奥数思维培优 第3讲 两步应用题·一题多解（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

【人教课标版 · 三年级上册奥数思维培优】 第3讲 两步应用题 · 一题多解 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第3讲 专题 两步应用题——一题多解 适用年级 小学三年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 混合运算的运算顺序（第2讲）；表内乘除法（含整十数乘除口算、多位数乘一位数） 核心方法 先求中间量；分步与综合；一题多解 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 会分析两步应用题的数量关系，正确找出“中间量”，会用分步和综合两种方式解答。 过程与方法 经历“读题—找条件—画图—列式—检验”的过程，尝试从不同角度寻找解法。 思维品质 体会一题多解，学会比较不同解法的思路。 情感应用 能把购物、出行等生活问题转化为两步应用题。 三、情境导入 书店里，小丽买了 2 本故事书（每本 15 元）和 3 本练习本（每本 3 元）。她正要付钱，忽然想：要算出“一共多少钱”，得先知道什么呢？ 想一想：只知道“2本故事书”和“3本练习本”，能直接算出一共多少钱吗？要先算什么？ 悬念：中间那个“先求出来的数”，数学上叫“中间量”。找对了中间量，两步题就迎刃而解。 图1 书店里的两步问题 今天我们就来学习两步应用题，并学会用不同的方法解答。 四、知识导航 图2 两步应用题解题四步法 步骤 做法 例子 读题找条件 找出已知量和问题 2本×15元、3本×3元 找中间量 先求的那个量 故事书总价、练习本总价 列式计算 分步或综合 15×2+3×3=39 检验作答 代入检验，完整作答 答：一共39元 五、易错辨析 常见错误 正确做法 漏掉一个条件 把条件和问题一一对应 中间量找错 先想“求问题需要先知道什么” 忘记单位与作答 每步写单位，最后完整作答 只写一种方法 多想想还有没有别的思路 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从分步与综合、两种思路、购物清单、连续用去、多步总量到一题多解；每例后附一道变式练习。 例1【分步与综合】 题目：一本故事书 15 元，一本练习本 3 元。买 2 本故事书和 3 本练习本，一共要付多少元？ 分析：要求“一共多少元”，要先分别求出故事书和练习本的总价，再相加。 详解： 分步：故事书 15×2=30（元）；练习本 3×3=9（元）。 综合：30+9=39（元），列成综合算式 15×2+3×3=39（元）。 答：一共要付 39 元。 图3 分步与综合 方法点睛：先求两种商品各自的“小总价”（中间量），再相加得大总价。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一盒彩笔 12 元，一本画册 5 元。买 3 盒彩笔和 2 本画册，一共要付多少元？ 解答： 分步：12×3=36（元），5×2=10（元），36+10=46（元）。 综合：12×3+5×2=36+10=46（元）。答：一共 46 元。 点拨：与例1同法：先分别求小总价，再相加。 例2【两种思路】 题目：学校买来 8 盒彩笔，每盒 12 支，发给同学们 36 支。还剩多少支彩笔？ 分析：可以先算一共有多少支，再减去发掉的；也可以先算发掉了多少盒，再算剩下的盒数有多少支。 详解： 方法一：8×12-36=96-36=60（支）。 方法二：36÷12=3（盒），(8-3)×12=5×12=60（支）。 答：还剩 60 支彩笔。 图4 两种思路 方法点睛：方法一从“总数”入手，方法二从“盒数”入手：中间量不同，思路不同，结果相同。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：学校买来 7 盒铅笔，每盒 10 支，发给同学们 25 支。还剩多少支？ 解答： 方法一：7×10-25=70-25=45（支）。 方法二：25÷10不能整除，用方法一更合适。答：还剩 45 支。 点拨：与例2同法：先确定“先求什么”；不能整除时选简单的方法。 例3【购物清单】 题目：妈妈带 50 元去超市，买了一袋大米 28 元，一桶油 16 元。还剩多少元？ 分析：可以先算两样东西一共花掉多少元，再用带的钱减去花掉的钱；也可以一步步减。 详解： 方法一：50-28-16=22-16=6（元）。 方法二：50-(28+16)=50-44=6（元）。 答：还剩 6 元。 图5 购物清单 方法点睛：花掉的总钱数是中间量；带括号的算式先算花掉的钱，更简洁。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：爸爸带 100 元买一件衬衫 35 元、一条裤子 42 元。还剩多少元？ 解答： 100-35-42=65-42=23（元）。答：还剩 23 元。 点拨：与例3同法：先算花掉多少，或用带括号的算式。 例4【连续用去】 题目：一捆电线长 80 米，先剪去 25 米，又剪去 18 米。还剩多少米？ 分析：连续两次用去，一共用去 25+18=43 米，再从 80 米里减去。 详解： 先算一共用去：25+18=43（米）。 再算剩下：80-43=37（米）。 答：还剩 37 米。 图6 连续用去 方法点睛：两次用去的总长度是中间量；也可以写成 80-25-18。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一根绳子长 120 米，先用去 45 米，又用去 38 米。还剩多少米？ 解答： 45+38=83（米），120-83=37（米）。答：还剩 37 米。 点拨：与例4同法：先求一共用去的，再求剩下的。 例5【多步总量】 题目：果园里有桃树 45 棵，梨树比桃树多 12 棵，苹果树比梨树少 8 棵。苹果树有多少棵？ 分析：题目绕了两个弯：要求苹果树，先要知道梨树；要求梨树，用桃树加上多的 12 棵。 详解： 先求梨树：45+12=57（棵）。 再求苹果树：57-8=49（棵）。 答：苹果树有 49 棵。 图7 多步总量 方法点睛：像爬楼梯一样，一步一步往上推：桃树→梨树→苹果树。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：超市运来苹果 60 箱，香蕉比苹果多 15 箱，橘子比香蕉少 10 箱。橘子有多少箱？ 解答： 60+15=75（箱），75-10=65（箱）。答：橘子有 65 箱。 点拨：与例5同法：先求香蕉，再求橘子。 例6【一题多解】 题目：一本故事书 96 页，小华每天看 8 页，看了 3 天。还剩多少页没看？ 分析：方法一：先算已经看了多少页，再用总页数减去；方法二：先算还剩几天没看，再算对应的页数。 详解： 方法一：96-8×3=96-24=72（页）。 方法二：96÷8=12（天），12-3=9（天），9×8=72（页）。 答：还剩 72 页没看。 图8 一题多解 方法点睛：中间量不同：一个是“已看页数”，一个是“剩余天数”；殊途同归。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一本书 80 页，小丽每天看 10 页，看了 4 天。还剩多少页？（用两种方法） 解答： 方法一：80-10×4=80-40=40（页）。 方法二：80÷10=8（天），(8-4)×10=40（页）。答：还剩 40 页。 点拨：与例6同法：分别从“页数”和“天数”两个角度思考。 方法一： 方法二： 七、真题进阶（名校思维题） 真题1【连续销售】（名校思维拓展·三年级适配） 题目：商店有 72 个皮球，卖了 3 天，每天卖 20 个。还剩多少个皮球？ 分析：先算 3 天一共卖了多少个，再从总数里减去。 详解： 3×20=60（个），72-60=12（个）。 答：还剩 12 个皮球。 方法点睛：先求卖出总量（中间量），再求剩余量。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：仓库里有 90 箱牛奶，运走 2 天，每天运 25 箱。还剩多少箱？ 解答： 2×25=50（箱），90-50=40（箱）。答：还剩 40 箱。 点拨：与真题1同法：先求运走总量，再求剩余。 真题2【一题多解】（名校思维拓展·三年级适配） 题目：妈妈买 4 千克苹果，每千克 6 元，付给售货员 30 元。应找回多少元？（用两种方法解答） 分析：方法一：先算买苹果花了多少元，再用付的钱减；方法二：先算 30 元能买几千克，再算多买的钱。 详解： 方法一：30-4×6=30-24=6（元）。 方法二：30÷6=5（千克），(5-4)×6=1×6=6（元）。 答：应找回 6 元。 方法点睛：方法二先算“能买5千克”，找回的就是多算的那 1 千克的钱。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：小明买 5 本练习本，每本 8 角，付给售货员 5 元（50角）。应找回多少角？ 解答： 50-5×8=50-40=10（角）。答：应找回 10 角。 点拨：与真题2同法：先算总价，再算找回的钱。 方法一： 方法二： 八、方法总结表 题型 中间量 列式思路 购物类 各商品的小总价 小总价相加 发放/卖出类 卖出的总量 总量-卖出的量 连续用去类 一共用去的量 总量-用去总量 比较多少类 先求一个中间量 逐级推上去 一题多解 中间量可以不同 殊途同归要检验 九、解题口诀 两步应用题，先找中间量； 读题找条件，一步一步想； 分步看得清，综合写得快； 换种思路解，检验不会错。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一本书 90 页，小明每天看 9 页，看了 4 天。还剩多少页？ A2. 商店有 60 个气球，上午卖出 25 个，下午卖出 18 个。还剩多少个？ A3. 王师傅要做 50 个零件，上午做了 2 小时，每小时做 8 个。还剩多少个？ A4. 学校买来 3 箱粉笔，每箱 40 盒。一共买了多少盒？ A5. 小华有 25 张邮票，比小红多 7 张。两人一共有多少张邮票？ B组 能力提升（5题） B6. 果园里有梨树 32 棵，苹果树比梨树多 18 棵。两种树一共有多少棵？ B7. 一辆汽车 4 小时行驶 120 千米。照这样计算，7 小时行驶多少千米？ B8. 学校图书室有故事书 120 本，科技书比故事书少 45 本。图书室一共有多少本书？ B9. 小明买了 3 支钢笔，每支 6 元，付了 20 元。应找回多少元？ B10. 菜市场运来 8 筐白菜，每筐 25 千克，卖出 120 千克。还剩多少千克？ C组 思维挑战（5题） C11. 一箱苹果 40 个，平均分给 5 个小朋友，每人吃了 4 个。箱子里还剩多少个？（用两种方法） C12. 一捆电线长 100 米，先剪去 30 米，又剪去 25 米。还剩多少米？（用两种方法） C13. 商店运来 6 箱汽水，每箱 24 瓶，卖出 80 瓶。还剩多少瓶？ C14. 小明家养了 20 只鸡，鸭的只数比鸡的 2 倍少 8 只。养了多少只鸭？ C15. 一辆客车上有乘客 45 人，到站后下去 12 人，又上来 9 人。现在车上有多少人？ 十一、参考答案与详细解析 A组 基础过关（5题） A1 先算已看的页数：9×4=36（页），再用总页数减去。 A2 先算上午和下午一共卖出多少个，再减。 A3 先算上午做了多少个，再算还剩多少。 A4 每箱40盒，3箱就是3个40盒。 A5 先求小红的邮票数：25-7=18（张），再求两人总数。 B组 能力提升（5题） B6 先求苹果树：32+18=50（棵），再求两种树总数。 B7 先求每小时行多少千米，再求7小时。 B8 先求科技书本数：120-45=75（本），再求总数。 B9 先算3支钢笔的钱：3×6=18（元），再用20元减。 B10 先算8筐一共多少千克，再减去卖出的。 C组 思维挑战（5题） C11 方法一：先算每人还剩几个：(40÷5-4)=4（个），4×5=20（个）；方法二：40-5×4=20（个）。 C12 方法一：100-30-25=45（米）；方法二：100-(30+25)=45（米）。 C13 先算6箱一共多少瓶，再减去卖出的。 C14 鸡的2倍是20×2=40（只），再减去8只。 C15 先下去12人：45-12=33（人），再上来9人。 十二、本讲小结 本讲我们学会了分析两步应用题：先读题找条件，再找“中间量”，然后用分步或综合算式解答，并学会用不同的思路（一题多解）来检验结果。中间量是两步题的“钥匙”，找对了它，再长的题目也能一步步解开。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 漏条件 把条件和问题一一对应 中间量找错 多问自己“先要知道什么” 忘记单位 每步算式写单位 只求出一个数 两步题要算出两个量（中间量 ＋ 最后答案），不能只算到中间量就停下 十四、奥数思维拓展（提优加油站） 说明：本讲主体是两步应用题与一题多解（课标第二单元“解决问题”内容）。下面三道拓展题引入奥数中常见的“移多补少、倒推还原、相差不变”三种思路，计算全部落在表内乘除与100 以内加减范围内，三年级适配、不超纲。 拓展1【和差问题·移多补少】 题目：小明和小红一共有 14 张邮票，小明比小红多 4 张。两人各有多少张？ 分析：用“移多补少”：先把小明多出来的 4 张“拿走”，14 - 4 = 10（张），这时两人一样多，每人 10 ÷ 2 = 5（张）；再把拿走的 4 张还给小明，5 + 4 = 9（张）。 解答：小明 9 张，小红 5 张。 检验：9 + 5 = 14（张），9 - 5 = 4（张），与题意相符。 方法点睛：“移多补少”是和差问题的入门思路——先去掉多出来的，平分，再还回去。 拓展2【倒推还原·逆运算】 题目：一个数加上 6，再乘 2，结果是 20。这个数是多少？ 分析：倒过来想。结果 20 是“乘 2”得到的，所以乘 2 之前是 20 ÷ 2 = 10；10 又是由“加上 6”得到的，所以加 6 之前是 10 - 6 = 4。 解答：这个数是 4。 检验：4 + 6 = 10，10 × 2 = 20，正好。 方法点睛：倒推还原要“从结果往回走”，加与减、乘与除互为逆运算。 拓展3【相差不变·年龄问题】 题目：今年爸爸 35 岁，小明 8 岁。再过 5 年，爸爸比小明大多少岁？ 分析：先算今年的年龄差：35 - 8 = 27（岁）。再过 5 年，爸爸 35 + 5 = 40（岁），小明 8 + 5 = 13（岁），相差 40 - 13 = 27（岁）。 解答：再过 5 年，爸爸比小明大 27 岁。 方法点睛：年龄问题里“你长我也长”，两人的年龄差永远不变，不用逐年去算。 参考答案（拓展） 拓展1：小明 9 张，小红 5 张。　拓展2：4。　拓展3：27 岁。 学习建议：拿到两步题先不要急着列式，先画出数量关系（或像例5那样画“台阶图”），再动手。做完后把答案代回原题检验。下讲预告：第4讲 长度单位·单位换算。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $