精品解析：江苏连云港市白塔高级中学2023-2024学年第二学期第二次学情检测高一年级数学试题

白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第二次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（ ） A. 2 B. 5 C. 15 D. 80 【答案】B 【解析】 【详解】一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25， 则该组的频数为． 2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：抽样比是，所以样本容量是． 考点：分层抽样 3. 已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直观图画出斜二测画法，并利用定义求解即可 【详解】菱形中，，， 则菱形的面积为； 所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为. 故选D． 【点睛】本题考查斜二画面法的定义，属于基础题 4. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设正方体的边长为，则，解得．所以其外接球的半径，则体积，故选C 5. 甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数、极差及中位数的定义依次求解即可比较． 【详解】， ，故甲、乙的平均数相同， 甲、乙的极差分别为，，故不同， 甲、乙的中位数分别为，，故不同， 故选：． 6. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可． 解：∵， ∴ = =，． 故选B． 7. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ） A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再计算其表面积即可. 【详解】四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥， 如图所示： 因为，所以圆台下底面面积， 又因为，，所以，， 所以圆台的侧面积. 圆锥的侧面积. 所以几何体的表面积为. 故选：A 8. 在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】C 【解析】 【详解】如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝． ∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM， ∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角． ∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2， ∴∠CMA＝90°，故选C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面的基本性质、平行线、异面直线及反证思想判断各项正误. 【详解】A：两条相互平行的直线可确定一个平面，故正确； B：由平行线性质，平行于同一直线的两直线平行，故正确； C：平行线也没有公共点，但不是异面直线，故错误； D：若两条直线都垂直于同一个平面，这两条直线平行，与异面直线矛盾，故正确 故选：ABD 10. 如图，在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, 分别为侧棱，的中点，下列结论正确的有（ ） A. ∥平面 B. 平面∥平面 C. 直线与直线所成角的大小为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，由∥易证∥平面；证明出∥平面，结合∥平面可知平面∥平面；利用边长关系结合勾股定理证明. 【详解】对于选项A，连接，显然为的中点， 又为的中点，所以平面， 平面，所以∥平面，选项A正确； 对于选项B，由分别为侧棱的中点，得∥， 又底面为正方形，所以∥，同理可得∥平面, 又由选项得∥平面，， 所以平面∥平面，选项B正确； 对于选项C，因为∥， 所以（或补角）为直线与直线所成的角， 又因为所有棱长都相等，所以， 故直线与直线所成角的大小为，选项C不正确； 对于选项D，因底面为正方形，所以, 又所有棱长都相等，所以，故， 又∥，所以，选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查空间平行关系垂直关系的判断，难度一般.解答时要注意图中的几何关系，根据线面平行、面面平行及线面垂直等的判定定理判断. 11. 如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项根据正方体的性质判断；B选项根据面面平行的判定定理和性质定理判断；C选项根据基本事实得到平面截正方体的截面为，然后求面积；D选项根据点和点与平面的位置判断. 【详解】 A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错； B选项：取中点，连接，，因为，，分别为，，中点， 所以，，又平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面，故B正确； C选项：连接，，因为为的中点，所以，所以平面截正方体的截面为，， 故C正确； D选项：连接交于点，延长交的延长线于点， 因为为的中点，所以，，又，所以， 即为的三等分点，不是的中点，所以点和点到平面的距离不相等，故D错. 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是样本容量为200的频率直方图.根据样本的频率直方图估计，样本数据落在内的频率约为____.  【答案】0.76 【解析】 【详解】数据落在内的频率为. 13. 如图所示，已知平面平面，，垂足为，，垂足为，直线,，则直线与直线的位置关系是_________. 【答案】平行. 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理，分别证明平面，平面；再由线面垂直的性质，即可得出. 【详解】∵平面平面，， 又，. 同理. 又,平面. ，. 又，， 平面，. 故答案为平行 【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 14. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图所示，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，.打印所用原料密度为.不考虑损耗，制作该模型所需原料的质量为_____g. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，四棱锥的底面积为， 点到平面的距离为，则此四棱锥的体积为. 长方体的体积， 则该模型的体积为. 故该模型的质量为. 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数据的平均数，方差.求: （1）的平均数和方差; （2）的平均数和方差. 【答案】（1）60； （2）平均数和方差分别是78和0.24. 【解析】 【小问1详解】 设的平均数为，方差为， 而， 且 . 【小问2详解】 设的平均数是，方差为， ∵， ∴ ， 因为， 所以 = 16. 在中，内角所对的边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，结合即可求得的大小； （2）利用余弦定理结合已知条件列方程，解方程求得的值，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得，所以， 因为，所以，可得：， 又因为，所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 因为，所以，可得， 所以，即，解得：， 所以. 17. 如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB． （1）求证：平面AMB//平面DNC； （2）若MC⊥CB，求证：BC⊥AC． 【答案】（1） 证明：因为MB//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC． 因为AMND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC． 又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC． （2） 证明：因为AMND是矩形，所以AM⊥MN． 因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND， 所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC． 因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC， 因为AC面AMC，所以BC⊥AC． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定可证MB//面DNC、MA//面DNC，再用面面平行的判定证结论； （2）由面面垂直的性质得AM⊥平面MBCN，再由线面垂直的性质、判定证BC⊥面AMC，最后由线面垂直的性质证线线垂直即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）设，若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域； （2）由已知条件求得，利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】（1） ， ，，则， 所以函数在上的值域为； （2）， ，则，所以，， 因此，. 19. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧棱底面，且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）连接交于点，连接. 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为中点，而是的中点，∴. 又平面平面， ∴平面· （2） （3）.·· 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线和线面平行的判定定理即可. （2）取的中点，由平行关系可知是异面直线与所成角；利用线面垂直的判定和性质可证得，由长度关系求得即可； （3）由线面角定义可知所求角为，由长度关系求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在三棱柱中，取的中点，连接. ∵在三棱柱中，是的中点，∴四边形为平行四边形. ∴，∴四边形为平行四边形. ∴. ∴是异面直线与所成角（或其补角）. ∵底面是等腰直角三角形，是的中点， ∴，∴. ∵侧棱平面，平面，∴. 又∵，平面 ∴平面，又∵平面，∴. 在中，，. 在中，. 在中，. 则异面直线与所成角的余弦值. 【小问3详解】 由（2）知平面， ∴是直线与平面所成角. 在中，. 在中，. 直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第二次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（ ） A. 2 B. 5 C. 15 D. 80 2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 3. 已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为 A. B. C. D. 4. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 A. B. C. D. 5. 甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 都不相同 6. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. B. C. 3 D. 7. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ） A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 8. 在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 10. 如图，在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, 分别为侧棱，的中点，下列结论正确的有（ ） A. ∥平面 B. 平面∥平面 C. 直线与直线所成角的大小为 D. 11. 如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是样本容量为200的频率直方图.根据样本的频率直方图估计，样本数据落在内的频率约为____.  13. 如图所示，已知平面平面，，垂足为，，垂足为，直线,，则直线与直线的位置关系是_________. 14. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图所示，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，.打印所用原料密度为.不考虑损耗，制作该模型所需原料的质量为_____g. 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数据的平均数，方差.求: （1）的平均数和方差; （2）的平均数和方差. 16. 在中，内角所对的边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB． （1）求证：平面AMB//平面DNC； （2）若MC⊥CB，求证：BC⊥AC． 18. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）设，若，求的值. 19. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧棱底面，且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $