江苏省泰州中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

江苏省泰州中学2026—2027学年度上学期第一次质量检测 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1．直线经过点，，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4．若直线：与圆：没有公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上皆有可能 5．已知圆：与圆：（）交于，两点，若，则（ ） A． B． C． D． 6．圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，当最大时，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 10．已知直线：与圆：，下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．直线与圆截得弦长的最小值为 C．当时，圆上有且仅有点到直线的距离为 D．是圆上的点，则的最大值为 11．已知圆：，点，则下列说法正确的有（ ） A．圆上有且只有两点到点的距离为 B．圆上存在点，使得 C．若为圆上一动点，则的取值范围为 D．过点可作直线与圆交于两点、，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知方程，若此方程表示圆，则的范围是 ． 13．曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是 ． 14．一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切．若曲线是直线族（）的包络线，则上的点到直线的最小距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线经过点． （1）若与直线：平行，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 16．（15分）在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 17．（15分）已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 18．（17分）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动； （1）求线段中点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹交于、两点，当（为坐标原点）的面积最大时，求直线的方程并求出面积的最大值． （3）若点，且在轨迹上运动，求的取值范围． 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为． （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知，是圆上异于的两点，记，分别为直线，的斜率．若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2026-2027学年度上学期第一次质量检测 高二数学试题参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。 1．【答案】 【考点】直线的倾斜角 【解答】解：根据直线经过点，，可得直线的斜率， 所以直线的倾斜角满足，结合，可得． 2．【答案】 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解答】解：根据题意，易得直线的斜率为， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点， 由点斜式得所求直线方程为． 3．【答案】 【考点】椭圆的标准方程 【解答】解：若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，所以，则， 则椭圆方程为． 4．【答案】 【考点】直线与圆的位置关系 【解答】解：若直线与圆没有公共点，则直线与圆心的距离，即， 又点到圆圆心的距离为，因此点在圆内． 5．【答案】 【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 【解答】解：由题意圆展开可得圆， 圆展开可得， 故直线的方程为， 即注意到恰好是圆的直径， 所以直线经过圆心，所以，解得． 6．【答案】 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为，， 圆心分别为，，半径分别为3和1，故有， ，当且仅当时，等号成立， 7．【答案】 【考点】椭圆的几何特征 【解答】解：由椭圆的方程可得，，，，，连接，， 则，所以当，，三点共线时的值最大， 此时， 又因为，所以， 在△中，由余弦定理可得， 即，可得：， 所以， 8．【答案】 【考点】直线与圆相交的性质 【解答】解：如图， 圆，圆心为点，设线段的中点为， 得， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 即为可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 因此可看作点到直线的距离， 于是点到直线的距离最大值即， 则，即，故正确． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】 【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的焦点三角形 【解答】解：由已知可得长短半轴长及半焦距分别为， 对于，由椭圆的定义，得，故正确； 对于，离心率，故正确； 对于，，而，因此△面积最大值为，故正确； 对于，，，，以线段为直径的圆的方程， 其圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为， 因此以线段为直径的圆与直线相离，故错误． 10．【答案】 【考点】直线与圆的位置关系；圆上的点到直线的距离及其最值；恒过定点的直线；过圆内一点的弦及弦长的最值 【解答】解：中，将直线整理可得，可得直线恒过定点，所以正确； 中，圆，将点代入圆的方程可得， 可得点在圆内，当时，则圆心到直线的距离最大，此时弦长最短， 又因为，圆的半径，所以此时弦长为，所以不正确； 中，当时，则直线的方程为，此时圆到直线的距离，可得，所以圆上恰好有3个点到直线的距离等于，所以正确； 中，因为在圆上，则相当于动点与定点的斜率， 设，整理可得：，可得圆心到直线的距离，解得， 即，，所以的最大值为1，所以不正确． 11．【答案】 【考点】直线与圆的位置关系 【解答】解：对于选项，以点为圆心，半径为1的圆的方程为， 则圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4， ， 圆与圆外切，故圆上有且只有一点到点的距离为1，故错； 对于选项，过点作圆的切线，切点为点，连接，则， ，故当直线与圆相切时，，故对； 对于选项，设点，则， ， 令，即，则直线与圆有公共点， ，，解得，故对； 对于选项，若，设，则， 过点作圆的切线，则切线长为， 由切割线定理可得，解得， ，则， 过点可作直线与圆交于两点、，使得，故对． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 【考点】二元二次方程表示圆的条件 【解答】解：方程，若此方程表示圆，可得．解得． 13．【答案】． 【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 【解答】解：曲线，即．直线过定点， 如图：， 当直线与曲线有两个交点时， 则直线夹在了直线与直线之间， 当直线与曲线相切时，只有一个交点， 则圆心到直线的距离为：， 解得，所以，又， 故直线与曲线有两个交点时，． 14．【答案】． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式 【解答】解：曲线上任一点对应的切线方程为， 将其整理为关于的方程为． 由题意知，一个解对应一条切线，即关于的方程仅有一解， 所以△，整理得， 即曲线的方程为，故上的点到直线的最小距离为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的截距式方程 【解答】解：（1）直线， 则的斜率为，因为与平行，的斜率为 4分 所以的方程，即 6分 （2）若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为， 由，得，故的方程为 8分 若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为， 将代入解析式得，解得，故的方程为 12分 综上，的方程为或 13分 16．【考点】直线的一般式方程与直线的性质；待定系数法求直线方程 【解答】解：（1）△中，已知点，平分线方程为：， 可设点，故线段的中点， 3分 边上中线方程为： 5分 ，求得，故点 7分 （2）设直线的斜率为，则由题意可得， 直线到平分线的角，等于平分线到直线的角 10分 直线的斜率为，平分线的斜率为2 12分 ，求得 14分 故直线的方程为，即 15分 17．【考点】椭圆的几何特征 【解答】解：（1）椭圆满足长轴的长是焦距的2倍， 则，故，椭圆经过点， 4分 则，即，解得， 6分 故椭圆的方程为 7分 （2）设椭圆上的点为，则，又点，， 所以 9分 若，即 时，的最小值为 10分 若，即 时，当时，取最小值为 12分 综上所述，当 时，最短距离为 14分 当 时，最短距离为 15分 18．【考点】轨迹方程 【解答】解：（1）：设点，，， 由中点坐标公式有，，则， 2分 又点，在圆上，将点坐标代入圆方程得： 点的轨迹方程为： 4分 （2）令，则， 当，即时最大值为2 5分 又直线过点，， 到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足 6分 令，则，解得 7分 故直线的方程为：，此时△面积的最大值为2 8分 （3）设点，由于点， 9分 则，令 10分 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程 12分 当直线与圆相切时，取得最大或最小 14分 故有，解得或 16分 所以 17分 19．【考点】直线与圆的位置关系 【解答】解：（1）设圆的标准方程为， 由圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为． 可得：，解得：，， 3分 所以圆的标准方程为 4分 （2）由过的直线被圆截得的弦长为， 可知圆心到直线的距离为 6分 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为 7分 若直线的斜率存在，设直线，即 8分 则有，解得，此时直线 9分 综上，直线的方程为或 10分 （3）由，是圆上异于的两点，记，分别为直线，的斜率． 可得直线的斜率必存在，设直线的方程为，，，，， 由消去得 12分 当△时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或 14分 当时，直线的方程为，过定点（舍去） 15分 当时，直线的方程为，过定点 16分 故当时，直线过定点． 17分 高二数学试题参考答案 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省泰州中学2026-2027学年度上学期第一次质量检测 高二数学试题 (考试时间：120分钟，总分150分) 命题人：展胤审题人：周花香 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项符合题目要求。 1.直线1经过点A(-1,0),B1,23),则直线1的倾斜角为() A.君 B. C.2 3 D.5 2.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（) A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0 3.若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,3)，c=2,则该椭圆的标准方程为() A.号+1 1 c.号+号-1D.号+51 4.若直线1：x+y=1与圆O:x2+y2=1没有公共点，则点M(-m,-m与圆o的位置关系是() A.点M在圆O上B.点M在圆O外C.点M在圆O内D.以上皆有可能 5.己知圆C:x2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)+(y-4)2=r2(r>0)交于A,B两点，若|AB=2,则r= () A.2 B.√5 C.3 D.10 6.圆：x2+y+2+-9=0和圆：x2+y-4by-1+4b2=0有三条公切线，若a∈R,b∈R,且 心=0，则号+的最小值为() A.1 B.3 C.4 D.5 7已知8，B分别为椭圆行+兰1的左、右焦点，P为椭圆上一动点，尽关于直线3的对 称点为M,E关于直线PE的对称点为N,当MN最大时，则△EPE的面积为() A.3 B.√6 C.26 D.23 3 3 8.已知圆C:(x-4)2+y=4,A(x,),B(x,)是圆上的两个动点，且|AB=2V3,则 |x-+1|+x2-y2+1的最大值为() 高二数学试题第1页（共4页） A.10-22 B.5W2 +1 C.5+√2 D.10+2√2 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设椭圆C:女+二-1的左、右焦点分别为R,R,P是椭圆c上的动点，则下列说法中正确 43 的是() A.PF+PE=4 B.椭圆c的离心率e=号 C.△PRE面积的最大值为√3 D.以线段￡E为直径的圆与直线x+y-2=0相切 10.已知直线1：x+y-2k-1=0与圆C:(x-3)2+y2=8,下列说法正确的是() A.直线1过定点(2,1) B.直线1与圆c截得弦长的最小值为√6 C.当k=-1时，圆C上有且仅有3点到直线1的距离为√2 D.m0是园c上的点，则的最大值为 +1 11.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=16,点P(-1,-1),则下列说法正确的有() A.圆C上有且只有两点到点P的距离为1 B.圆c上存在点Q,使得m∠CPQ C.若Q为圆C上一动点，则Po.PC的取值范围为[5,45] D.过点P可作直线1与圆C交于两点M、N,使得PM=3PN 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知方程x2+y2-2x-4y+=0,若此方程表示圆，则m的范围是 13.曲线y=V4-x2+1与直线y=-2k+5有两个交点时，实数k的取值范围是 14.一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点， 都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线C是直线族-1)x-2y+22+2=0t∈R) 的包络线，则C上的点到直线x+y=4的最小距离为 高二数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知直线1经过点A(2,3). (1)若1与直线1，：x+2y+4=0平行，求1的方程； (2)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的方程. 16.(15分)在△ABC中，顶点A的坐标为(3,3)，∠C的平分线所在直线的方程为1：2x-y+1=0, 且边AC上的中线所在直线的方程为1：5.x+y-6=0. (1)求点C的坐标； (2)求边BC所在直线的一般式方程. 17.5分)已知椭圆。+1(a>b>0满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点(V3,孕). (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点Pt,0)t>0)的最短距离. 高二数学试题第3页（共4页） 18.(17分)已知线段AB的端点B的坐标为(3,0)，端点A在圆(x+3)2+y2=16上运动： (1)求线段AB中点M的轨迹方程； (2)过点C1,1)的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GoH(o为坐标原点)的面积最大 时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值 (3)若点C1,1),且P在M轨迹上运动，求BC.BP的取值范围. 19.(17分)在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点A1,-1),并且圆心在x轴上，圆C与x 轴正半轴的交点为P. (1)求圆C的标准方程； 《2)设过Q身的直线1按圆c酸得的弦长为3，求直线1的方程： (3)已知B,B是圆C上异于P的两点，记k,k分别为直线BP,乃P的斜率.若k·k=2, 请判断直线￡乃是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由 高二数学试题第4页（共4页）