专题07 整式的加减中特殊题型10大题型60题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题07 整式的加减中特殊题型 基础·固本强基 题型1 整式加减中的无关型问题 题型2 整式加减中的缺项型问题 题型3 整式加减中的错看型问题 题型4 整式加减中的整体性问题 题型5 整式加减中的数字规律型问题 题型6 整式加减中的图象规律型问题 题型7 整式加减中的新定义问题 题型8 整式加减与绝对值、数轴结合 提升·进阶突破 题型9 整式加减中的特殊题型进阶练 拔高·压轴破难 题型10 整式加减中的特殊题型压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 整式加减中的无关型问题（共5小题） 【易错】先完整化简整式，结果与字母无关，则对应字母项系数为 0；常数项不受影响，切勿错误令常数等于 0。 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知：，． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知多项式， (1)求； (2)若的值与y无关，求x的值． 4．（24-25七年级上·江苏·期末）小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知 (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，求正确结果的代数式的值． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 题型2 整式加减中的缺项型问题（共5小题） 【易错】化简后缺某一项，代表该项系数为 0，列方程求参数；看清缺哪一项，区分一次项、二次项，不要找错项。 6．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）关于的多项式与的和不含和． (1)求，的值； (2)求的值． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若关于x的多项式不含二次项和一次项． (1)求m，n的值； (2)已知m、n的值，求；（先化简，再求值） 8．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 10．（25-26七年级上·江苏·期中）小丽周末准备完成题目：化简求值：，其中，发现系数印刷不清楚． (1)她把猜成8，请你化简，并求当时式子的值； (2)她爸爸说她猜错了，标准答案的化简结果不含二次项，请你通过计算说明原题中的是多少？ 题型3 整式加减中的错看型问题（共5小题） 【易错】看错符号或式子，先用错误结果反推原式，再用正确式子计算；注意符号变化，不要直接沿用错误算式。 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在“计算的值，其中，”的解题过程中，小芳把错写成，小华错写成．但他们的答案都是正确的，你知道这是什么原因吗？ 12．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）小丽在求解一道数学题“已知两个多项式，，计算”时，却将错写成，此时求得的结果是，其中，请你帮助小丽求出的正确答案． 13．（25-26七年级上·全国·期中）对于多项式，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，多项式中不含项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果，，多项式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧； （2）在做第二个问题时，马小虎同学把，错看成，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 15．（25-26七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 题型4 整式加减中的整体性问题（共5小题） 【易错】把多项式当作整体代换，对式子变形凑出已知整体；添括号注意变号，不要拆分整体，倍数正负仔细核对。 16．（24-25七年级上·江苏南京·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并：的结果是______； (2)若，则的值为______． 17．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是______； (2)①已知，则_______； ②已知，则_______； (3)已知，，求代数式的值． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 20．（25-26八年级上·广东珠海·期中）阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛尝试应用．例：当代数式的值为7时，求代数式的值．解：因为，所以．所以．请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 题型5 整式加减中的数字规律型问题（共5小题） 【易错】列出前几项，对比序号找不变量与变化量，归纳代数式；写出通项后代入检验，避免只凭猜测写结果。 21．（26-27七年级上·江苏南通·期中）观察下列三行数并按规律回答问题： ①，，，，；②，，，，；③，，，， (1)第①行第个数是________； (2)取每行的第个数，计算这三个数的和； (3)设第①，②，③行的第个数分别为，，，则________． 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 23．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少2．类似的，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小4：______；若要求x的值每增加1，代数式的值就增加3，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； (4)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 24．（25-26七年级上·江苏南京·期中）根据下列表格，回答问题． 列行 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 … 第1行 4 8 12 … 第2行 4 12 20 28 … 第3行 7 15 23 31 … (1)第1行第7列的数是________； (2)计算第10列三个数的和； (3)表格中任意相邻两列的6个数的和为________． 25．（25-26七年级上·江苏南京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式是______； (2)求的值； (3)依照上述方法，试计算． 题型6 整式加减中的图象规律型问题（共5小题） 【易错】观察图形变化，转化为数字序列，找到图形序号与数量关系；多验证 2-3 组，防止只看局部归纳错误规律。 26．（25-26六年级上·山东威海·期末）如图，用边长相等的小正方形组成一组有规律的图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 … 小正方形的总个数 4 9 16 … 阴影小正方形的个数 1 4 9 … 空白小正方形的个数 3 5 7 … (2)按此规律拼摆的第2026个图中，空白小正方形有______个；第n个图中，空白小正方形有______个（用含n的代数式表示）； (3)计算：． 27．（25-26七年级上·山东青岛·期末）本册书的学习中，我们经历了归纳等问题解决策略的学习．归纳是从几种特殊情形出发，展开研究，最终得到一般规律，归纳是发现数学结论、解决实际问题的重要方法． 【问题探究】 如图，在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪次，最多可以将该纸片分成多少部分？ 将探究结果整理成下面的表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 ．．． 最多可分成的部分数 2 4 7 - - ．．． （1）补全表格； （2）归纳：_____（用含的代数式表示） 【应用结论】 （3）在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪20次，最多可以将该纸片分成_____部分． 【拓展延伸】 （4）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成_____块； （5）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，一共切5次，竖切_____次，横切_____次，能切出的块数最多． （6）针对这个切木块的情境，你还想继续研究什么问题？ 你的问题是：__________． 28．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形（长方形），接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．我们可以利用图形展示的规律将累加式进行化简： 例如：由于，所以． 完成解答： ①类比上面推理将累加式化简为______； ②利用上面的解题方法化简累加式______； ③化简累加式：． 29．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）由火柴棒拼出一列图形，每个图形由几个正方形组成，通过观察发现： (1)组成4个正方形的火柴棒根数是__________； (2)组成5个正方形的火柴棒根数是__________； (3)组成100个正方形的火柴棒根数是__________； (4)组成个正方形的火柴棒根数是__________． 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． 题型7 整式加减中的新定义问题（共5小题） 【易错】严格依照题目新运算规则列式，不能套用原有运算法则；替换字母后去括号，重点防范符号失误 31．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于3的关联数． (1)①6与_____________是关于2的关联数． ②与_____________是关于2的关联数．（用含的代数式表示）． (2)若，，判断与是否是关于1的关联数，并说明理由． 32．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 33．（25-26七年级上·北京石景山·期末）定义一种新运算：观察下列式子：，， (1)请你想一想： ；若，则 （填入“”或“”）； (2)计算：． 34．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数． 例如：若，则称与是关于3的平衡数． （1）①2 与 是关于3的平衡数； ② 与 是关于3 的平衡数． (用含的代数式表示)． （2）若，判断与是否是关于0 的平衡数，并说明理由． 35．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2026与 是关于的平均数， 与是关于2的平均数． (2)若a与2b是关于3的平均数，2b与c是关于的平均数，c与d是关于9的平均数，求 (3)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 题型8 整式加减与绝对值、数轴结合（共5小题） 【易错】借助数轴判断式子正负，正数直接去绝对值，负数改为相反数；零点分段讨论，不要直接去掉绝对值符号。 36．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴表示5和1两点间的距离是______；表示和3两点间的距离是______；一般地，数轴上表示数a和数b的两点间的距离是______． (2)若，则______． (3)若，，且数a和数b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则______， (5)利用数轴，探究：当______时，的值最小，最小值是______． 37．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）绝对值的几何意义：表示一个数x在数轴上对应的点到原点的距离，表示a，b两数在数轴上对应两点之间的距离.解决下列问题： (1)若，则__________； (2)已知点P在数轴上对应的数是1，若a，b（）两数在数轴上对应点A，B之间的距离为12，且它们到P的距离相等，则__________，__________； (3)若，直接写出x的值. 38．（25-26九年级上·四川成都·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 例如数轴上数2，5对应点之间的距离为，数轴上数2，对应点之间的距离为： 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上点M用数x表示 ①若，那么x的值是 ： ②当时，这样的整数x有 个： ③的最小值是 ． 39．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 40．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 提升·进阶突破 题型9 整式加减中的特殊题型进阶练（共10小题） 41．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，其中． (1)当，时，求证； (2)当时，若是一个与无关的定值，求的值． 42．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 43．（25-26七年级上·河北保定·期末）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)已知，求代数式的值； (3)若，，直接写出代数式的值． 44．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 45．（25-26七年级上·福建莆田·期末）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 46．（25-26七年级上·吉林长春·期末）阅读材料：我们知道，类似的，若把看作一个整体，则． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看作一个整体，合并的结果为_______； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 47．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】以下是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： (1) ； (2) ； (3)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求 ． (4)【拓展提高】已知，求代数式 的值． 48．（25-26七年级上·广东河源·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则_____； 我们将作为一个整体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值； (4)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 49．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数学中数与形之间也可以互相转化． (1)观察下列图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：___________： (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①___________． ②计算：． 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读下列材料： 计算时，可列如下竖式： 小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化如下： 所以原式． 根据材料解答下列问题： 已知，． (1)将按x的降幂排列： ； (2)请仿照小明的方法计算：； (3)请写出一个多项式，使其与的和是二次三项式： ． 拔高·压轴破难 题型10 整式加减中的特殊题型压轴练（共10小题） 51．（25-26七年级上·江苏南通·期中）“鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下问题： 【问题引入】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．（结果用含n的式子表示） 【问题解决】 （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【问题拓展】 （5）从1，2，3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中去掉一个整数，从剩下的个整数中任取3 个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求n的值和此时去掉的数的所有可能． 52．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 53．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是________；第n个三角形数是________． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是________． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为________＝________＋________． 54．（2026七年级上·江苏镇江·竞赛）对于整数a，b，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知且为整数，，请用含x的代数式表示y． (3)已知，直接写出a的值． 55．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 56．（24-25七年级上·北京·期中）1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 57．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 58．（24-25七年级上·福建泉州·期末）定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 59．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2026个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式的加减中特殊题型 基础·固本强基 题型1 整式加减中的无关型问题 题型2 整式加减中的缺项型问题 题型3 整式加减中的错看型问题 题型4 整式加减中的整体性问题 题型5 整式加减中的数字规律型问题 题型6 整式加减中的图象规律型问题 题型7 整式加减中的新定义问题 题型8 整式加减与绝对值、数轴结合 提升·进阶突破 题型9 整式加减中的特殊题型进阶练 拔高·压轴破难 题型10 整式加减中的特殊题型压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 整式加减中的无关型问题（共5小题） 【易错】先完整化简整式，结果与字母无关，则对应字母项系数为 0；常数项不受影响，切勿错误令常数等于 0。 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，整式加减中的无关型问题，正确运算是解题的关键． （1）将，代入中，然后去括号，合并同类项化简，然后代值求解即可； （2）根据（1）求出的的化简式子，先把b提出来，再根据的值与b的取值无关，可求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， 原式； （2）解：， ∵的值与b的取值无关， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知：，． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，非负数的性质：绝对值与偶次方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把，代入中，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出x与y的值，代入（1）化简的结果中计算即可； （3）结果整理后，由取值与y无关，确定出x的值即可． 【详解】（1），， ； （2）， ，， ； （3），由值与y的取值无关， 所以得到， 解得： 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知多项式， (1)求； (2)若的值与y无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可． （2）根据，可得，求出的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：，的值与无关， ， 解得． 4．（24-25七年级上·江苏·期末）小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知 (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，求正确结果的代数式的值． 【答案】(1) (2)小强的说法对 (3) 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）由，可得多项式； （2）计算，若结果不含，则小强说的对，若结果含，则小强说的不对； （3）将，，代入正确结果的代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴， ∵，， ∴， （2）解：小强说法对，理由： ∵，， ∴， ∵不含， ∴正确结果的大小与的取值无关， 答：小强说法对． （3）解：∵，， ∴ 答：正确结果的代数式的值为． 5．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）先去括号，合并同类项；再根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）设，分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 又的值与字母的取值无关， ， ； （2）设， 依题意，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ．即． 题型2 整式加减中的缺项型问题（共5小题） 【易错】化简后缺某一项，代表该项系数为 0，列方程求参数；看清缺哪一项，区分一次项、二次项，不要找错项。 6．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）关于的多项式与的和不含和． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值、整式加减中的无关问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的加减计算法则求出两个多项式的和，再根据不含和项进行求解即可； （2）先根据整式的加减计算法则化简，然后代入值计算即可． 【详解】（1）解： ， 的多项式与的和不含和， ，， 解得，； （2）解： ， 当，时，原式． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若关于x的多项式不含二次项和一次项． (1)求m，n的值； (2)已知m、n的值，求；（先化简，再求值） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式不含哪项，哪项系数为0，以及整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据多项式不含二次项与一次项，得到两项系数为0，即可求出与的值． （2）原式去括号合并得到最简结果，代入计算即可求出值． 【详解】（1）∵多项式不含二次项和一次项， 解得：． （2） ； 当时，原式． 8．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项，进行化简即可； （2）先求出A与B的差，根据结果不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵A与B的差不含x的一次项， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 10．（25-26七年级上·江苏·期中）小丽周末准备完成题目：化简求值：，其中，发现系数印刷不清楚． (1)她把猜成8，请你化简，并求当时式子的值； (2)她爸爸说她猜错了，标准答案的化简结果不含二次项，请你通过计算说明原题中的是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． （1）根据整式的运算法则即可求出答案． （2）设“□”为a，根据整式的运算法则进行化简后，根据化简结果不含二次项，即可求出“□”的答案． 【详解】（1）解：                          当时，原式； （2）设“□”为a，则 原式              因为结果不含二次项， 所以， 所以   因此原题中“□”的为 题型3 整式加减中的错看型问题（共5小题） 【易错】看错符号或式子，先用错误结果反推原式，再用正确式子计算；注意符号变化，不要直接沿用错误算式。 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在“计算的值，其中，”的解题过程中，小芳把错写成，小华错写成．但他们的答案都是正确的，你知道这是什么原因吗？ 【答案】 解： ， 所以式子的值与的值无关，他们的答案都是正确的． 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．根据整式的加减运算法则可得化简结果为，则可得式子的值与的值无关，由此即可得． 【详解】略 12．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）小丽在求解一道数学题“已知两个多项式，，计算”时，却将错写成，此时求得的结果是，其中，请你帮助小丽求出的正确答案． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，先根据，计算出多项式A，再计算即可．掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ， ． 13．（25-26七年级上·全国·期中）对于多项式，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，多项式中不含项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果，，多项式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧； （2）在做第二个问题时，马小虎同学把，错看成，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 【答案】（1）因为 ， 所以只要，这个多项式就不含项即时，多项式中不含项； （2）因为在第一问的前提下原多项式为：， 当时， ． 当时， ． 所以当和时结果是相等的． 【分析】（1）代数式中不含xy项就是合并同类项以后xy项得系数等于0，据此即可求得k的值； （2）把和代入（1）中的代数式求值即可判断． 【详解】略 【点睛】本题考查了合并同类项法则以及求代数式的值，理解不含xy项就是xy项的系数是0是关键． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为． （1）求多项式M； （2）求出本题的正确答案． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据错误的结果减去，去括号合并表示出多项式即可； （2）由表示出的加上，去括号合并即可得到正确的答案． 【详解】解：（1）根据题意列得： ， 即； （2）正确答案为： ， 即正确答案为． 【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 15．（25-26七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 【答案】(1)， (2)当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关 【分析】（1）先根据题意列出，利用整式相加减求出A，再求正确式子的结果即可； （2）将ab﹣5ac+2写成（b﹣5c）a+2，即可得到当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【详解】（1）由题意得：， ， ， 故答案为：，． （2）ab﹣5ac+2= a（b﹣5c）+2， 由题意可得：b﹣5c=0， ∴b=5c， ∴当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 题型4 整式加减中的整体性问题（共5小题） 【易错】把多项式当作整体代换，对式子变形凑出已知整体；添括号注意变号，不要拆分整体，倍数正负仔细核对。 16．（24-25七年级上·江苏南京·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并：的结果是______； (2)若，则的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，求代数式的值，解决问题的关键是运用整体思想． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式， 故答案为：； （2）解：原式 故答案为： 17．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的加减以及化简求值， （1）将把看成一个整体，原式进行合并即可； （2）将原式变形后整体代入数值计算即可； （3）将原式变形后整体代入数值计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵，，， ∴ 18．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是______； (2)①已知，则_______； ②已知，则_______； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为：； （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ； 故答案为：； （3）解：，， ． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 【答案】（A级选做题）（1）2；（2）；（3）2；（B级选做题）（1）2；（2）；（3）；（C级选做题）（1）2；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整式的加减、求代数式的值，解此题的关键是采用整体代入的思想进行计算． （A级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可； （3）把写成，整体代入计算即可； （B级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）把写成，整体代入计算即可； （3）由可得，把写成，整体代入计算即可； （C级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）将写成，整体代入计算即可； （3）由可得，再将写成，整体代入计算即可． 【详解】解：（A级选做题） （1）， 故答案为：； （2）； （3）， ， 故答案为：； （B级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ； （3）， ， ， 故答案为：； ，则 （C级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ， （3）， ，即， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·广东珠海·期中）阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛尝试应用．例：当代数式的值为7时，求代数式的值．解：因为，所以．所以．请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2070 【分析】（1）把看成一个整体，合并即可得到答案； （2）把化为，整体代入进行计算即可得到答案； （3）由可得，将化为，整体代入从而得到，再化为，再次整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：， ， ． 【点睛】本题考查了合并同类项、求代数式的值，熟练掌握运算法则，运用整体代入的思想进行计算是解此题的关键． 题型5 整式加减中的数字规律型问题（共5小题） 【易错】列出前几项，对比序号找不变量与变化量，归纳代数式；写出通项后代入检验，避免只凭猜测写结果。 21．（26-27七年级上·江苏南通·期中）观察下列三行数并按规律回答问题： ①，，，，；②，，，，；③，，，， (1)第①行第个数是________； (2)取每行的第个数，计算这三个数的和； (3)设第①，②，③行的第个数分别为，，，则________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）第①行中后一个数是前一个数的倍，第4个数为，即得第个数； （2）第②行每个数都比第①行对应数大，第③行每个数都是第①行对应数的倍，分别求出各行第个数后相加； （3）由规律得，，代入化简即得． 【详解】（1）解：∵第①行中后一个数是前一个数的倍，且第个数为， ∴第个数为． （2）解：∵第①行第个数为， ∴当时，第①行第个数为． ∵第②行对应位置的数比第①行大，第③行对应位置的数是第①行的倍， ∴第②行第个数为，第③行第个数为． ∴三个数的和为． （3）解：由规律得，， ∴． 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的数字规律，理解题意，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据已知条件得到规律，即可求解第五个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ∴ ． 23．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少2．类似的，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______； (3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小4：______；若要求x的值每增加1，代数式的值就增加3，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______； (4)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1)1,14 (2)增加3 (3)（答案不唯一）， (4)增加 【分析】本题考查了列代数式，求代数的值，整式的加减的应用等知识． （1）把代入，即可求出； （2）根据表格中数据变化趋势即可得到变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3； （3）根据表格中变化趋势得到规律：设代数式为，则x的值每增加1，代数式的值就增加（或减少），（k为正数，则增加，k为负数，则减少），据此即可求解． （4）猜想得到当x的值从a增加到时，关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会增加．列式得，计算得到，问题得证． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． 故答案为：1,14； （2）解：由表格可得的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3． 故答案为：增加3； （3）解：由表格可得，含x的代数式x的值每增加1，代数式的值就与x的系数有关，设代数式为，则x的值每增加1，代数式的值就增加（或减少），（k为正数，则增加，k为负数，则减少）． 所以含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小4，代数式可以为； 若要求x的值每增加1，代数式的值就增加3，且当时，代数式的值为－6．设代数式为， 由题意得，所以， 所以这个代数式为． 故答案为：（答案不唯一），； （4）解：答：当x的值从a增加到时，关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会增加． 证明： ． 所以，当x的值从a增加到时，关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会增加． 24．（25-26七年级上·江苏南京·期中）根据下列表格，回答问题． 列行 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 … 第1行 4 8 12 … 第2行 4 12 20 28 … 第3行 7 15 23 31 … (1)第1行第7列的数是________； (2)计算第10列三个数的和； (3)表格中任意相邻两列的6个数的和为________． 【答案】(1) (2) (3)0或12 【分析】本题考查了数字规律探索，理解题意并找出规律是解决本题的关键． （1）根据表格即可得第1行的规律，进而即可求解； （2）根据表格分别得出第1、2、3行的规律，再求出第10列的数值并相加即可求解； （3）分两种情况：当n为奇数时和当n为偶数时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，第1行的规律为：第列的数，数值为，奇数列符号为负，偶数列符号为正， 当（奇数）时，数为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第1行第10列：（偶数），数为； 第2行规律：第2行第n列是第1行第n列的倍， ∴第2行第10列数为； 第3行规律：第3行第n列是第2行第n列加， ∴第3行第10列数为； 三个数的和为： ； （3）解：当n为偶数时，第1行第n列数为； 第2行第n列数为； 第3行第n列数为； 则第1行第（奇数）列数为； 第2行第列数为； 第3行第列数为； ∴ ， 当n为奇数时，第1行第n列数为； 第2行第n列数为； 第3行第n列数为； 则第1行第（偶数）列数为； 第2行第列数为； 第3行第列数为； ∴ ， 故答案为：0或12． 25．（25-26七年级上·江苏南京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式是______； (2)求的值； (3)依照上述方法，试计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题意发现规律：等号后面的式子分子不变，均为1；分母是两个连续奇数的乘积，最后等于两个连续奇数分之一差的一半，即可得到第5个等式； （2）根据题目式子的规律得到，再代入计算求值即可． （3）将改写为，改写成，，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ∴ ； （3）解：因为，，， 所以，原式 ． 题型6 整式加减中的图象规律型问题（共5小题） 【易错】观察图形变化，转化为数字序列，找到图形序号与数量关系；多验证 2-3 组，防止只看局部归纳错误规律。 26．（25-26六年级上·山东威海·期末）如图，用边长相等的小正方形组成一组有规律的图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 … 小正方形的总个数 4 9 16 … 阴影小正方形的个数 1 4 9 … 空白小正方形的个数 3 5 7 … (2)按此规律拼摆的第2026个图中，空白小正方形有______个；第n个图中，空白小正方形有______个（用含n的代数式表示）； (3)计算：． 【答案】(1)25；36；16；25；9；11 (2)4053； (3) 【分析】本题考查了图形类规律，数字类规律，解题的关键是正确找到规律求解． （1）根据题干图形可直接求解； （2）根据题干图形找到规律可直接求解； （3）根据题干表格中得到的规律求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 … 小正方形的总个数 4 9 16 25 36 … 阴影小正方形的个数 1 4 9 16 25 … 空白小正方形的个数 3 5 7 9 11 … （2）解：∵第1个空白小正方形的个数为； 第2个空白小正方形的个数为； 第3个空白小正方形的个数为； 第4个空白小正方形的个数为； 第5个空白小正方形的个数为； 按此规律拼摆的第2026个图中，空白小正方形有个；第n个图中，空白小正方形有个， 故答案为：4053；； （3）解：第1个空白小正方形的个数为； 第2个空白小正方形的个数为； 第3个空白小正方形的个数为； 第4个空白小正方形的个数为； 第5个空白小正方形的个数为， 第个空白小正方形的个数为， ∴ ． 27．（25-26七年级上·山东青岛·期末）本册书的学习中，我们经历了归纳等问题解决策略的学习．归纳是从几种特殊情形出发，展开研究，最终得到一般规律，归纳是发现数学结论、解决实际问题的重要方法． 【问题探究】 如图，在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪次，最多可以将该纸片分成多少部分？ 将探究结果整理成下面的表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 ．．． 最多可分成的部分数 2 4 7 - - ．．． （1）补全表格； （2）归纳：_____（用含的代数式表示） 【应用结论】 （3）在不改变原图形形状的前提下，将一张长方形纸片剪20次，最多可以将该纸片分成_____部分． 【拓展延伸】 （4）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成_____块； （5）在不改变原图形形状的前提下，切一个长方体木块，一共切5次，竖切_____次，横切_____次，能切出的块数最多． （6）针对这个切木块的情境，你还想继续研究什么问题？ 你的问题是：__________． 【答案】（1）11，16； （2）； （3）； （4）； （5）竖切2次、横切3次 或 竖切3次、横切2次； （6）问切次时，竖切和横切各多少次能使长方体块数最多？ 【分析】本题主要考查了图形切割的规律探究、二次函数的最值应用、代数式的推导与求值，熟练掌握每一刀与之前所有刀痕相交以获得最多块数的规律，以及将实际问题转化为数学表达式的方法是解题的关键． （1）补全表格：遵循每一刀都与之前所有刀痕相交的原则，依次计算每次新增的块数，累加得到对应次数的总块数． （2）归纳公式：从递推关系出发，将每次增加的块数累加求解即可． （3）应用结论：将代入（2）中得到的公式进行计算． （4）长方体切割：竖切次把底面分成块，横切次把高度分成块，总块数为两者的乘积． （5）分情况讨论求解即可． （6）围绕切割次数、方式与块数的关系提出新问题即可． 【详解】解：（1）剪1次：， 剪2次：， 剪3次：， 剪4次：， 剪5次：， 表格补全：4次对应11，5次对应16； （2） ； （3）当时，， ∴最多可以将该纸片分成部分； （4）切一个长方体木块，竖切（垂直于底面切）次，横切（平行于底面切）次，则最多可将这个长方体木块分成块； （5）竖切0次，横切5次：， 竖切1次，横切4次：， 竖切2次，横切3次：， 竖切3次，横切2次：， 竖切4次，横切1次：， 竖切5次，横切0次：， 对比所有结果，最大块数为12，对应：竖切2次、横切3次 或 竖切3次、横切2次， ∴一共切5次，竖切2次、横切3次 或 竖切3次、横切2次，能切出的块数最多． （6）略 28．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形（长方形），接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．我们可以利用图形展示的规律将累加式进行化简： 例如：由于，所以． 完成解答： ①类比上面推理将累加式化简为______； ②利用上面的解题方法化简累加式______； ③化简累加式：． 【答案】①；②；③ 【分析】本题考查图形和数字规律； ①参考例题解题过程，得到，据此求解即可； ②参考例题解题过程，先计算，进而即可得解； ③根据，结合前面两问的结果计算即可． 【详解】解：①类比上面推理得到， ∴， 故答案为：； ② ， ∴， 故答案为：； ③∵， ∴ ． 29．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）由火柴棒拼出一列图形，每个图形由几个正方形组成，通过观察发现： (1)组成4个正方形的火柴棒根数是__________； (2)组成5个正方形的火柴棒根数是__________； (3)组成100个正方形的火柴棒根数是__________； (4)组成个正方形的火柴棒根数是__________． 【答案】(1)13 (2)16 (3)301 (4) 【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是从图形中找出规律． （1）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解； （2）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解； （3）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解； （4）根据从第一个图形开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个求解． 【详解】（1）解：由图可得： 组成1个正方形火柴棒的根数为， 组成2个正方形火柴棒的根数为， 组成3个正方形火柴棒的根数为， ∴组成第4个正方形火柴棒的根数为， 故答案为：13； （2）解：组成5个正方形火柴棒的根数为， 故答案为：16； （3）解：组成100个正方形火柴棒的根数为， 故答案为：301； （4）解：由上可得组成个正方形的火柴棒根数是． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了图形规律类探索，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，，代入计算即可； （2）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，据此计算即可． 【详解】（1）解：①图1得到等式：， 图2得到等式： 从小明的观察视角，图3所对应的等式：； ②由规律得到，， ∴ ； （2）解：①小亮观察图1得到等式：， 小亮观察图2得到等式：， 从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式：， ②由题意得： 因为是正整数，所以 所以 所以． 题型7 整式加减中的新定义问题（共5小题） 【易错】严格依照题目新运算规则列式，不能套用原有运算法则；替换字母后去括号，重点防范符号失误 31．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于3的关联数． (1)①6与_____________是关于2的关联数． ②与_____________是关于2的关联数．（用含的代数式表示）． (2)若，，判断与是否是关于1的关联数，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)与不是关于1 的关联数，理由如下： ，， ， ， ∴与不是关于1的关联数． 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减，理解题中给出的新定义，熟练掌握整式运算法则是解题关键． （1）①根据题意，进行计算即可；②根据题意，计算即可； （2）先计算出，然后根据题目中的式子说明理由即可． 【详解】（1）①， 6与是关于2的关联数； ②， ， 与是关于2的关联数， 故答案为：①；②； （2）解：略． 32．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)2， (2) 解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； (3)d的值为 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴4与2是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：2；； （2）略 （3）解：由题意得，， ， ． 33．（25-26七年级上·北京石景山·期末）定义一种新运算：观察下列式子：，， (1)请你想一想： ；若，则 （填入“”或“”）； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得出新运算的法则为第一个数的两倍与第二个数的和，据此可得计算公式；分别列出、，再利用作差法求解可得； （2）利用（1）中所得运算法则自左至右依次计算可得． 【详解】（1）由题意知，， ，， ， 由知， ， 故答案为：，； （2） ． 34．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数． 例如：若，则称与是关于3的平衡数． （1）①2 与 是关于3的平衡数； ② 与 是关于3 的平衡数． (用含的代数式表示)． （2）若，判断与是否是关于0 的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）①1，②；（2）a与b不是关于0的平衡数，理由见解析 【分析】（1）①根据平衡数的定义列式计算即可； ②根据平衡数的定义列式计算即可； （2）首先去括号，合并同类项化简a，b，然后计算a+b的值即可进行判断． 【详解】解：（1）①∵3-2=1， ∴2与1是关于3的平衡数； ②∵3-(4-x)=3-4+x=x-1， ∴4-x与x-1是关于3的平衡数； （2） ， ∵ ∴a与b不是关于0的平衡数． 【点睛】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解平衡数的定义是解题关键． 35．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2026与 是关于的平均数， 与是关于2的平均数． (2)若a与2b是关于3的平均数，2b与c是关于的平均数，c与d是关于9的平均数，求 (3)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2)29 (3) 【分析】（1）根据平均数的定义，进行求解即可； （2）根据题意，得到，代入代数式求值即可； （3）根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到中不含项，求出的值，进而求出的值即可． 本题考查整数的加减运算，代数式求值．理解并掌握平均数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴2026与2025是关于的平均数， ， ∴与是关于2的平均数， 故答案为：；； （2）由题意得：， ∴ ； （3） ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型8 整式加减与绝对值、数轴结合（共5小题） 【易错】借助数轴判断式子正负，正数直接去绝对值，负数改为相反数；零点分段讨论，不要直接去掉绝对值符号。 36．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴表示5和1两点间的距离是______；表示和3两点间的距离是______；一般地，数轴上表示数a和数b的两点间的距离是______． (2)若，则______． (3)若，，且数a和数b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则______， (5)利用数轴，探究：当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)4,7， (2)或 (3)最大距离是8，最小距离是2 (4)或6 (5)当时，式子的最小值为9； 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：或，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数x的点到和5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）数轴表示5和1两点间的距离是；和3两点间的距离是；数轴上表示数a和数b的两点间的距离是； （2）∵ ∴或 解得：或 （3）∵，， ∴或，或 ∴或1，或 当，时，A、B两点间的最大距离是8， 当，时，A、B两点间的最小距离是2； （4）∵表示数轴上有理数x所对应的点到和5所对应的点的距离之和， 当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或6； （5）当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 当时，原式，这时的最小值为 综上可得当时，式子的最小值为9； 37．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）绝对值的几何意义：表示一个数x在数轴上对应的点到原点的距离，表示a，b两数在数轴上对应两点之间的距离.解决下列问题： (1)若，则__________； (2)已知点P在数轴上对应的数是1，若a，b（）两数在数轴上对应点A，B之间的距离为12，且它们到P的距离相等，则__________，__________； (3)若，直接写出x的值. 【答案】(1)或3 (2)，7 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）根据题意可知点P是的中点，则，据此求解即可； （3）由题意可分当和两种情况进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意得表示的是一个数x在数轴上对应的点到1的距离为2， 表示的数为或3， 故答案为：或3； （2）解：由题意得：， ，， 故答案为：，7； （3）解：由题意可分当时，则原式化为， ； 当时，则有， ； 当时，，（不合题意，舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，绝对值方程，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 38．（25-26九年级上·四川成都·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 例如数轴上数2，5对应点之间的距离为，数轴上数2，对应点之间的距离为： 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上点M用数x表示 ①若，那么x的值是 ： ②当时，这样的整数x有 个： ③的最小值是 ． 【答案】(1) (2)①10或，②10，③1024144 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离，解题关键是掌握数轴知识，绝对值的定义及两点间的距离． （1）根据绝对值的几何意义，表示x和的两点之间的距离是，即； （2）①根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示数4的点的距离为6，据此求解x的值； ②根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示数的点与到表示数5的点的距离之和为9，据此确定x的取值范围，进而确定整数x的个数； ③跟将绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示数1、2、3、…、2026、2026、2026的点的距离之和，当x取中间的数时，距离之和最小，据此求解最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离是， 故答案为：． （2）解：①，， 故答案为：10或； ②表示数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离，表示数轴上表示数x的点和表示数5的点之间的距离，而与5之间的距离为， 当时，， ∴满足的整数x有，，，，0，1，2，3，4，5，共计10个， 故答案为：10； ③根据绝对值的几何意义， 表示数轴上表示数x的点到表示数1和2026的点的距离之和， 当时，的最小值为， 表示数轴上表示数x的点到表示数2和2026的点的距离之和， 当时，的最小值为， 以此类推，表示数轴上表示数x的点到表示数1012和1013的点的距离之和， 当时，的最小值为， ∴当时，原式的值最小， ∴最小值是：， 故答案为：1024144． 39．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 【答案】(1)0 (2)或0 (3)或 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当，时，的值是正确解答的关键． （1）确定a、b的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可； （2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）对，，进行讨论，，，同正，，，同负，，，两正一负，，，两负一正，再根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：0； （2）解：已知a、b是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③a、b异号，． 故的值为或0； 故答案为：或0； （3）解：已知，，是有理数，且， ①当，，时，； ②当，，时，； ③当，，两正一负时，令，，，则； ④当，，两负一正时，令，，，； 综上分析可知：的值为或． 40．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 提升·进阶突破 题型9 整式加减中的特殊题型进阶练（共10小题） 41．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，其中． (1)当，时，求证； (2)当时，若是一个与无关的定值，求的值． 【答案】(1) 证明：，且， ， ， ， ， ； (2)． 【分析】本题考查了代数式的运算、不等式的判断以及定值问题的求解，熟练运用代数式变形和等式性质是解答本题的关键． （1）将代入的表达式，结合的条件，通过作差法得到的表达式，再根据判断差的符号； （2）由出发，通过代入、整理得到与、的关系式，再根据是与无关的定值，利用系数为零的条件求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 整理，得， ， ， ，即， ， 是一个与无关的定值， ， 解得． 42．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或或或； (3) 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值与平方根的性质及分类讨论思想，关键是熟练运用整式加减法则化简代数式，根据绝对值和平方的非负性求解未知数的所有可能值，并结合附加条件筛选出符合的取值． （1）先将、代入，利用乘法分配律去括号，再合并同类项得到化简结果； （2）根据绝对值的性质解方程得到的两个可能值，根据平方根的定义求出的两个可能值，再分四种组合计算的所有可能结果； （3）由得出，结合确定、的唯一符合条件的取值，再代入（1）中化简后的的表达式计算最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴或， 解得或； ∵， ∴或； 分情况计算： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故的值为：或或或； （3）解：∵， ∴，即； 又∵， ∴与同号，且； 由（2）知的可能值为，，的可能值为，； ∴，； 当，时，． 43．（25-26七年级上·河北保定·期末）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)已知，求代数式的值； (3)若，，直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值，解决问题的关键是整体代入的方法求代数式的值． (1)把整体看成一个字母，根据合并同类项的法则进行计算； (2)由，可得，再利用整体代入的方法求代数式的值； (3)把与的两式相减，可得：． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 即， ； （3）解：，， ， 去括号得：， 合并同类项得：． 44．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（1） （2）①，；②（答案不唯一） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质． （1）计算，根据结果可得答案； （2）①由恒成立，可得且，进一步可得答案；②由，可令，从而可得答案． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴恒成立， ∴且， 解得：，； ②∵，无论取何值，总有， ∴可以为：（答案不唯一）． 45．（25-26七年级上·福建莆田·期末）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 请回答下列问题： (1)这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； (2)请正确化简，并计算当，时，的值． 【答案】(1)三，去括号时未正确变号 (2)，10 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据解题过程，找出出错的步骤，并依次去括号法则说明错因； （2）先正确化简，再代入求值． 【详解】（1）解：这位同学从第三步开始出现错误，在去后面的括号时，去括号后，应该是，错误的原因是去括号时未正确变号， 故答案为：三，去括号时未正确变号； （2）解： 当，时， 原式 ． 46．（25-26七年级上·吉林长春·期末）阅读材料：我们知道，类似的，若把看作一个整体，则． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看作一个整体，合并的结果为_______； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 0 (3) 【分析】（1）把看作一个整体，原式合并即可得到结果； （2）把看作一个整体，原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （3）由，可得，，分别把看作一个整体，原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； 本题主要考查了合并同类项以及整体代入求值问题，熟练掌握合并同类项法则和整体思想是解本题的关键． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ∴，， ∴， ∴ ． 47．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】以下是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： (1) ； (2) ； (3)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求 ． (4)【拓展提高】已知，求代数式 的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②24 (4) 【分析】本题考查了整式的加减运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把看作一个整体，进行计算，即可作答． （2）理解题意，把看作一个整体，进行计算，即可作答． （3）①根据，把代入进行计算，即可作答． ②根据，把代入计算，即可作答． （4）根据，整理得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： ； （3）解：①∵， 则； ②∵， ∴ ． （4）解：∵， ∴，， 则， ∴ 48．（25-26七年级上·广东河源·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则_____； 我们将作为一个整体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值； (4)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 【答案】(1)2026 (2) (3)11 (4) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入法求代数式的值． （1）根据已知条件求出，再代入所求代数式进行计算即可； （2）把所求式子化成含有的形式，再整体代入进行计算即可； （3）把所求式子化成含有的形式，再整体代入进行计算即可； （4）把代入，求出，再把代入所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：2026； （2）， ， ； （3）， ； （4）当时，代数式的值为m， ， ， 当时， ． 49．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数学中数与形之间也可以互相转化． (1)观察下列图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：___________： (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①___________． ②计算：． 【答案】(1) (2)①2500；②9600 【分析】本题主要考查图形类规律，解题的关键是得到图形的一般规律． （1）根据图形总结一般规律，然后问题即可求解； （2）根据（1）中的结论求解①②即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ….. ∴； 故答案为：； （2）解：①当时，则， ∴； 故答案为：2500； ②当时，则；当时，则； ∴ ． 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读下列材料： 计算时，可列如下竖式： 小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化如下： 所以原式． 根据材料解答下列问题： 已知，． (1)将按x的降幂排列： ； (2)请仿照小明的方法计算：； (3)请写出一个多项式，使其与的和是二次三项式： ． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查整式的加减运算，理解题意，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键． （1）根据降幂排列的定义即可求解； （2）根据题意列出竖式，即可求出答案； （3）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将按x的降幂排列为： （2）解：根据题意可列竖式： 则； （3）解：∵与的和是二次三项式， ∴中一定含有项， ∴可以为：（答案不唯一）． 拔高·压轴破难 题型10 整式加减中的特殊题型压轴练（共10小题） 51．（25-26七年级上·江苏南通·期中）“鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下问题： 【问题引入】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．（结果用含n的式子表示） 【问题解决】 （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【问题拓展】 （5）从1，2，3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中去掉一个整数，从剩下的个整数中任取3 个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求n的值和此时去掉的数的所有可能． 【答案】（1）7；（2）142；（3）种；（4）376种；（5），此时去掉的数可能是3或4或41或42 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键是理解题意． （1）用最大2个数的和减去最小2个数的和再加1即可； （2）用最大3个数的和减去最小3个数的和再加1即可； （3）用最大5个数的和减去最小5个数的和再加1即可； （4）直接代入公式求解即可； （5）先表示出从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞10）这n个整数中任取3个整数之和共有：（种）结果，然后列举法去掉1、2、3等数字会发现少的结果数，列等式求解即可解： 【详解】解：问题引入： （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，则这2个整数之和最小值为：， 最大值为：， 则这2个整数之和共有（种）不同情况， 故答案为：7； （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数， 则这3个整数之和最小值为：，最大值为：， 则这3个整数之和共有不同结果的种数为：（种）， 故答案为：142； （3）归纳总结：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，则这5个整数之和的最小值为：，最大值为， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种； 问题解决： （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券， 则根据前述结论，，（种）， 即这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：376种． 故答案为：376种． 问题拓展： （5）最大：，最小：， 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数之和的结果共有：种， 去掉1：最小为，最大为，少6、7、8三个结果，共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉2：最小为，最大为，少6、7两个结果，共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉3：最小为，最大为，少6一个结果，共有， 解得是整数，符合题意； 去掉4：同理，少7一个结果，共有， 解得，是整数，符合题意； 去掉5：结果并不减少， 共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉41：少一个结果， ∴共有， 解得，符合题意； 去掉42：少一个结果， ∴共有， 解得，符合题意； 去掉43：少两个结果， ∴共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉44：少三个结果， ∴共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 综上，，此时去掉的数可能是3或4或41或42． 52．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【答案】(1) (2) (3)2660 【分析】本题主要考查了数字规律、列代数式、有理数的混合运算等知识点，发现规律是解题的关键． （1）类比前3个等式，写出第四个等式即可； （2）根据（1）归纳规律即可解答； （3）按（2）的规律变形原式，然后整理即可解答． 【详解】（1）解：第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）可归纳第n个等式为． （3）解： ． 53．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是________；第n个三角形数是________． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是________． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为________＝________＋________． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了代数式的规律题，根据题目规律得到连续自然数相加，再根据连续自然数相加的规律得到答案即可； 【详解】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， ，即第6个三角形数是21； ，即第n个三角形数是． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．以此类推，第n幅图为． 故答案为：（1）21，；（2）；（3），，． 54．（2026七年级上·江苏镇江·竞赛）对于整数a，b，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知且为整数，，请用含x的代数式表示y． (3)已知，直接写出a的值． 【答案】(1)10 (2) (3)或15或10 【分析】本题考查新定义运算，化简绝对值，解一元一次方程，注意分情况讨论是解题的关键． （1）先判断是奇数还是偶数，再根据新定义运算； （2）先判断是奇数还是偶数，根据新定义得出，结合且为整数，去绝对值，即可求解； （3）先计算是偶数，再分两种情况：a为负数，a为非负数，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：当，时，，是偶数， ； （2）解：， 且为整数， 为奇数，即是奇数， ， 且为整数， ，， ， ， ， ； （3）解：a是整数， ，是偶数， 是偶数， 分两种情况讨论： 当a为负数时： ， ， 当为负奇数时：为奇数， ， ， 解得，与a为负数矛盾，舍去； 当为负偶数时：为偶数， ， ， 解得，与a为负数矛盾，舍去； 解得； 当a为非负数时： ， ， 当a为非负奇数时：为奇数， ， ， 解得； 当a为非负偶数时：为偶数， ， ， 解得； 综上可知，a的值为或15或10． 55．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 56．（24-25七年级上·北京·期中）1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 【答案】(1)；； (2)64 (3)224 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，用含，的式子表示出其他8个正方形的边长是解题的关键．第（3）问较难，需要有较强的推理能力及计算能力． （1）根据所给图形，得出第3个正方形的边长为第1，2个正方形的边长之和，再依次表示出4，5号正方形的边长即可解决问题． （2）根据所给图形，表示出第6个正方形的面积，再结合即可解决问题． （3）根据所给图形，用含，的代数式表示出完美长方形的周长，并结合，均为正整数，求这个完美长方形的最小周长． 【详解】（1）解：根据图形及标注为1号和2号的正方形边长分别为，， 所以第3个正方形的边长是1号和2号的正方形边长之和为， 所以第4个正方形的边长是2号和3号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的边长是2号和4号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的面积为． 故答案为：；；． （2）解：根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第5个正方形的边长是， 所以第6个正方形的边长是2号和5号的正方形边长之和减去1号的正方形边长为， 所以第6个正方形的面积． 当时，． 所以当时，第6个正方形的面积为64． （3）根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第6个正方形的边长是， 所以第7个正方形的边长是6号正方形的边长减去1号正方形的边长为， 所以第10个正方形的边长是7号正方形的边长减去1号正方形的边长减去3号正方形的边长为， 所以第8个正方形的边长是7号正方形的边长加10号正方形的边长为， 所以第9个正方形的边长是8号正方形的边长加10号正方形的边长为． 因为第5个正方形的边长与第6个正方形的边长之和等于第8个正方形的边长与第9个正方形的边长之和， 所以， 化简得． 因为完美长方形的长为，完美长方形的宽为， 所以完美长方形的周长为． 因为，，均为正整数， 所以，时，完美长方形的周长最小，最小值为． 故答案为：224． 57．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 58．（24-25七年级上·福建泉州·期末）定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) 解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 59．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 【答案】（1），； （2），； （3） ②成立，理由如下： 根据题意可得， 即； 整式，为常数0的“相关整式”， ，， ，， ， ； ②成立； （4） 【分析】本题考查了新定义的理解和应用，整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据新定义，列出等式，即可求出和的值； （2）根据新定义，列出等式，进而求出和的值； （3）根据新定义，列出等式，即可求出成立； （4）根据新定义，列出等式，即可求出的值； 【详解】（1）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：，； 故答案为：， （2）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：， （3）略 （4）根据题意可得， 则， 整式，，为常数0的“相关整式” ， ； 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2026个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)，0，2 (3) 【分析】本题考查了根据绝对值的含义化简分式： （1）将数值代入进去即可求得结果； （2）根据关系式分三种情况即可求得结果； （3）根据一般化研究可得到结果； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 若，则当时，，当时，， ∴若，则， 故答案为：1，，； （2）解：∵，， ∴，，， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 综上的值为，0，2； （3）解：由（1）可得若，则当时，，当时，， ∵，，，……，，这2026个数中有个正数， ∴有个负数， ∴， 故答案为：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $