1.2.1 命题与量词&1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦命题与量词、全称与存在量词命题的否定核心知识点，以命题定义（陈述句且可判断真假）为起点，通过全称与存在量词的意义构建知识支架，进而学习命题否定的转换规则（量词互换与结论否定）。 以唐诗《相思》情境引入，引导学生从文学语句中辨析命题，培养数学抽象素养。题型设计涵盖判断、真假、否定及应用，结合通性通法与跟踪训练，助力学生用数学思维推理，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.陈述语句　2.判断为真　3.判断为假 知识点二 　全称量词　存在量词　∀x∈M，r（x）　∃x∈M，s（x） 想一想 1.提示：只要找到一个x∈M，r（x）不成立. 2.提示：只要找到一个x∈M，s（x）成立. 知识点三 　存在量词命题　∀x∈M，􀱑p（x）　全称量词命题 自我诊断 1.A　对于A，是全称量词命题，且为真命题，所以A正确； 对于B，是全称量词命题，2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假命题，所以B错误； 对于C，是存在量词命题，所以C错误； 对于D，是存在量词命题，且为假命题，所以D错误.故选A. 2.B　命题“∀x∈[－2，3），x2＜9”的否定是“∃x∈[－2，3），x2≥9”.故选B. 3.∃x∈R，x2＋2x＋3＝0 【典例研析】 【例1】　解：（1）可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题. （2）可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题. （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题. （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题. （5）可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题. 跟踪训练 1.C　①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C. 2.解：（1）∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数. （2）∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解. （3）∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除. 【例2】　解：（1）因为－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题. （2）真命题，如梯形. （3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题. （4）因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2＞0”是假命题. 跟踪训练 1.C　A、B是全称量词命题，排除.C、D是存在量词命题.对于C，存在x＝0使得x2－3x＋＝＞0，故C正确；对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误.故选C. 2.C　∀x∈R，x2≥0，故A正确，C错误；因为02＝0，故B正确；因为12＞0，故D正确.故选C. 【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对任意的实数x，都有x≤1. （2）由于存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”. 跟踪训练 1.D　P：∀x∈N，∈N的否定为∃x0∈N，∉N.故选D. 2.C　 “∀x∈[1，2]，1≤x2≤4”的否定是“∃x∈[1，2]，x2＞4或x2＜1”.故选C. 【例4】　（1）{a｜a＞－1}　（2）D 解析：（1）若“∃x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命题， 则Δ＞0，即4＋4a＞0，解得a＞－1，则实数a的取值范围是{a｜a＞－1}. （2）因为命题p：∀x∈R，x2＋a－1≥0为真命题，则a≥（－x2＋1）对∀x∈R恒成立，所以a≥＝1，即a的取值范围是[1，＋∞）.故选D. 跟踪训练 1.B　因为∀x∈R，x2－a＞0恒成立，所以∀x∈R，x2＞a恒成立，即∀x∈R，a＜（x2）min.因为当x∈R时，（x2）min＝0，所以a＜0.故选B. 2.AC　由于命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则Δ＝22－4（2－a）＝4a－4≥0，解得a≥1.符合条件的为A、C选项.故选A、C. 随堂检测 1.B　对于A，∀x∈R，x3＞0是全称量词命题，不合题意； 对于B，∃x∈Z，x2＞2是存在量词命题，且是真命题，满足题意； 对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意； 对于D，∃x，y∈R，x2＋y2＜0是存在量词命题，是假命题，不合题意.故选B. 2.B　命题p：所有的正方形都是菱形，则命题p的否定为存在一个正方形不是菱形.故选B. 3.D　①，x2－x＋＝≥0，当x＝时等号成立. ①正确. ②④，x＝－1时，x3＋1＝0，②错误，④正确. ③，n＝时，n2＜n，③错误.所以正确的为①④.故选D. 4.{a｜a＞－10}　解析：存在x＜5，使2x＋a＞0，即存在x＜5，使a＞－2x，所以a＞－10. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1　命题与量词 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象）. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（数学抽象）. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（数学抽象）. 　　“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗. 【问题】　（1）在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？ （2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　命题 1.命题：可供真假判断的　　　　　　. 2.真命题：　　　　　　的语句. 3.假命题：　　　　　　的语句. 　　提醒：若一个语句为命题，则需满足两点：①陈述句；②能够判断真假. 知识点二　全称量词与存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　　　　　　的命题称为全称量词命题 含有　　　　　的命题称为存在量词命题 命题形式 “对集合M中的所有元素x，r（x）”，可用符号简记为“　　　　　　” “存在集合M中的元素x， s（x）”，可用符号简记为“　　　　　　　” 【想一想】 1.如何判定全称量词命题为假命题？ 2.如何判定存在量词命题为真命题？ 知识点三　全称量词命题与存在量词命题的否定 q 􀱑q 结论 全称量词命题∀x∈M，q（x） ∃x∈M，􀱑q（x） 全称量词命题的否定是　　　　　　　 存在量词命题∃x∈M，p（x） 　　　　　 存在量词命题的否定是　　　　　　　 　　提醒：命题p与其否定􀱑p，必定是一个真命题一个假命题. 1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，有＝x B.所有的质数都是奇数 C.至少有一个实数x，使x2≤0 D.有的正方形的四条边不相等 2.命题“∀x∈[－2，3），x2＜9”的否定是（　　） A.∀x∈[－2，3），x2≥9 B.∃x∈[－2，3），x2≥9 C.∀x∉[－2，3），x2＜9 D.∃x∈[－2，3），x2＜9 3.选择适当的符号“∀”“∃”表述命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”为　　　　. 题型一｜全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： （1）凸多边形的外角和等于360°； （2）矩形的对角线不相等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）有些实数a，b能使｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜； （5）方程3x－2y＝10有整数解. 尝试解答 通性通法 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略. 【跟踪训练】 1.给出下列命题： ①存在实数x＞1，使x2＞1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数. 其中存在量词命题的个数为（　　） A.1　　 　B.2 C.3 D.4 2.用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题： （1）当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； （2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. 题型二｜全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】　（链接教科书第26页例）判断下列命题的真假： （1）∃x∈Z，x3＜1； （2）存在一个四边形不是平行四边形； （3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P； （4）∀x∈N，x2＞0. 尝试解答 通性通法 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【跟踪训练】 1.下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2－3x＋5＞0 B.任意两个无理数之和仍是无理数 C.∃x∈R，x2－3x＋＞0 D.至少存在两个质数的平方是偶数 2.下列命题中是假命题的是（　　） A.∀x∈R，x2≥0 B.∃x∈R，使x2≤0 C.∃x∈R，使x2＜0 D.∃x∈R，使x2＞0 题型三｜全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】　（链接教科书第30页例1）（1）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　　） A.对任意实数x，都有x＞1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 （2）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是（　　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 尝试解答 通性通法 全称量词命题与存在量词命题的否定的思路 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论； （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【跟踪训练】 1.已知命题P：∀x∈N，∈N，则􀱑P是（　　） A.∃x0∈N，∈N B.∀x0∈N，∉N C.∃x0∉N，∉N D.∃x0∈N，∉N 2.“∀x∈[1，2]，1≤x2≤4”的否定是（　　） A.∀x∉[1，2]，1≤x2≤4 B.∃x∉[1，2]，1≤x2≤4 C.∃x∈[1，2]，x2＞4或x2＜1 D.∃x∈[1，2]，x2＞4且x2＜1 题型四｜全称量词命题与存在量词命题的应用 【例4】　（1）若“∃x∈R，x2＋2x－a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　； （2）已知命题p：∀x∈R，x2＋a－1≥0，若p为真命题，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，1] C.（1，＋∞） D.[1，＋∞） 尝试解答 通性通法 利用含量词的命题的真假求参数的范围的方法 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围，如：∀x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）max；∀x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）min； （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围，如：∃x∈m，a＞f（x）⇔a＞f（x）min；∃x∈m，a＜f（x）⇔a＜f（x）max. 【跟踪训练】 1.若∀x∈R，x2－a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.a＞0　　B.a＜0　　C.a≥0　　D.a≤0 2.〔多选〕已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是（　　） A.1 B.0 C.3 D.－3 1.下列是存在量词命题且是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x3＞0 B.∃x∈Z，x2＞2 C.∀x∈N，x2∈N D.∃x，y∈R，x2＋y2＜0 2.已知命题p：所有的正方形都是菱形，则命题p的否定为（　　） A.所有的菱形都不是正方形 B.存在一个正方形不是菱形 C.所有的正方形都不是菱形 D.存在一个正方形是菱形 3.下列四个命题： ①∀x∈R，x2－x＋≥0；②不存在实数x，使x3＋1＝0；③∀n∈R，n2≥n；④至少有一个实数x，使得x3＋1＝0. 其中真命题的序号是（　　） A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 4.若p：存在x＜5，使2x＋a＞0是真命题，则实数a的取值范围是　　　. 提示：完成课后作业　第一章　1.2　1.2.1　1.2.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $