精品解析：江苏省苏州市第五中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

江苏省苏州市第五中学2025-2026学年高一下学期5月月考 数学试题 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和模长公式计算可得. 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故选：D. 2. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，化简后即可求解. 【详解】在中，， 因此可得 ，， 将其代入已知条件 ， 因为是三角形内角，，所以， 又是三角形内角，故， 所以此三角形是直角三角形. 3. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由数量积的几何意义求投影向量可得. 【详解】因为，，所以， 且， 所以向量在向量上的投影向量为. 4. 已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得， 继而求得母线长. 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆 ，即， ， ，， 故选：A． 5. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可. 【详解】以所在平面作为下底面还原， 则重合，重合，还原成如图正方体: 对于A，由图可得异面不平行，故A错误； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图可得异面不平行，故D错误. 6. 在中，，，，点为的中点，为上的点，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共线可得，再由数量积的定义可得. 【详解】因为点为的中点，所以， 由，且共线， 所以，， . 7. 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 8. 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果． 【详解】因为，所以， 又，则，化简得， 由正弦定理得， 因为， 所以，整理得， 又，，所以或， 若，即，不满足条件，则，即， 因为为的平分线，所以， 因为，所以， 在中，① 又因为，， 所以， 即， 化简得② ①代入②得，解得，（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理， 所以． 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值为6 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，，则，根据复数的运算依次判断ABC，根据复数的几何意义判断D. 【详解】设，，，则 对于A，，， 所以，故A正确； 对于B，当时，，， 此时，故B错误； 对于C，，， 故不一定成立，故C错误； 对于D，表示点在复平面内以为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， 所以的最大值为，故D正确； 10. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 【答案】AD 【解析】 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【解析】 【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD； 方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可. 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可： 由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】把平方，利用向量的运算法则可得答案. 【详解】由于 ， ，  均为单位向量，故 ， ， . 给定 ，对两边取模的平方得： 代入 ，得： ， 解得： ，. 故答案为： 13. 若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径， 因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，. 所以，球的表面积为. 14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． （1）求证：平面； （2）试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【答案】（1）证明：连接， 正方体底面是正方形，是底面中心， 故是中点，是中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面． （2）取中点，连接，是中点，是中点， 故是中位线，， 平面，平面， 平面． 由（1）知，平面， 平面平面， 故平面平面， 故是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）找平面内一条直线与平行，连接，利用中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理证明； （2）需要在平面内找到两条相交直线都平行于平面，已知平面，再在上取中点 F，证明平面，，由面面平行判定定理证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 17. 已知，， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的周期性和单调性结合整体思想即可得解； （2）根据求得角，设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，再利用正弦定理求得，再根据三角形的内角关系及三角函数求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 解： ， 所以函数的最小正周期， 令，则， 所以函数单调递增区间为； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 又，则， 所以，所以， 设边上的高为， 则，所以， 因为， 所以， ， 则 ， 因为，所以， 故， 所以当，即时，， 所以， 即边上的高的最大值为. 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2） 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解； （2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解； （3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. 【小问3详解】 由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市第五中学2025-2026学年高一下学期5月月考 数学试题 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 3. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，点为的中点，为上的点，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最大值为6 10. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 13. 若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． （1）求证：平面； （2）试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 17. 已知，， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值. 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $