精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年度第二学期3月学情检测高一数学试题

江苏省赣榆高级中学2025—2026学年度第二学期3月学情检测 高一数学试题 一、单选题（共8题，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，在上的投影数量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知点为所在平面内一点，且，则（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段的延长线上 C. 点在线段的反向延长线上 D. 点在射线上 8. 已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题（共3题，共15分） 12. 设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 13. 若，，并且，，且，则的值为______. 14. 如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 16. 已知函数． （1）化简； （2）已知，都是锐角，，，求的值． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，求线段的长度. 18. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． （1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； （2）求四边形面积的最大值． 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省赣榆高级中学2025—2026学年度第二学期3月学情检测 高一数学试题 一、单选题（共8题，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得，则“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的条件结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得结果. 【详解】因为向量、为单位向量，且， 则，所以， 故， 又因为，故，即、的夹角为. 4. 已知，在上的投影数量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义可求得的值. 【详解】由题意可知在上的投影的数量为， 又因为，故. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 又因为， 联立，解得. 可得 . 6. 若，则三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边题设条件即可求解. 【详解】若，则由余弦定理得， 整理得，即， 所以三角形的形状为直角三角形. 故选：A 7. 已知点为所在平面内一点，且，则（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段的延长线上 C. 点在线段的反向延长线上 D. 点在射线上 【答案】D 【解析】 【分析】将已知向量等式变形，得到点相对于点的位置向量与方向向量共线且同向，从而判断点在射线上. 【详解】由，得，所以， 所以点在射线上． 故选：D. 8. 已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设出几何图形，确定给定向量的位置，结合给定条件得到，再对的取值进行讨论，求解最值即可. 【详解】设，，，所以， 因为，所以，即， 因为与的夹角为，所以， 因为，，， 所以，故， 如图，取中点，作，作，连接， 因为，所以，故，， 由向量中线定理得， 所以， 故， ， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 故， 由可得， 故 ， 即，解得，故， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上， 由题意得，而， 当且仅当时，， 此时， 由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等， 在直角三角形中，所以，故， 代入数据得，解得， 此时，即的最小值是， 当时，，此时的终点不在， 通过平移，使其终点到达，同时设起点为， 此时三点共线，所以， 所以， 由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等， 在直角三角形中，所以，故， 代入数据得，解得， 此时，即的最小值是， 综上，的最小值是，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是作出图形，利用给定条件得到，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的最值即可． 二、多选题（共3题，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义，举反例可判断A；利用周期公式可判断B；利用复合函数的单调性法则可判断C；利用三角函数对称中心的求法可判断D. 【详解】函数可化为，据此分析各选项： A：取，则：， ， 由于，因此不是偶函数，A选项错误； B：正弦型函数的最小正周期为，B选项正确； C：当时，令，， 由于在上单调递增， 且在上单调递增，故C选项正确； D：令，解得， 当时，，即的一个对称中心为，故D选项正确. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系判断AB，根据诱导公式、二倍角的余弦公式及余弦函数的单调性判断C，根据数量积的运算律及数量积定义判断D. 【详解】因为，而， 所以，故，故A正确； 由A知，，所以，故B错误； ，若成立，只需成立，即，所以只需， 即，而，，故成立，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用条件，得，再对选项AB逐一取值判断，即可得出选项AB的正误；对于选项CD，利用两向量相等的坐标表示，得到和，再适当的构角变形化简即可判断选项CD的正误. 【详解】因为，，是单位圆上的三点， 所以，，， 由，可得，即， 选项A，当时，，所以，又，可得，选项A正确； 选项B，当时，，则，由，可得，选项B正确； 选项C，由， 可得， ， 由，可得，则， 则，，则，选项C正确； 选项D，，D显然错误； 故选：ABC. 三、填空题（共3题，共15分） 12. 设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】将三点共线转化为两向量共线，利用坐标求解即可. 【详解】由三点共线， 得和共线, 即得，解得. 13. 若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 14. 如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】①先利用向量的数量积公式及向量线性运算，由题可知：，由，可得，代入相应数据即可求得的值；②由①可得，则设，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值. 【详解】①， 又，， 则：，且 原式， 解得 ； ② 设， 当时，有最小值，为 故答案为：①， ② . 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1）60； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式求解； （2）利用向量的平方等于向量模长的平方，求新向量的模长. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知函数． （1）化简； （2）已知，都是锐角，，，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可； （2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 由题意，根据诱导公式得： 函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足. 【小问2详解】 因为锐角，已知，所以， 因为，都是锐角，所以， 又因为，所以在第二象限， 即，所以. 所以， 将数据代入得：. 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，求线段的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得； （2）余弦定理代入，然后解关于的方程； （3）由向量的线性运算求出的表达式，然后求模. 【小问1详解】 由， 得. 【小问2详解】 由余弦定理， 因，可得， 即，解得或（舍去）， 所以. 【小问3详解】 由，，， ， ， 所以. 18. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． （1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； （2）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）建系见解析，点，点 （2） 【解析】 【分析】（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标； （2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【小问1详解】 如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为． 【小问2详解】 ，， 四边形的面积 ， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为． 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可. （2）解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值. （3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可. 【小问1详解】 ， ， 为锐角，， 解法一： . 取的中点为，， . 解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系， ， ， ，， ， . 故小问1答案为：. 【小问2详解】 解法一：由题意知： ， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法三： 设， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故小问答案为： 【小问3详解】 解法一：由题意知： 令，则原式 当且仅当即，等号成立，的最小值为 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系 三点共线 ， ， ， ， ， . 解法三：由题意知： ， ， ， 下同解法二. 故小问答案为：. 【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $