1.2.1&1.2.2命题与量词、全称量词命题与存在量词命题讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.1命题与量词 1.2.2全称量词与存在量词命题的否定 一、知识点 1.命题的概念 1）概念：一般地，在数学，我们把用语言、符号或式子表达的，可判断真假的陈述句叫做命题. ①数学中的定理、定义、公理、推论、公式等，得到过充分证明，的都是命题，且是真命题. ②有一种语句在数学或其他科学中经常出现，但目前不能确定真假，随着科学的发展总能确定其真假，所以仍然将其视为命题. 2.命题的分类及构成 1）命题的分类 命题中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句为假命题. ①判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等； ②一个命题不是真命题就是假命题，不能是模棱两可的； ③判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在型语句进行讨论研究. 2）命题的构成 本章命题的形式一般为“若，则”. 通常我们把这种形式的命题中的称为命题条件，称为命题结论. ①如果命题不是基本形式，可以先转化为基本形式，“若，则”，再研究其他问题； ②含有大前提的命题改写时，大前提保持不变，仍为改写后命题的大前提，不可放到条件中； ③改写前后，命题的真假不能发生变化，即要等价转化. 3.全称量词与全称量词命题 1）全称量词与全称量词命题的概念 一般的，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，称为全称量词命题.因此，全称量词命题就是形如“对集合中的所有元素，”的命题，可简记为，. ①全称量词命题是陈述某集合所有元素都有某种性质的命题； ②一个全称量词命题可以包含多个变量； ③在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略，在判断某命题是否为全称量词命题时要特别注意. 2）全称量词命题真假的判断 ①要判定全称量词命题“，”是真命题，必须对集合中每个元素，证明成立； ②要判定全称量词命题“，”为假命题，只需举出一个反例，即在集合中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 4.存在量词与存在量词命题 1）存在量词与存在量词命题的概念 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事情的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示.含有存在量词命题的命题，称为存在量词命题.因此，存在量词命题就是形如“存在集合中的元素，”的命题，可简记为，“，”. ①存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题； ②一个存在量词命题可以包含多个变量； ③如果一个命题含有存在量词，不管包含的范围有多大，都是存在量词命题. 2）存在量词命题真假的判断 ①要判断存在量词命题“，”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可； ②要判断存在量词命题“，”是假命题，需对集合中每个元素，证明都不成立. 5.命题的否定 1）定义 一般地。对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作，读作“非”或“的否定”. 2）真假判断 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命题，反之亦然. 从集合角度理解“非”即集合运算“补集”； 6.含有量词命题的否定 1）全称量词的否定 一般地，全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”. 2）存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“，”的否定是全称量词命题“，”. 二、题型训练 1.命题的判断 例1.下列语句是命题的个数为（ ） ①空集是任何集合的真子集；②；③；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A. B. C. D. 练习： 1.下列语句中是命题的是（ ） A.两个质数的和是质数吗？ B. C. D.梯形是不是平面图形呢？ 2.以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ 　） A. B. C. D. 3.在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A. B. C. D. 4.下列语句中：①；②；③有一个根为；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A. ①②③ B.①④⑤ C.②③⑥ D.①③ 5.下列语句是命题的是（    ） A.二次函数的图象太美啦！ B.这是一棵大树 C.求证： D.比大 2.命题真假的判断 例2.下列命题是真命题的是（ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 练习： 1.下列命题中，属于真命题的是（ ） A.各边相等的多边形是正多边形 B.矩形的对角线互相垂直 C.三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分 D.对顶角相等 2.下列语句是命题的有_______，其中是假命题的有_______.（只填序号） ①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线；③若为有理数，则，也都是有理数；④. A. B. C. D. 3.下列语句为真命题的是（　　） A. B. 四条边都相等的四边形为矩形 C. D.今天是星期天 4.将下列命题改写为“若，则”的形式，并判断真假． （1）当时，有； （2）实数的平方是非负实数； （3）能被整除的数既能被整除也能被整除． 5.判断下列语句是否是命题，并说明理由． （1）是有理数； （2）； （3）梯形是不是平面图形呢？ （4）一个数的算术平方根一定是负数． 6.下列命题：①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是____. 3.全称量词命题与存在量词命题的理解 例3.[福建三明2026高一月考]下列命题是全称量词命题的是（ ） A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是 C.至少有一个整数是质数 D.有些实数满足 例4.下列语句是存在量词命题的是（ ） A.整数是和的倍数 B.存在整数，使得能被整除 C.若，则 D. ， 练习： 1.下列命题中，全称量词命题的个数为（ ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二（1）班绝大多数同学是团员 A. B. C. D. 2.下列语句是存在量词命题的是（ ） A.整数是和的倍数 B.存在整数，使得能被整除 C.若，则 D. ， 3.（多选）下列命题是“，”的表述方法的是（ ） A.有一个，使得成立 B.对有些，使得成立 C.任选一个，都有成立 D.至少有一个，使得成立 4.下列命题中，是全称量词命题的是_______，是存在量词命题的是_______. （1）凸多边形的外角和等于； （2）有些实数，能使； （3）不相交的两条直线是平行直线； （4）有些三角形不是直角三角形； （5）自然数的平方是正数； （6）矩形难道不是平行四边形？ 5.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. （1）凸多边形的外角和等于； （2）矩形的对角线不相等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）有些实数，能使； （5）方程有整数解. 6.将“”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A. ，，都有 B. ，，都有 C. ，，都有 D. ，，都有 7.用量词“”表达下列命题： （1）实数都能写成小数形式； （2）凸边形（，）的外角和等于； （3）任意一个实数乘都等于它的相反数． 4. 全称量词命题与存在量词命题的真假 例5.[广西多校2026高一期中]下列是全称量词命题，且为真命题的是（ ） A. ，， B. ， C.自然数都大于零 D.分数是有理数 例6.[辽宁大连2026高一月考]下列命题中是真命题的是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ， 练习： 1.以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数，使 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使 2.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ） A.对任意的，，都有 B.菱形的两条对角线相等 C. ， D.所有的等边三角形都相似 3.（多选）下列命题是真命题的是（ ） A. ， B.存在一个四边形表示平行四边形 C.在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点 D. ， 4.（多选）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A.该命题是全称量词命题 B.该命题是存在量词命题 C.该命题是真命题 D.该命题是假命题 5.下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（     ） A.，， B.菱形的两条对角线相等 C.， D.一次函数的图象是直线 6.对于命题：①任意，都有；②任意，都有；③存在，；④存在，，使，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号) 7.用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． （1）对任意实数，方程有实根； （2）存在实数，使得； 8.下列命题的否定是真命题的是（     ） A.， B.菱形都是平行四边形 C.，一元二次方程没有实数根 D.平面四边形，其内角和等于 9.（多选）下列结论中正确的是（    ） A.，能被整除是真命题 B.，不能被整除是真命题 C.，不能被整除是真命题 D.，能被整除是真命题 10.判断下列命题的真假. （1）每一条线段的长度都能用正有理数来表示； （2）至少有一个直角三角形不是等腰三角形； （3）存在一个实数，使得方程成立； （4），； （5），，. 5.含有量词命题的否定 例7.写出下列命题的否定，并判断真假： （1）不论取何实数，方程必有实数根； （2）所有末位数字是或的整数都能被整除； （3）某些梯形的对角线互相平分； （4）被整除的数能被整除. 例8.“，是奇数”的否定是（ ） A. ，不是奇数 B. ，不是奇数 C. ，不是奇数 D. ，是奇数 例9.[广西南宁2026高一期中]命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定是（ ） A.存在一个实数，它的绝对值不是正数 B.存在无数个实数，它的绝对值表示正数 C.任意一个实数，它的绝对值都是正数 D.任意一个实数，它的绝对值都不是正数 练习： 1.[江西多校2026高一期中]命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.（多选）下列说法正确的是（ ） A.若，，则， B.若，，，则，， C.，为真命题 D.，为真命题 3.[辽宁沈阳2026高一联考]已知命题，，则命题的否定为______. 4.命题“，”的否定是_______. 5.命题“，一元二次方程有实根”的否定是（ ） A. ，一元二次方程没有实根 B. ，一元二次方程没有实根 C. ，一元二次方程没有实根 D. ，一元二次方程没有实根 6.已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7.命题“全等三角形的面积都相等”的否定是_______. 8.存在量词命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9.“，，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D.以上都不对 10.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11.命题“，使得”的否定是_______. 12.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定. （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）三个连续整数的乘积是的倍数； （3）三角形不都是中心对称图形； （4）一元二次方程不总有实数根. 13.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B.所有正方形都是矩形 C. ， D.至少有一个实数，使 14.命题“若，则或”的否定是_______. 15.若命题，，则______. 16.命题“，”的否定是（    ） A.， B.， C.， D.， 17.命题“，”的否定是（   ） A.， B.， C.， D.， 18.已知命题某班所有的男生都爱踢足球，则命题的否定是（    ） A.某班至多有一个男生爱踢足球 B.某班至少有一个男生不爱踢足球 C.某班所有的男生都不爱踢足球 D.某班所有的女生都爱踢足球 19.已知命题，，，则为（    ） A. ，， B.，， C.，， D.，， 20.写出下列命题的否定： （1）正方形的四边相等； （2）能被整除的整数，末位数字都是； （3）有的三角形是直角三角形； （4）至少存在一个实数，使； （5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分． 6.根据命题的真假求参数值或取值范围 例10.[贵州贵阳2025高一联考]已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为，则集合（ ） A. B. C. D. 例11.[山东省实验中学2026高一期中]已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 练习： 1.[辽宁铁岭2026高一期中]若命题“，”，则使命题为假命题的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.[山西平遥中学2025高一段考]已知命题，，命题，. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且仅有一个是真命，求实数的取值范围. 3.若一次函数的图象恒过第三象限，则实数的取值范围为_______. 4.已知命题，，若为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.命题：存在，使得，若命题为假命题，求实数的取值范围. 6.已知集合，，且. （1）若命题“，”是真命题，求的取值范围； （2）若命题 “，”是真命题，求的取值范围． 7.已知，：“，”，：“，”. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 8.已知命题：，；命题：， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围. 9.命题：，成立；命题：，成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为假命题，求实数的取值范围； （3）若命题，至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1命题与量词 1.2.2全称量词与存在量词命题的否定 一、知识点 1.命题的概念 1）概念：一般地，在数学，我们把用语言、符号或式子表达的，可判断真假的陈述句叫做命题. ①数学中的定理、定义、公理、推论、公式等，得到过充分证明，的都是命题，且是真命题. ②有一种语句在数学或其他科学中经常出现，但目前不能确定真假，随着科学的发展总能确定其真假，所以仍然将其视为命题. 2.命题的分类及构成 1）命题的分类 命题中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句为假命题. ①判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等； ②一个命题不是真命题就是假命题，不能是模棱两可的； ③判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在型语句进行讨论研究. 2）命题的构成 本章命题的形式一般为“若，则”. 通常我们把这种形式的命题中的称为命题条件，称为命题结论. ①如果命题不是基本形式，可以先转化为基本形式，“若，则”，再研究其他问题； ②含有大前提的命题改写时，大前提保持不变，仍为改写后命题的大前提，不可放到条件中； ③改写前后，命题的真假不能发生变化，即要等价转化. 3.全称量词与全称量词命题 1）全称量词与全称量词命题的概念 一般的，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，称为全称量词命题.因此，全称量词命题就是形如“对集合中的所有元素，”的命题，可简记为，. ①全称量词命题是陈述某集合所有元素都有某种性质的命题； ②一个全称量词命题可以包含多个变量； ③在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略，在判断某命题是否为全称量词命题时要特别注意. 2）全称量词命题真假的判断 ①要判定全称量词命题“，”是真命题，必须对集合中每个元素，证明成立； ②要判定全称量词命题“，”为假命题，只需举出一个反例，即在集合中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 4.存在量词与存在量词命题 1）存在量词与存在量词命题的概念 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事情的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示.含有存在量词命题的命题，称为存在量词命题.因此，存在量词命题就是形如“存在集合中的元素，”的命题，可简记为，“，”. ①存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题； ②一个存在量词命题可以包含多个变量； ③如果一个命题含有存在量词，不管包含的范围有多大，都是存在量词命题. 2）存在量词命题真假的判断 ①要判断存在量词命题“，”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可； ②要判断存在量词命题“，”是假命题，需对集合中每个元素，证明都不成立. 5.命题的否定 1）定义 一般地。对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作，读作“非”或“的否定”. 2）真假判断 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命题，反之亦然. 从集合角度理解“非”即集合运算“补集”； 6.含有量词命题的否定 1）全称量词的否定 一般地，全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”. 2）存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“，”的否定是全称量词命题“，”. 二、题型训练 1.命题的判断 例1.下列语句是命题的个数为（ ） ①空集是任何集合的真子集；②；③；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为能够判断真假的陈述句为命题，所以只有①符合定义，故选A. 练习： 1.下列语句中是命题的是（ ） A.两个质数的和是质数吗？ B. C. D.梯形是不是平面图形呢？ 【答案】B 【解析】 A，D中语句是疑问句，不是命题；C中语句不能判断真假，不是命题，故选B. 2.以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 3.在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. 4.下列语句中：①；②；③有一个根为；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A. ①②③ B.①④⑤ C.②③⑥ D.①③ 【答案】D 【解析】 命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 5.下列语句是命题的是（    ） A.二次函数的图象太美啦！ B.这是一棵大树 C.求证： D.比大 【答案】D 【解析】 能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，比大显然不成立，是假命题， 故选：D 2.命题真假的判断 例2.下列命题是真命题的是（ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 对于A，如图，四边形中，，，，但对角线互相垂直，所以A为假命题； 对于B，菱形的对角线互相垂直且平分，所以B为假命题； 对于C，等腰梯形的对角线相等，所以C为假命题； 对于D，根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以D为真命题，故选D. 练习： 1.下列命题中，属于真命题的是（ ） A.各边相等的多边形是正多边形 B.矩形的对角线互相垂直 C.三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分 D.对顶角相等 【答案】D 【解析】 各边相等的多边形可以是菱形，菱形不是正多边形，故A不正确；矩形的对角线相等但不垂直，故B不正确；三角形的中位线把三角形分成面积比为的两部分，故C不正确；对角线相等，故D正确，故选D. 2.下列语句是命题的有_______，其中是假命题的有_______.（只填序号） ①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线；③若为有理数，则，也都是有理数；④. A. B. C. D. 【答案】③ ③ 【解析】 ①②不是陈述句，则不是命题；③是命题，且是假命题；④不能判断真假，则不是命题. 3.下列语句为真命题的是（　　） A. B. 四条边都相等的四边形为矩形 C. D.今天是星期天 【答案】C 【解析】 对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C 4.将下列命题改写为“若，则”的形式，并判断真假． （1）当时，有； （2）实数的平方是非负实数； （3）能被整除的数既能被整除也能被整除． 【答案】（1）若，则，是假命题； （2）若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题； （3）若一个数能被整除，则它既能被整除也能被整除，是真命题. 【解析】 （1）若，则，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被整除，则它既能被整除也能被整除， 若一个数能被整除，即为该数的一个因数，由， 则，也为该数的因数，故该命题正确. 5.判断下列语句是否是命题，并说明理由． （1）是有理数； （2）； （3）梯形是不是平面图形呢？ （4）一个数的算术平方根一定是负数． 【答案】答案见解析 【解析】 （1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 6.下列命题：①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是____. 【答案】 【解析】 对于①中，相等的角不一定是对顶角，所以①不正确； 对于②中，例如，，满足，此时，所以②不正确； 对于③中，由，可得，所以③不正确， 所以假命题的个数为个. 故答案为：. 3.全称量词命题与存在量词命题的理解 例3.[福建三明2026高一月考]下列命题是全称量词命题的是（ ） A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是 C.至少有一个整数是质数 D.有些实数满足 【答案】B 【解析】 选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误. 故选B. 例4.下列语句是存在量词命题的是（ ） A.整数是和的倍数 B.存在整数，使得能被整除 C.若，则 D. ， 【答案】B 【解析】 对于A，不能判断真假，不是命题； 对于B，命题：存在整数，使得能被整除，含有存在量词，故B是存在量词命题； 对于C，是“若则”式命题，不是存在量词命题； 对于D，是全称量词命题.故选B. 练习： 1.下列命题中，全称量词命题的个数为（ ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二（1）班绝大多数同学是团员 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ①②是全称量词命题，③是存在量词命题，④“高二（1）班绝大多数同学是团员”，即“高二（1）班有的同学不是团员”，是存在量词命题. 2.下列语句是存在量词命题的是（ ） A.整数是和的倍数 B.存在整数，使得能被整除 C.若，则 D. ， 【答案】B 【解析】 A.不能判断真假，不是命题，B.命题：存在整数，使得能被整除，含有存在量词，故B是存在量词命题；C.是“若，则”式命题，不是存在量词命题；D.是全称量词命题，故选B. 3.（多选）下列命题是“，”的表述方法的是（ ） A.有一个，使得成立 B.对有些，使得成立 C.任选一个，都有成立 D.至少有一个，使得成立 【答案】ABD 【解析】 只有C选项是全称量词命题，错误，故选ABD. 4.下列命题中，是全称量词命题的是_______，是存在量词命题的是_______. （1）凸多边形的外角和等于； （2）有些实数，能使； （3）不相交的两条直线是平行直线； （4）有些三角形不是直角三角形； （5）自然数的平方是正数； （6）矩形难道不是平行四边形？ 【答案】（1）（3）（5） （2）（4） 【解析】 （1）可以改写为“所有凸多边形的外交和等于”，因此是全称量词命题； （2）含有存在量词“有些”，故是存在量词命题； （3）可以改写为“所有不相交的两条直线都是平行直线”，因此是全称量词命题； （4）含有存在量词“有些”，故是存在量词命题； （5）因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以（5）含有全称量词，顾伟全称量词命题； （6）不是命题. 5.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. （1）凸多边形的外角和等于； （2）矩形的对角线不相等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）有些实数，能使； （5）方程有整数解. 【答案】（1）全称量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题；（5）存在量词命题 【解析】 （1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数，，使成立．故为存在量词命题． 6.将“”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A. ，，都有 B. ，，都有 C. ，，都有 D. ，，都有 【答案】A 【解析】 因对于任意实数，，不等式都成立，于是将“”改写成全称命题为：“，，都有”. 故选：A 7.用量词“”表达下列命题： （1）实数都能写成小数形式； （2）凸边形（，）的外角和等于； （3）任意一个实数乘都等于它的相反数． 【答案】答案见解析 【解析】 （1），能写成小数形式； （2），的外角和等于； （3），. 4. 全称量词命题与存在量词命题的真假 例5.[广西多校2026高一期中]下列是全称量词命题，且为真命题的是（ ） A. ，， B. ， C.自然数都大于零 D.分数是有理数 【答案】D 【解析】 对于A：该命题是全称量词命题，当时，，即该命题是假命题，故A不符合题意； 对于B：，，其中“”是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故B不符合题意； 对于C：该命题是全称量词命题，是自然数，但并不大于，即该命题是假命题，故C不符合题意； 对于D：“分数是有理数”可理解为“任意一个分数都是有理数”，是全称量词命题.因为有理数是整数和分数的统称，所以分数一定是有理数，该命题为真命题，故D符号题意.故选D. 例6.[辽宁大连2026高一月考]下列命题中是真命题的是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ， 【答案】D 【解析】 对于A：最小的自然数为，不可能使，故A错误； 对于B：由，解得，故B错误； 对于C：判别式，因此分成无实数解，故C错误； 对于D：因为，所以，故D正确；故选D. 练习： 1.以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数，使 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使 【答案】B 【解析】 A，C为全称量词命题，B，D为存在量词命题，B选项中当时，正确，故选B. 2.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ） A.对任意的，，都有 B.菱形的两条对角线相等 C. ， D.所有的等边三角形都相似 【答案】D 【解析】 A中含有全称量词“任意的”，因为，所以是假命题.B在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题，故选D. 3.（多选）下列命题是真命题的是（ ） A. ， B.存在一个四边形表示平行四边形 C.在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点 D. ， 【答案】ABC 【解析】 因为，且，所以A是真命题；梯形不是平行四边形，所以B是真命题；由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，C是真命题；因为，，所以D是假命题. 4.（多选）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A.该命题是全称量词命题 B.该命题是存在量词命题 C.该命题是真命题 D.该命题是假命题 【答案】BC 【解析】 ，是存在量词命题， A选项错误；B选项正确； 时，成立， 命题为真命题，即C选项正确；D选项错误. 故选：BC 5.下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（     ） A.，， B.菱形的两条对角线相等 C.， D.一次函数的图象是直线 【答案】D 【解析】 对于A，，，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误； 对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误， 对于C，是存在量词命题，故C错误； 对于D，既是全称量词命题也是真命题，故D正确； 故选：D. 6.对于命题：①任意，都有；②任意，都有；③存在，；④存在，，使，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号) 【答案】② 【解析】 只有①②是全称量词命题，当时，，所以①是假命题． 故答案为：② 7.用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． （1）对任意实数，方程有实根； （2）存在实数，使得； 【答案】答案见解析 【解析】 （1），方程有实根； 由， 此时方程无实根， 故该命题为假命题． （2），使得； 由， ，无实数解， 故不存在，使得， 因此该命题为假命题． 8.下列命题的否定是真命题的是（     ） A.， B.菱形都是平行四边形 C.，一元二次方程没有实数根 D.平面四边形，其内角和等于 【答案】C 【解析】 对于A，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确； 对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确； 对于C，，一元二次方程没有实根， 其否定为：，一元二次方程有实根， 由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确； 对于D，平面四边形，其内角和等于为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确； 故选：C. 9.（多选）下列结论中正确的是（    ） A.，能被整除是真命题 B.，不能被整除是真命题 C.，不能被整除是真命题 D.，能被整除是真命题 【答案】CD 【解析】 当时，不能被整除，当时，能被整除， 所以A、B错误，C、D正确． 故选：CD. 10.判断下列命题的真假. （1）每一条线段的长度都能用正有理数来表示； （2）至少有一个直角三角形不是等腰三角形； （3）存在一个实数，使得方程成立； （4），； （5），，. 【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）真命题；（5）真命题 【解析】 （1）是假命题，如边长为的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示． （2）是真命题，如有一个内角为的直角三角形就不是等腰三角形． （3）是假命题，方程的判别式，故方程无实数根． （4）是真命题，或，都能使成立． （5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立． 5.含有量词命题的否定 例7.写出下列命题的否定，并判断真假： （1）不论取何实数，方程必有实数根； （2）所有末位数字是或的整数都能被整除； （3）某些梯形的对角线互相平分； （4）被整除的数能被整除. 【答案】答案见解析 【解析】 （1）这一命题可以表述为对所有的实数，方程都有实数根，其否定是存在实数，使得方程没有实数根. 当，即时，该方程无实根，因此是真命题； （2）命题的否定：存在末位数字是或的整数不能被整除，是假命题； （3）命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题； （4）命题的否定：存在一个数能被整除，但不能被整除，是假命题. 例8.“，是奇数”的否定是（ ） A. ，不是奇数 B. ，不是奇数 C. ，不是奇数 D. ，是奇数 【答案】A 【解析】 “，是奇数”的否定是“，不是奇数”，故选A. 例9.[广西南宁2026高一期中]命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定是（ ） A.存在一个实数，它的绝对值不是正数 B.存在无数个实数，它的绝对值表示正数 C.任意一个实数，它的绝对值都是正数 D.任意一个实数，它的绝对值都不是正数 【答案】D 【解析】 命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定是“任意一个实数，它的绝对值都不是正数”，故选D. 练习： 1.[江西多校2026高一期中]命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 命题“，”的否定是“，”，故选A. 2.（多选）下列说法正确的是（ ） A.若，，则， B.若，，，则，， C.，为真命题 D.，为真命题 【答案】BC 【解析】 对于A，命题，的否定是，，故A错误； 对于B，命题，，的否定是，，，故B正确； 对于C，，，例如时成立，故C正确； 对于D，，，当时，，因此对任意不成立，故D错误，故选BC. 3.[辽宁沈阳2026高一联考]已知命题，，则命题的否定为______. 【答案】， 【解析】 由存在量词命题的否定是全称量词命题可知，命题的否定为：，. 4.命题“，”的否定是_______. 【答案】，或 【解析】 因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“，”的否定为“，或” 5.命题“，一元二次方程有实根”的否定是（ ） A. ，一元二次方程没有实根 B. ，一元二次方程没有实根 C. ，一元二次方程没有实根 D. ，一元二次方程没有实根 【答案】C 【解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“，一元二次方程有实根”的否定是“，一元二次方程没有实根”，故选C. 6.已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 全称量词命题的否定为存在量词命题，若命题，，则，. 7.命题“全等三角形的面积都相等”的否定是_______. 【答案】存在两个全等三角形的面积不相等 【解析】 全等三角形的面积都相等是一个全称量词命题，所以它的否定为“存在两个全等三角形的面积不相等”. 8.存在量词命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 由存在量词命题的否定的定义可得A正确. 9.“，，”的否定是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D.以上都不对 【答案】C 【解析】 这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，故该命题的否定为，， 10.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 由词语“有些”知该命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，可知选C. 11.命题“，使得”的否定是_______. 【答案】， 【解析】 存在量词命题的否定为全称量词命题，故该命题的否定为，. 12.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定. （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）三个连续整数的乘积是的倍数； （3）三角形不都是中心对称图形； （4）一元二次方程不总有实数根. 【答案】答案见解析 【解析】 （1）任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定：存在一个平行四边形，其对角线不互相平分； （2）任意三个连续整数的乘积是的倍数，命题的否定：存在三个连续整数的乘积不是的倍数； （3）存在三角形不是中心对称图形.命题的否定：任意三角形都是中心对称图形； （4）存在一元二次方程没有实数根，命题的否定：一元二次方程总有实数根 13.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B.所有正方形都是矩形 C. ， D.至少有一个实数，使 【答案】C 【解析】 命题的否定是全称量词命题，即该命题为存在量词命题，故排除A，B.再根据命题的否定为真命题，得该命题为假命题，又D为真命题，故选C. 14.命题“若，则或”的否定是_______. 【答案】若，则且 【解析】 由本题中是条件，因此在写命题的否定时该条件不变，只否定结论，并且“或”的否定是“且”，因此该命题的否定是“若，则且”. 15.若命题，，则______. 【答案】，或 【解析】 ，或 16.命题“，”的否定是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题“，”的否定是“，”． 故选：B． 17.命题“，”的否定是（   ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】 命题“，”的否定是“，”. 故选：C 18.已知命题某班所有的男生都爱踢足球，则命题的否定是（    ） A.某班至多有一个男生爱踢足球 B.某班至少有一个男生不爱踢足球 C.某班所有的男生都不爱踢足球 D.某班所有的女生都爱踢足球 【答案】B 【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球． 故选：B． 19.已知命题，，，则为（    ） A. ，， B.，， C.，， D.，， 【答案】B 【解析】 因为，，， 所以，，. 故选：B. 20.写出下列命题的否定： （1）正方形的四边相等； （2）能被整除的整数，末位数字都是； （3）有的三角形是直角三角形； （4）至少存在一个实数，使； （5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分． 【答案】（1）存在一个正方形，它的四边不都相等；（2）能被整除的整数，末位数字不都是；（3）所有的三角形都不是直角三角形；（4），；（5）任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分． 【解析】 （1）正方形的四边相等的否定为存在一个正方形，它的四边不都相等； （2）能被整除的整数，末位数字都是的否定为能被整除的整数，末位数字不都是； （3）有的三角形是直角三角形的否定为所有的三角形都不是直角三角形； （4）至少存在一个实数，使的否定为，； （5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分的否定为任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分． 6.根据命题的真假求参数值或取值范围 例10.[贵州贵阳2025高一联考]已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可得方程有解，所以，即，解得，所以，故选A. 例11.[山东省实验中学2026高一期中]已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为，所以，当时，，解得；当时，则，不等式组无解，综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题“，使得”是真命题，所以，假设，当时，满足，由（1）知此时.当时，，此时或，解得或，综上，当时，或，故命题“，使得”是真命题是，实数的取值范围为. 练习： 1.[辽宁铁岭2026高一期中]若命题“，”，则使命题为假命题的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，为真命题，故需满足，解得，故使得命题为假命题的实数的取值范围为，故选C. 2.[山西平遥中学2025高一段考]已知命题，，命题，. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且仅有一个是真命，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为命题为真命题，即，为真命题，即，，因为，所以，所以实数的取值范围为； （2）当命题，为真命题时，因为，所以，故为真命题时，； 当命题，为真命题时，若，则，符合要求；若，则，即，此时且符合要求.综上为真命题时，. 所以当真假时，应满足，即；当假真是，应满足，即. 因此命题和有且仅有一个是真命题时，实数的取值范围为. 3.若一次函数的图象恒过第三象限，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 一次函数的图象恒过点，若恒过第三象限，则. 4.已知命题，，若为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 为假命题，为真命题，即，，即，，则，实数的取值范围是，故选D. 5.命题：存在，使得，若命题为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 命题为假命题，则任意的，都有为真命题，由此可得，即，所以实数的取值范围是. 6.已知集合，，且. （1）若命题“，”是真命题，求的取值范围； （2）若命题 “，”是真命题，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）命题“，”是真命题，故，， 所以，解得， 故的取值范围是. （2）由于命题为真命题，则， 因为，所以，所以， 当时，一定有， 要想满足，则要满足，解得， 故时，， 故的取值范围为. 7.已知，：“，”，：“，”. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）解：已知：“，”，则：“，”， 若为真命题，则， 在区间上，当时，有最小值， 所以实数的取值范围为. （2）解：若为真命题，则， 在区间上，当时，有最大值， ； 若为假命题，则为真命题， 已知：“，”， 则：“，”， ，解得或， 令，则其对称轴为， 当时，，需， 当时，，为任意实数均成立， 或， 综上，实数的取值范围为. 8.已知命题：，；命题：， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）解：因为命题：，， 若命题为真命题，则且， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. （2）解：因为命题：，；命题：，， 则：，，：，， 若命题与均为假命题，则和都是真命题， 由是真命题，得或，解得：， 由是真命题，得或，解得：， 联立，得， 所以实数的取值范围为. 9.命题：，成立；命题：，成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为假命题，求实数的取值范围； （3）若命题，至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）若命题为真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （2）若命题为假命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则或， 解得， 故命题与命题中至少有一个为真命题， 则或， 所以实数的取值范围是. 20 学科网（北京）股份有限公司 $