精品解析：江苏南京市建邺高级中学2026-2027学年第一学期10月月考高一数学试题

2026-2027学年第一学期10月月考 高一数学 2026.10 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考生将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 3. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 5. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，且，则的最小值（ ） A. B. C. D. 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. “方程有一正一负根”的充要条件是“” C. 不等式的解集为 D. 命题“”的否定为“” 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题是假命题，则实数的取值范围是__________. 13. 已知，则的取值范围为______ 14. 对给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质．设集合，且，若C具有孪生性质，则n的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集． （2）当时，方程的两根分别为，，若存在，使成立，求的取值范围； 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 19. 已知过点，且满足 （1）若存在实数，使得不等式成立，求实数t的取值范围. （2）求在上的最小值 （3）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月月考 高一数学 2026.10 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考生将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合A中的一元二次方程得到集合A的元素，再根据并集的定义计算即可. 【详解】由，因式分解得，解得或，因此. 因为，所以. 2. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 3. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 4. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先变形函数后，再利用基本不等式求最小值，即可求. 【详解】， 因为，所以， 当时等号成立，即时，的最小值为2， 所以当时，的最小值为，即. 5. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 6. 已知，且，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则．若，则． 故，A正确； 对于B，若，，满足，则，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，若，，则，， 故，即，D正确． 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. “方程有一正一负根”的充要条件是“” C. 不等式的解集为 D. 命题“”的否定为“” 【答案】BD 【解析】 【分析】分和两种情况结合基本不等式即可判断A选项；方程有一正一负根的充要条件是， 解该不等式即可判断B选项；原不等式可化为，由分式不等式的方法求解可以判断C选项；由全称量词命题的否定可以判断D选项. 【详解】对于A，当时， ，当且仅当时取等号； 当时，有，当且仅当时取等号， 所以只有当时，的最小值才是2，故A错误； 对于B，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，故B正确； 对于C，不等式等价于，即，即， 即为，解得，所以原不等式的解集为，故C错误； 对于D，“”的否定为“”故D正确. 故选：BD 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由原命题的否定是真命题，结合一元二次不等式恒成立可得． 【详解】因为命题是假命题， 所以其否定是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 14. 对给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质．设集合，且，若C具有孪生性质，则n的最小值为________． 【答案】675 【解析】 【分析】先根据定义求出，由孪生性质即交集为空集，建立不等式关系即可求出的取值范围，从而求出n的最小值. 【详解】由题可得，， 若集合C具有孪生性质，则，所以，即， 又，所以，，即n的最小值为675. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用并集运算求解即可； （2）分、讨论，根据可得答案． 【小问1详解】 集合， 若，则集合． 所以； 【小问2详解】 集合， 当集合时，由得时，满足； 当集合时，由即时， 若，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围． 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． 【小问2详解】 若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集． （2）当时，方程的两根分别为，，若存在，使成立，求的取值范围； 【答案】（1）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据取值情况，进行分类讨论，分别求解一次或二次不等式，即可求解； （2）先解得方程的两根，再根据绝对值三角不等式，即可求解. 【小问1详解】 对不等式进行因式分解，可得， 当时，不等式为，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式为，解得，所以不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得或， 所以不等式的解集为或； 当时，因为，解不等式得或， 所以不等式的解集为或； 当时，不等式化为，解不等式得， 所以不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，函数， 方程，即，解方程得，， 所以， 根据绝对值三角不等式，可得， 所以成立，即，解不等式得， 所以的取值范围是. 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1）不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为， 所需总电量为， 因为kW·h， 当且仅当km/h时取等号， 因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地. （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得出所需总电量为，再结合基本不等式即可求解； 设行驶时间为，充电时间为，总时间，结合题意可得，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设行驶时间为，充电时间为，总时间， 则可得，即，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以最少时间为. 19. 已知过点，且满足 （1）若存在实数，使得不等式成立，求实数t的取值范围. （2）求在上的最小值 （3）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件直接列方程求解可得的解析式，然后将问题转化为最值问题即可得解； （2）根据二次函数单调性对分类讨论即可； （3）将条件转化为有两个不相等的正实数根，然后求出的范围，利用韦达定理将所求转化为关于的表达式，利用基本不等式求解可得. 【小问1详解】 由题设可知，得， 因为，所以，解得，， 若存在实数，使得不等式成立，即，所以， 由二次函数性质可知，，因此. 【小问2详解】 的对称轴为 当时，在上的最小值为 当，即，在上的最小值为， 当，即时，在上的最小值为. 综上所述， 【小问3详解】 由得， 函数有两个不相等的不动点、，且、， 即有两个不相等的正实数根、， 即有两个不相等的正实数根、， ， 则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $