第16讲 分数应用题初步 专题讲义-人教版数学三年级上册奥数培优

第16讲 分数应用题初步 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 分数的核心概念 意义：把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 前提：必须是平均分，没有平均分不能用分数表示。 各部分名称：分母表示平均分的总份数，分子表示取的份数，分数线表示平均分。 例：，分母 3 表示平均分成 3 份，分子 2 表示取其中的 2 份。 整体 “1”：一个物体、一个图形、多个物体组成的整体，都可以看作一个整体，用自然数 1 表示，叫做单位 “1”。 2. 分数的大小比较（初步） 同分母分数：分子大的分数大。例： 同分子分数：分母大的分数反而小。例： 3. 简单的分数加减法 同分母分数相加：分母不变，分子相加。例： 同分母分数相减：分母不变，分子相减。例： 1 减几分之几：把 1 写成与减数分母相同的分数，再相减。 例： 4. 分数应用题三大基础题型 （1）求一个数的几分之一是多少 方法：总数 ÷ 分母（平均分成的份数） 原理：几分之一就是把总数平均分成几份，求 1 份是多少。 （2）求一个数的几分之几是多少 方法：总数 ÷ 分母 × 分子 原理：先算 1 份是多少，再算几份是多少。 （3）分数加减法应用题 求一共用去 / 占了几分之几：用加法，把各部分分数相加。 求还剩几分之几：用整体 “1” 减去用去 / 占了的分数。 5. 解题通用步骤 ① 找准单位 “1”（整体），确定是不是平均分； ② 看问题是求几分之几的量，还是求分率； ③ 求具体数量：用总数 ÷ 分母 × 分子； ④ 求分率：根据加减法意义列式计算。 例题讲解 【典型例题 1】求几分之一的量 幼儿园有 18 个皮球，其中是花皮球，花皮球有多少个？ 【分析】求 18 的是多少，就是把 18 平均分成 3 份，求 1 份的数量，用总数除以分母即可。 【详解】 （个） 答：花皮球有 6 个。 【答案】个 【跟踪训练 1】 一根绳子长 24 米，剪去它的，剪去了多少米？ 【分析】求 24 米的，把 24 平均分成 4 份，求 1 份的长度。 【详解】 （米） 答：剪去了 6 米。 【答案】米 【典型例题 2】求几分之几的量 学校图书角有 20 本故事书，其中是童话故事书，童话故事书有多少本？ 【分析】求 20 的是多少，先把 20 平均分成 5 份（除以 5），算出 1 份的数量，再乘 2 得到 2 份的数量。 【详解】 1 份的数量：（本） 2 份的数量：（本） 答：童话故事书有 8 本。 【答案】本 【跟踪训练 2】 三（1）班有 35 名同学，其中是女生，女生有多少名？ 【分析】求 35 的，先除以 7 求 1 份，再乘 3 求 3 份。 【详解】 （名） （名） 答：女生有 15 名。 【答案】名 【典型例题 3】分数加减法应用题 一块菜地，种白菜的占这块地的，种萝卜的占这块地的，其余的种黄瓜。 （1）白菜和萝卜一共占这块地的几分之几？ （2）黄瓜占这块地的几分之几？ 【分析】（1）求一共占几分之几，把白菜和萝卜的分率相加，同分母相加，分母不变分子相加；（2）把整块菜地看作单位 “1”，用 1 减去白菜和萝卜的总分率，得到黄瓜的分率。 【详解】 （1） 答：白菜和萝卜一共占这块地的。 （2） 答：黄瓜占这块地的。 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 3】 小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的。 （1）两天一共看了全书的几分之几？ （2）还剩全书的几分之几没看？ 【分析】（1）两天的分率相加；（2）用 1 减去已经看的分率。 【详解】 （1） 答：两天一共看了全书的。 （2） 答：还剩全书的没看。 【答案】（1）；（2） 【典型例题 4】稍复杂的分数应用 一根彩带长 32 分米，第一次用去它的，第二次用去它的。两次一共用去多少分米？ 【分析】方法一：先分别算出两次用去的长度，再相加；方法二：先算两次一共用去几分之几，再算总长的几分之几是多少。 【详解】 方法一： 第一次用去：（分米） 第二次用去：（分米） 一共用去：（分米） 方法二： 一共用去几分之几： 一共用去长度：（分米） 答：两次一共用去 16 分米。 【答案】分米 【跟踪训练 4】 商店运来 49 箱水果，其中苹果占，梨占，剩下的是橘子。橘子有多少箱？ 【分析】先算橘子占几分之几，再算橘子的箱数；或者先算苹果和梨的箱数，再用总数减。 【详解】 橘子占： 橘子箱数：（箱） 答：橘子有 14 箱。 【答案】箱 巩固练习 1．一根绳子长10米，第一次用去，第二次用去，两次一共用去这根绳子的几分之几？还剩下多少？ 【答案】； 【分析】把绳子总长度看作整体1，先通过分数加法算出两次用去的总分率，再用减法算出剩下的分率。 【详解】 答：两次一共用去这根绳子的，还剩下。 2．大佛村挖一条暖气管道、两天共挖了这条管道的，第一天挖了这条管道的，第二天挖了这条管道的几分之几？ 【答案】 【分析】已知两天挖的总占比和第一天挖的占比，求第二天的占比，用减法计算，同分母分数相减时分母不变，分子相减。 【详解】 答：第二天挖了这条管道的。 3．育才小学组织四五六年级学生去种树，五年级种了全部树苗的，六年级种了全部树苗的。四年级种了全部树苗的几分之几？ 【答案】 【分析】根据题意，把全部树苗的总量看作整体“1”，平均分成8份，五年级种了其中3份，即全部树苗的，六年级种了其中4份，即全部树苗的，用1分别减去五年级、六年级种的树苗占全部树苗的分率，即可求出四年级种了全部树苗的几分之几。 【详解】 答：四年级种了全部树苗的。 4．工人叔叔要给学校足球场铺草坪。第一天铺了足球场的，第二天铺了足球场的。两天一共铺了足球场的几分之几？还剩几分之几没铺？ 【答案】； 【分析】将两天各自铺的分率相加即可求出两天一共铺了足球场的几分之几；把整个足球场的总面积看作一个整体，求剩余未铺的分率，用1减去已铺的总分率即可解答。 【详解】 答：两天一共铺了足球场的，还剩没铺。 5．佩戴运动手环可以很好地帮助我们记录步数和监测心率。文文每天的运动目标是完成行走“10000步”。某天上午文文完成了运动目标的，下午完成运动目标的。文文还剩运动目标的几分之几没有完成？ 【答案】 【分析】把全天运动目标看作单位“1”，先算出上午和下午一共完成的分率，再用单位“1”减去已完成的分率，就能得到未完成的分率。 【详解】 答：文文还有运动目标的没有完成。 6．红红3天看了一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，第三天看了全书的几分之几？ 【答案】 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，用单位“1”依次减去第一天、第二天看的占全书的分率，即可求出第三天看的占全书的几分之几。 【详解】 答：第三天看了全书的。 7．亮亮带了一瓶水去爬山，第一次他喝了这瓶水的，第二次喝的和第一次喝的同样多，剩下的水占这瓶水的几分之几？ 【答案】 【分析】把这瓶水的总量看作单位“1”，先计算两次一共喝掉的分率，再用单位1减去喝掉的分率，得到剩下的分率。 【详解】1－（＋） ＝1－ ＝ 答：剩下的水占这瓶水的。 8．明明看一本书，第二天看了全书的，比第一天多看了全书的，还剩下全书的几分之几没有看？ 【答案】 【分析】把这本书的总页数看作1，要计算剩下没看的占比，需先用减去，得到第一天看的占全书的分率，再用1减去两天看的分率之和。 【详解】 答：还剩下全书的没有看。 9．修路工人要维修一段公路，第一周维修了这段公路的，第二周维修的与第一周一样多。还剩下这段公路的几分之几没修？ 【答案】 【分析】已知第二周维修的与第一周一样多，那么第二周维修了这段公路的，把整段公路看作整体1，用1依次减去第一周用的几分之几和第二周用的几分之几，就能得到未修的占比。 【详解】1－－ ＝－ ＝ 答：还剩下这段公路的没修。 10．李叔叔有一根40米长的绳子，用去它的，还剩几分之几？还剩多少米？ 【答案】还剩，还剩32米。 【分析】把绳子总长度看作整体，用去 ，还剩1－。相当于把绳子平均分成5份，用去了其中的1份。还剩的份数＝5份－1份。求还剩的米数，先求一份有多少米，用总米数除以5份，再用一份的米数乘剩下的份数。 【详解】1－；一份：40÷5＝8（米）；还剩：8×4＝32（米）。 11．丽丽参加“校园读书月”活动，决定读完一本名人传记。第一天，她利用课余时间读了这本书的，第二天她专注地读了这本书的。请问丽丽两天一共读了这本书的几分之几？还剩下几分之几需要继续读完？ 【答案】 ；。 【分析】求两天一共读了几分之几，就是把第一天读的和第二天读的分数相加，同分母分数相加，分母不变，分子相加。 把整本书看作整体“1”，求剩下几分之几，用整体“1”减去两天一共读的部分。 【详解】 答：丽丽两天一共读了这本书的，还剩下需要继续读完。 12．雕版印刷是在木板上雕刻图文进行印刷的技术，它已被列入第一批国家级非物质文化遗产名录。张叔叔要在木板上雕刻《论语》这本书，第一个月雕刻了这本书的，第二个月与第一个月雕刻的同样多。张叔叔两个月一共雕刻了这本书的几分之几？还剩下这本书的几分之几没有雕刻？ 【答案】； 【分析】已知第一个月雕刻的占比，第二个月和第一个月雕刻量相同，说明第二月也雕刻了这本书的，先通过加法计算两个月一共雕刻的占比；再把这本书的总量看作单位“1”，用减法计算剩下未雕刻的占比。 【详解】 答：张叔叔两个月一共雕刻了这本书的，还剩下这本书的没有雕刻。 真题训练 13．做墙报时，用了一张彩纸的剪花边、数字和五角星，其中剪花边用了这张纸的，剪数字用了这张纸的，剪五角星用了这张彩纸的几分之几？ 【答案】 【分析】已知剪花边、数字和五角星一共用了这张彩纸的，以及剪花边、剪数字各自的占比，求剪五角星的占比，用总用去的占比减去另外两部分的占比即可。 【详解】－－ ＝－ ＝ 答：剪五角星用了这张彩纸的。 14．学校举办“我是消防小达人”绘画比赛，其中，一等奖的作品数量占参赛作品总数的，二等奖的作品数量占参赛作品总数的，其余的作品获得的是三等奖。三等奖的作品数量占参赛作品总数的几分之几？ 【答案】 【分析】把绘画比赛作品数量看成整体“1”，用整体“1”减去一等奖和二等奖所占的分率，即可求出三等奖的作品数量占参赛作品总数的几分之几。 【详解】1－－ ＝－ ＝ 答：三等奖的作品数量占参赛作品总数的。 15．五一假期期间，新华书店的读书者中，小学生人数占，初中生人数占，其余为高中生。小学生和初中生人数共占几分之几？高中生人数占几分之几？ 【答案】； 【分析】把五一假期期间新华书店的读书者总人数看作单位“1”。求小学生和初中生人数共占几分之几，就是把小学生人数占的分率与初中生人数占的分率相加，即。求高中生人数占几分之几，就是用单位“1”减去小学生和初中生人数共占的分率。 【详解】 答：小学生和初中生人数共占，高中生人数占。 16．小红一家自驾游，上午行驶了全程的后，下午又行驶了全程的。还剩全程的几分之几到达目的地？ 【答案】 【分析】此题把全程看作单位“1”，上午行驶了全程的，下午行驶了全程的，要求还剩全程的几分之几，用单位“1”依次减去再减去即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 答：还剩全程的到达目的地。 17．小军外出研学带了一瓶水，上午喝了这瓶水的，下午比上午少喝了这瓶水的。这瓶水少了几分之几？这瓶水喝完了吗？ 【答案】；没喝完 【分析】根据题意，上午喝了这瓶水的，下午比上午少喝了这瓶水的，先用－求出下午喝了这瓶水的几分之几，再加上上午喝的即可求出这瓶水少了几分之几；如果小于1则没喝完，等于1则喝完了。 【详解】下午喝了这瓶水的： 这瓶水少了： 答：这瓶水少了，没喝完。 18．一个正方形花圃，其中种玫瑰花，种郁金香，其余种月季花。郁金香和玫瑰花的种植区域一共占了这块花圃的几分之几？ 【答案】 【分析】根据题意，把这块正方形花圃看作一个整体，平均分成9份，其中1份为。玫瑰花占这块花圃的，郁金香占这块花圃的，把这两部分合起来，用加法计算。根据同分母分数加法的计算法则，分母不变，只把分子相加。 【详解】 答：郁金香和玫瑰花的种植区域一共占了这块花圃的。 19．一根20米长的彩带，第一次用去5米，第二次用去这根彩带的，现在还剩多少米？ 【答案】 7米 【分析】根据题意，彩带总长为米，第一次用去米，第二次用去这根彩带的，需要先求出第二次用去的具体长度。求一个数的几分之几是多少，可以用除法求出一份的数量，再用乘法求出几份的数量。最后用总长度依次减去第一次和第二次用去的长度，即可求出剩下的长度。 【详解】 （米） （米） 答：现在还剩米。 20．一本故事书，小丽第一天看了全书的，第二天看的和第一天同样多，两天一共看了全书的几分之几？ 【答案】 【分析】求两天一共看了全书的几分之几，将两天看的分数相加，就能求出结果。 【详解】 答：两天一共看了全书的。 21．一瓶果汁，妈妈喝了它的，爸爸比妈妈少喝了这瓶果汁的，爸爸和妈妈一共喝了这瓶果汁的几分之几？ 【答案】 【分析】先根据减法的意义，用妈妈喝的分率减去求出爸爸喝的分率；再根据加法的意义，把妈妈和爸爸喝的分率相加，求出两人一共喝了这瓶果汁的几分之几。 【详解】 答：爸爸和妈妈一共喝了这瓶果汁的。 22．一块巧克力，弟弟吃了它的，哥哥吃了它的，还剩下这块巧克力的几分之几？ 【答案】 【分析】把这块巧克力看作一个整体，是1。将其平均分成8份，每份是它的。用1依次减去弟弟吃的几分之几和哥哥吃的几分之几，就是还剩下这块巧克力的几分之几。 或者用弟弟吃的几分之几加上哥哥吃的几分之几，就是一共吃了巧克力的几分之几。再用1减去一共吃的几分之几，就是还剩下这块巧克力的几分之几。 【详解】1－－ ＝－ ＝ 1－（＋） ＝1－ ＝ 答：还剩下这块巧克力的。 23．家乡的便民超市布局如下：水果区占整个超市的，玩具区占整个超市的，其它区域占整个超市的几分之几？ 【答案】 【分析】根据题意，将整个超市的布局看作一个整体，用1减去水果区占的分率，再减去玩具区占的分率即可解答；同分母分数减法法则，分母不变，分子相减。 【详解】 答：其它区域占整个超市的。 24．中国茶艺注重泡茶的过程和仪式感，不同的茶叶有不同的洗茶方法。乐乐提来一桶水，练习龙井茶的“洗茶”用去这桶水的，练习普洱茶的“洗茶”用去这桶水的。 (1)乐乐练习龙井茶的“洗茶”和练习普洱茶的“洗茶”，一共用去这桶水的几分之几？ (2)练习龙井茶的“洗茶”比练习普洱茶的“洗茶”多用去这桶水的几分之几？ 【答案】(1) (2) 【分析】计算同分母分数加减法时，分母不变，只把分子相加减。 （1）求一共用去这桶水的几分之几，就是把练习龙井茶和普洱茶用去的分率合起来，用加法计算。 （2）求练习龙井茶比练习普洱茶多用去这桶水的几分之几，就是求两个分率的差，用减法计算。 【详解】（1）（1） 答：一共用去这桶水的。 （2）（2） 答：练习龙井茶的“洗茶”比练习普洱茶的“洗茶”多用去这桶水的。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 分数应用题初步 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 分数的核心概念 意义：把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 前提：必须是平均分，没有平均分不能用分数表示。 各部分名称：分母表示平均分的总份数，分子表示取的份数，分数线表示平均分。 例：，分母 3 表示平均分成 3 份，分子 2 表示取其中的 2 份。 整体 “1”：一个物体、一个图形、多个物体组成的整体，都可以看作一个整体，用自然数 1 表示，叫做单位 “1”。 2. 分数的大小比较（初步） 同分母分数：分子大的分数大。例： 同分子分数：分母大的分数反而小。例： 3. 简单的分数加减法 同分母分数相加：分母不变，分子相加。例： 同分母分数相减：分母不变，分子相减。例： 1 减几分之几：把 1 写成与减数分母相同的分数，再相减。 例： 4. 分数应用题三大基础题型 （1）求一个数的几分之一是多少 方法：总数 ÷ 分母（平均分成的份数） 原理：几分之一就是把总数平均分成几份，求 1 份是多少。 （2）求一个数的几分之几是多少 方法：总数 ÷ 分母 × 分子 原理：先算 1 份是多少，再算几份是多少。 （3）分数加减法应用题 求一共用去 / 占了几分之几：用加法，把各部分分数相加。 求还剩几分之几：用整体 “1” 减去用去 / 占了的分数。 5. 解题通用步骤 ① 找准单位 “1”（整体），确定是不是平均分； ② 看问题是求几分之几的量，还是求分率； ③ 求具体数量：用总数 ÷ 分母 × 分子； ④ 求分率：根据加减法意义列式计算。 例题讲解 【典型例题 1】求几分之一的量 幼儿园有 18 个皮球，其中是花皮球，花皮球有多少个？ 【跟踪训练 1】 一根绳子长 24 米，剪去它的，剪去了多少米？ 【典型例题 2】求几分之几的量 学校图书角有 20 本故事书，其中是童话故事书，童话故事书有多少本？ 【跟踪训练 2】 三（1）班有 35 名同学，其中是女生，女生有多少名？ 【典型例题 3】分数加减法应用题 一块菜地，种白菜的占这块地的，种萝卜的占这块地的，其余的种黄瓜。 （1）白菜和萝卜一共占这块地的几分之几？ （2）黄瓜占这块地的几分之几？ 【跟踪训练 3】 小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的。 （1）两天一共看了全书的几分之几？ （2）还剩全书的几分之几没看？ 【典型例题 4】稍复杂的分数应用 一根彩带长 32 分米，第一次用去它的，第二次用去它的。两次一共用去多少分米？ 【跟踪训练 4】 商店运来 49 箱水果，其中苹果占，梨占，剩下的是橘子。橘子有多少箱？ 巩固练习 1．一根绳子长10米，第一次用去，第二次用去，两次一共用去这根绳子的几分之几？还剩下多少？ 2．大佛村挖一条暖气管道、两天共挖了这条管道的，第一天挖了这条管道的，第二天挖了这条管道的几分之几？ 3．育才小学组织四五六年级学生去种树，五年级种了全部树苗的，六年级种了全部树苗的。四年级种了全部树苗的几分之几？ 4．工人叔叔要给学校足球场铺草坪。第一天铺了足球场的，第二天铺了足球场的。两天一共铺了足球场的几分之几？还剩几分之几没铺？ 5．佩戴运动手环可以很好地帮助我们记录步数和监测心率。文文每天的运动目标是完成行走“10000步”。某天上午文文完成了运动目标的，下午完成运动目标的。文文还剩运动目标的几分之几没有完成？ 6．红红3天看了一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，第三天看了全书的几分之几？ 7．亮亮带了一瓶水去爬山，第一次他喝了这瓶水的，第二次喝的和第一次喝的同样多，剩下的水占这瓶水的几分之几？ 8．明明看一本书，第二天看了全书的，比第一天多看了全书的，还剩下全书的几分之几没有看？ 9．修路工人要维修一段公路，第一周维修了这段公路的，第二周维修的与第一周一样多。还剩下这段公路的几分之几没修？ 10．李叔叔有一根40米长的绳子，用去它的，还剩几分之几？还剩多少米？ 11．丽丽参加“校园读书月”活动，决定读完一本名人传记。第一天，她利用课余时间读了这本书的，第二天她专注地读了这本书的。请问丽丽两天一共读了这本书的几分之几？还剩下几分之几需要继续读完？ 12．雕版印刷是在木板上雕刻图文进行印刷的技术，它已被列入第一批国家级非物质文化遗产名录。张叔叔要在木板上雕刻《论语》这本书，第一个月雕刻了这本书的，第二个月与第一个月雕刻的同样多。张叔叔两个月一共雕刻了这本书的几分之几？还剩下这本书的几分之几没有雕刻？ 真题训练 13．做墙报时，用了一张彩纸的剪花边、数字和五角星，其中剪花边用了这张纸的，剪数字用了这张纸的，剪五角星用了这张彩纸的几分之几？ 14．学校举办“我是消防小达人”绘画比赛，其中，一等奖的作品数量占参赛作品总数的，二等奖的作品数量占参赛作品总数的，其余的作品获得的是三等奖。三等奖的作品数量占参赛作品总数的几分之几？ 15．五一假期期间，新华书店的读书者中，小学生人数占，初中生人数占，其余为高中生。小学生和初中生人数共占几分之几？高中生人数占几分之几？ 16．小红一家自驾游，上午行驶了全程的后，下午又行驶了全程的。还剩全程的几分之几到达目的地？ 17．小军外出研学带了一瓶水，上午喝了这瓶水的，下午比上午少喝了这瓶水的。这瓶水少了几分之几？这瓶水喝完了吗？ 18．一个正方形花圃，其中种玫瑰花，种郁金香，其余种月季花。郁金香和玫瑰花的种植区域一共占了这块花圃的几分之几？ 19．一根20米长的彩带，第一次用去5米，第二次用去这根彩带的，现在还剩多少米？ 20．一本故事书，小丽第一天看了全书的，第二天看的和第一天同样多，两天一共看了全书的几分之几？ 21．一瓶果汁，妈妈喝了它的，爸爸比妈妈少喝了这瓶果汁的，爸爸和妈妈一共喝了这瓶果汁的几分之几？ 22．一块巧克力，弟弟吃了它的，哥哥吃了它的，还剩下这块巧克力的几分之几？ 23．家乡的便民超市布局如下：水果区占整个超市的，玩具区占整个超市的，其它区域占整个超市的几分之几？ 24．中国茶艺注重泡茶的过程和仪式感，不同的茶叶有不同的洗茶方法。乐乐提来一桶水，练习龙井茶的“洗茶”用去这桶水的，练习普洱茶的“洗茶”用去这桶水的。 (1)乐乐练习龙井茶的“洗茶”和练习普洱茶的“洗茶”，一共用去这桶水的几分之几？ (2)练习龙井茶的“洗茶”比练习普洱茶的“洗茶”多用去这桶水的几分之几？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $