__________． 尝试解决：__________． 试一试：__________． 53．（26-27七年级上·全国·单元测试）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“”或“”填空：________0，________0； (2)若，，，互为相反数，，互为倒数，求的值． 54．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，回答问题． ，，，， (1)仿照例子，写出第5个等式 ； (2)计算：； (3)计算：． 55．（26-27七年级上·江苏南通·期中）小赵同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小赵于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；…… 探索以上等式的规律，回答下列问题： (1)； (2)归纳写出第个等式：； (3)利用（2）中的等式，计算：． 56．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 57．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 58．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 拔高·压轴破难 题型14 整式计算题压轴练（共10小题） 59．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 60．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 61．（25-26六年级上·山东威海·期末）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 偶数的个数 个偶数的和 1 2 2 3 4 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． 62．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 63．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：，因为的末尾数字是1，所以的末尾数字是1，所以的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)判断能否被5整除，并说明理由． 64．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 65．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）材料一：若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为a、b、c，则通常记这个三位数为，即三位数． 材料二：试说明当能被3整除时，三位数能被3整除． 解：因为能被3整除，可设（其中k为正整数）， 因为 所以一定能被3整除． 【概念理解】 （1）三位数235_____________被3整除．（填“能”或“不能”） 【及时应用】 （2）已知一个三位数能被3整除，若是一个不大于500的数，则这个三位数为_____________． 【类比探究】 （3）当一个三位数能被7整除时，a、b、c应满足什么条件，试说明理由． 【解决问题】 （4）已知一个三位数，满足，且能被5和7整除，则这个三位数是_____________． 66．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 67．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 68．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：……请根据上述规律完成下列问题： (1)第5个等式为 ； (2)写出你猜想的第个等式： （用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $