精品解析：江苏省如东一中、宿迁一高、徐州中学、项里高中、洋河高中2026-2027学年高一上学期10月月考联考数学试卷

2026~2027学年度第一学期高一年级第一次阶段测试联考试卷 数学 2026.10 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 4.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚.线条、符号等须加黑、加粗. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先确定全集的整数元素，再求集合在中的补集，最后利用含个元素的集合真子集个数公式计算结果. 【详解】由，可得. 又，所以. 含有3个元素，故其真子集个数为. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】由存在量词命题的否定方法， 得命题的否定为. 故选：D. 3. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根， 所以，解得， 所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是. 故选：C. 4. 设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误；作差可得C正确，取可得D错误； 【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误； 对于B，由在上是减函数可得，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：C. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数运算律求解. 【详解】原式=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查指数运算，属于基础题. 6. 已知，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 7. 若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】转化为最值问题求解， 【详解】由题意得在上有解，当时，取最小值， 则，故可取的最小整数值为0， 故选：B 8. 若正实数满足，则的最小值是 A. 12 B. 6 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式以及对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，正实数满足， ， 所以， ， 当且仅当时等号成立. 故选：D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 10. 已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意得， 根据，,，，, 则； 作出Venn图: 则，A正确； 集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确； 由于，C正确； 因为，且，故，D错误， 故选：ABC. 11. 已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案. 【详解】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，集合或，集合，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合并集运算结果可得，运算求解即可. 【详解】因为集合或，集合， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当________时，矩形花坛的面积最小． 【答案】4 【解析】 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 14. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案. 【详解】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算得，即可求解； （2）分和两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【小问1详解】 因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 16. 已知命题方程没有实数根. （1）若是假命题，求实数的取值集合； （2）在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） 选①，不存在实数，使得是的充分而不必要条件.理由如下： 是的充分而不必要条件，则，于是或，无解， 选②，存在实数.，使得是的必要而不充分条件. 【解析】 【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合. （2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 由方程没有实数根，得，解得， 由是假命题，则是真命题， 所以实数的取值集合. 【小问2详解】 由（1）知，，由集合非空，得，解得， 选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解， 所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件. 选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得， 所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是. 17. 如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 （1）求关于的函数表达式 （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】（1） （2）海报长，宽时，用纸量最少. 【解析】 【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 18. 计算下列各式的值： （1）已知，求； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 设 ，则 ，， 原式 ； 【小问2详解】 由，，， 设 ，则 ， 所以 ， 原式 ； 【小问3详解】 由，，，， 原式 ． 19. 已知命题：“，使等式成立”是真命题， （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由二次函数的性质计算在区间上的值域即可求解； （2）根据已知条件可得，讨论，，时集合，再根据包含关系列不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由可得， 因为，所以时，， 当时，， 所以， 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 方程的两根分别为，， ①当即时，， 由可得，解得：， ②当即时，， 由可得，解得：， ③当即时，，此时不符合题意， 综上可得：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期高一年级第一次阶段测试联考试卷 数学 2026.10 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 4.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚.线条、符号等须加黑、加粗. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 7. 若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 8. 若正实数满足，则的最小值是 A. 12 B. 6 C. 16 D. 8 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 10. 已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 11. 已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，集合或，集合，若，则实数的取值范围为______. 13. 如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当________时，矩形花坛的面积最小． 14. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 已知命题方程没有实数根. （1）若是假命题，求实数的取值集合； （2）在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 17. 如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 （1）求关于的函数表达式 （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 18. 计算下列各式的值： （1）已知，求； （2）； （3）. 19. 已知命题：“，使等式成立”是真命题， （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $