精品解析：江苏苏州市相城区陆慕高级中学2026-2027学年高二上学期10月测试数学试卷

陆慕高级中学2025级高二上10月测试数学试卷 姓名：             成绩： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 3. 记为等差数列的前项和，若，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 若等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设等差数列的前n项和为，且（），若，则（ ） A. 的最大项是 B. 的最小项是 C. 的最大项是 D. 的最小项是 二、单选题：本题共3小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下叙述不正确的是（ ） A. 若等比数列单调递减，则其公比满足 B. 等比数列满足，，则 C. 等差数列满足，则 D. 公差为负的等差数列满足，则当且仅当时其前项和取得最大值 10. 已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 11. 已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 13. 已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则________________________． 14. 在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知． （1）求和； （2）若，求正整数n的值． 16. 在等差数列中，，为与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由； （3）若，求数列的前n项和. 17. 已知等差数列的公差为，且． （1）求数列的通项公式与其前项和； （2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和，若存在，使得对任意，总有，求实数的取值范围． 18. 已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）证明：. 19. 已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 （1）若，，且，求； （2）若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陆慕高级中学2025级高二上10月测试数学试卷 姓名：             成绩： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 2. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，首先判断，再由等比数列求和公式及通项公式得到方程，解得即可. 【详解】设公比为， 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即， 即，解得（负值已舍去）. 故选：D 3. 记为等差数列的前项和，若，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：C. 4. 若等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先设等比数列的公比为，根据题意，得到，进而可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以，即，所以， 因此. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列前n项和基本量的运算，熟记公式即可，属于基础题型. 5. 设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可令，得出，然后通过等差数列的性质得出以及，代入中，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为是等差数列前项和，是等差数列前项和， 所以，， 则，， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前项和公式以及等差中项的应用，若等差数列前项和为，则，当时，，考查化归与转化思想，是中档题. 6. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质得到结论即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 8. 设等差数列的前n项和为，且（），若，则（ ） A. 的最大项是 B. 的最小项是 C. 的最大项是 D. 的最小项是 【答案】D 【解析】 【分析】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为. 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 二、单选题：本题共3小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下叙述不正确的是（ ） A. 若等比数列单调递减，则其公比满足 B. 等比数列满足，，则 C. 等差数列满足，则 D. 公差为负的等差数列满足，则当且仅当时其前项和取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合递减数列的定义求出的范围，可判断A选项；利用等比中项的性质可判断B选项；计算出的值，可判断C选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则等比数列为摆动数列，不合乎题意，则， 若，则，由，则， 若，则，由，则，A错； 对于B选项，设等比数列的公比为，则， 由可得，B错； 对于C选项，设等差数列的公差为， 则，可得，C对； 对于D选项，因为，由，解得且， 所以，当且仅当或时，数列的前项和取得最大值，D错. 故选：ABD 10. 已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据前和的概念，结合题意以及作差法，利用等差数列的定义，可得答案； 对于B，利用等差数列的求和公式，结合前项和的概念以及作差法，可得答案； 对于C，根据等差数列的单调性，明确每一项与零的大小关系，可得答案； 对于D，根据第六项与第七项与零的大小关系，结合加和的大小，可得答案. 【详解】对于A，由，则，， 所以等差数列的公差，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可知，，则当时，；当时，， 所以是数列的最大值，故C错误； 对于D，由A可知，由B可知，则，故D错误. 故选：AB. 11. 已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的特性，再逐项计算判断作答. 【详解】，，，即，则，A正确； 显然有，于是得， 因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确； 于是得，， 则，，C正确，D不正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 13. 已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为的等差数列，则________________________． 【答案】 【解析】 【详解】，故数列是首项为，公差为的等差数列， ，故， 时， ， 满足上式， 故． 14. 在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得通项，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定单调性，即可求解最值得解. 【详解】设等比数列的公比为，，. ，，解得，， 由得，即. 记，则， 当时，，时，， 因此 故时，取到的最小值是. ，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知． （1）求和； （2）若，求正整数n的值． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于的方程，解方程可得，则，结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前项和. （2）由（1）知，据此可得 解得（舍），或，则的值为4. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，可得． 因为，可得，故．所以． 设等差数列的公差为．由，可得． 由，可得从而，故，所以． 【小问2详解】 由（1）有 由， 可得， 整理得解得（舍），或．所以的值为4． 16. 在等差数列中，，为与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由； （3）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 由（1）知，所以， 所以， 令，解得. 因为是正整数，所以23不是的项. （3） 【解析】 【分析】（1）结合等差数列及等差中项性质求解即可. （2）求出等差数列前n项和，得到，通过解方程验证正整数解是否存在即可. （3）确定数列的正负分界点，再分情况讨论求和. 【小问1详解】 设的公差为d，则， 所以，，， 因为为与的等差中项，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 当时，，；当时，，， 所以当时，， 当时， . 所以. 17. 已知等差数列的公差为，且． （1）求数列的通项公式与其前项和； （2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和，若存在，使得对任意，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1），，，． （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差数列的性质，求出，可求得数列的通项公式，利用等差数列的前项和公式求得； （2）由已知求出数列的通项公式，利用等比数列求和公式求，再求的范围，利用等差数列求和公式求，再求其最大值，根据题意可得，进而求解可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为为等差数列，且， 所以，即． 又因为公差， 所以，， ，． 【小问2详解】 由（1）知数列的前项为，，，， 所以等比数列的前项为，，， 所以， ， ， 所以， 因为， 因为存在，使得对任意，总有成立， 所以，． 所以实数的取值范围为． 18. 已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）证明：. 【答案】（1）； （2）； （3） 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 又， 所以 【小问2详解】 因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 【小问3详解】 略 19. 已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 （1）若，，且，求； （2）若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由及，即可求； （2）①设及求出，确定；②分为奇偶讨论求和. 【小问1详解】 ， 所以， 因为，所以，即， 解得，又，所以. 【小问2详解】 ①因为， 所以， 因为是公差为的等差数列，所以可设为， 所以， 所以，又，所以解得 所以； ②， 当时， ； 当时， ； 综上，，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $