专题14 期中真题压轴百练通关（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题14 期中真题压轴百练通关 基础·固本强基 题型1 配方法的应用 题型2 一元二次方程的特殊解法 题型3 一元二次方程有关的新定义型问题 提升·进阶突破 题型4 菱形的性质与判定的综合 题型5 矩形的性质与判定的综合 题型6 正方形的性质与判定的综合 拔高·压轴破难 题型7 相似三角形的性质与判定的综合 题型8 二次函数的图象与性质的综合 题型9 二次函数的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 配方法的应用（共5小题） 【模型】配方法构造完全平方式，用于解方程、求最值、代数式变形。 【步骤】提取二次项系数，配方添项，写成完全平方式再求解。 【易错】等式配方两边同加减，代数式配方只在内部恒等变形。 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 4．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 5．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 题型2 一元二次方程的特殊解法（共3小题） 【模型】依据方程结构选用直接开平、因式分解法快速求解一元二次方程。 【步骤】观察方程形式，优先选用简便解法，整理后求出方程的根。 【易错】不可随意约去含未知数因式，避免丢失其中一个根。 6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，，， (2)，， 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 题型3 一元二次方程有关的新定义型问题（共5小题） 【模型】读懂新定义规则，转化为一元二次方程相关知识进行推理计算。 【步骤】理解定义，翻译条件列方程，求解后代入验证是否符合规则。 【易错】严格遵守题目新规则，不可直接套用固有结论。 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 10．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①衍生点的坐标为；②；（3）有， 【分析】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． （1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②当时，，当时，，设直线的解析式为，将代入，求解即可． （3）先推导出直线的图象经过定点，得到一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上，则关于的方程的两个根为，代入求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴一元二次方程的衍生点M的坐标为． 故答案为：． （2）①因式分解，得． 解得或， ∵， ∴． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ②当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点M都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上．理由如下： 将代入直线，得． 直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ， ． 11．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 提升·进阶突破 题型4 菱形的性质与判定的综合（共5小题） 【模型】结合菱形边角对角线性质，利用判定定理证明图形并计算线段角度。 【步骤】先判定图形，再套用菱形性质，建立等量关系求解。 【易错】判定菱形勿忘前提，区分性质与判定，对角线互相垂直不能直接证菱形。 14．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，在中，P是对角线上一点，连接．求证：四边形是菱形； (2)如图2，在菱形中，是对角线上一点，是菱形外一点，连接交于点G，延长交于点，连接． ①求证：； ②连接，若，求五边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分得，结合得，即对角线互相垂直，从而证得菱形； （2）①在上截取，连接，通过证明三角形全等，利用等量代换证得； ②过点作于点，过点作于点，先证得面积相等，再分别求出相关线段长和三角形面积，最后利用面积割补法求五边形面积． 【详解】（1）证明：如下图，连接交于点． 四边形是平行四边形， ． ， ，即． 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． （2）①证明：如图，在上截取，连接． 四边形是菱形， ，． 在和中，， ， ，． ，， ． ， ，即． ， ． 在和中，， ， ，． ， ， ， ， ， ． ②解：过点作于点，过点作于点． 四边形是菱形，，，平分， ，． 在中，， ，． ， 在中，， ． ， 在中，，，， ，， ． 在菱形中， ， ， ， ， ． ， ， ， ． 15．（26-27九年级上·吉林·期中）根据题目条件，解答下列各题 (1)【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； (2)【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； (3)【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)证明：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， 由旋转，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形作答即可； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据等边对等角得到，，即，由旋转，得，则，根据，得到，则，即，进而证明，即可得到四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形是菱形； （3）证明四边形是平行四边形，作交于H，则四边形与四边形的面积比，根据菱形的性质得到，，则，根据菱形的性质得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． （2）略 （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 作交于H， 则，， 即四边形与四边形的面积比， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形与四边形的面积比． 16．（25-26八年级下·重庆·期中）已知中，对角线、相交于点O，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，过点C作于点，连接，过点A作交于点E，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点C作，交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)当的值最小时，的面积是 【分析】（1）先证明是菱形，可得，可根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）过点C作，交于点G，先证明，得到，再证明，即可证明结论； （3）连接，，先证明，可得，所以点在的平分线上，因此可根据轴对称的性质推得，所以当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长，再求出此时对应的的长，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 是菱形， ，，， ， ； （2）略 （3）解：连接，， 由（1）知，是菱形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 与关于直线轴对称， ， ， 当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，， ， ， ， ， 解得， ， 的面积为． 【点睛】通过添加辅助线构造全等三角形来转化线段是常用的解题方法． 17．（25-26九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，使，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，线段和线段的数量关系为 ，位置关系为 ． 深入探究： （2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段与线段之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明． 解决问题： （3）如图2，连接，当，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；． （2），证明如下： 连接，如图， 由（1）知，， ∵平分， ∴， 又，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴． （3） 【分析】（1）根据角边角的证明方法可证明与全等，由此可得数量关系为，再由，可得点共线，即可得位置关系． （2）根据（1）可知，，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由即可得关系． （3）可先根据菱形的判定证明四边形为菱形，即可得，由（1）与（2）可知，，再由等边三角形的性质可得，再由梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， 且，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴线段和线段的数量关系为， ∵在四边形中，， ∴， 又， ∴， ∴点共线， 又， ∴， ∴线段和线段的位置关系为． 故答案为：；． （2）略 （3）过点A作，如图， 由（1）和（2）可知，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是适当添加辅助线证明全等转化边长的关系． 18．（25-26八年级下·广东广州·期中）我们定义：对角线互相垂直且长度之比为k的四边形叫做“k－神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“1－神奇四边形”的是_____（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接．点M、N、P、Q分别是的中点．证明：四边形是“1－神奇四边形”； (3)如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O． ①请画出点T，使四边形为“1－神奇四边形”（不需要证明）； ②若，正方形的边长为6，求线段的长； (4)如图3，将图1中的正方形压扁成为（菱形，点E，G分别为边，上的点，，且满足四边形为“－神奇四边形”．若，求神奇四边形的面积． 【答案】(1)④ (2) 证明：∵点M，N为，中点， ∴，， ∵点P，Q为，中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M，Q为，中点， ∴，， ∴， 如图，设与交点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为正方形， ∴对角线，即，， ∴四边形是“1－神奇四边形”． (3) ①如图所示，点T即为所求， ② (4) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）证明四边形是平行四边形，进一步证得，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （3）①延长交于点T，则四边形为“1－神奇四边形”； ②设，，由勾股定理得，解得，得到和的长度，再设，则，，由勾股定理求得，利用勾股定理和三角形面积公式即可得解； （4）由题设，，过点C作交于点S，过点C作交于点J，交于点L，利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形及勾股定理求得相关线段的长度，最终利用三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴正方形是“神奇四边形”，即④． （2）略 （3）解：①∵，， 过点B作，交于点G， 由（2）得，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即，， ∴四边形为“1－神奇四边形”； ②设，， 在中，, ∴， 解得， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． （4）解：由题可知，， 设，， 如图，过点C作交于点S，过点C作交于点J，交于点L， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵交点H，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ． 题型5 矩形的性质与判定的综合（共5小题） 【模型】运用矩形边角对角线性质，结合判定定理证明图形并求解角度线段。 【步骤】分析已知条件，先判定矩形，再利用性质列式计算。 【易错】判定矩形注意前提，不可仅凭对角线相等直接判定四边形为矩形。 19．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2) 证明：延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； (3) 证明：如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 20．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或 (3)的值为或或 (4)的值为5或或 【分析】（1）如图所示，过点作于点G，则，得到四边形是矩形，可得，在中由勾股定理即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时；当时；结合矩形的性质列方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当时，，，；当时，，；当时，；由此列式求解即可； （4）根据题意，分类讨论：当四边形是菱形；四边形是菱形时；四边形是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P的运动到点D的时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，，若时， ∴当时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得，此时点B，Q重合； 当时，此时点P与点D重合，点Q与点C重合， ； 综上所示，的值为或或； （4）解：点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，设交于点F， 则，， 同理可得，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所示，的值为5或或． 21．（25-26八年级下·海南·期中）在学习了《平行四边形》之后，小佳同学和小豪同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 (1)如图1，小佳同学连接了的对角线、，并发现：当时，，请你利用平行四边形的相关知识证明这个数量关系； 【深入探究】 (2)如图1，在小佳同学发现的基础上，小豪同学还发现：此时，沿着或分割该平行四边形，即可得到两个直角三角形，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是斜边上的中线，请帮忙直接写出中线与斜边的数量关系：__________； 【拓展延伸】 (3)如图3，小佳同学和小豪同学在图2中的基础上又作了，使（点、在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小佳同学和小豪同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ； (2) (3) 解：， 理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ． 【分析】（1）由，结合平行四边形的性质可证，从而得到； （2）延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照（1）证明，从而得到，进而推出； （3）根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ； （3）略 22．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平行四边形中，，点为上一点，连接． (1)将沿翻折得到，点为点的对应点． ①如图1，若，，当点落在边上时，求的长； ②如图2，若点为边中点，点落在平行四边形外，延长交边于点，，求线段的长； (2)如图3，将四边形沿翻折得到四边形（点为点的对应点，点为点的对应点），与交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)①；②8 (2) 【分析】（1）①证明四边形是矩形，得到；由折叠的性质可得，由勾股定理可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； ②连接，由平行四边形的性质得到，，则；由折叠的性质可得，，则可证明；证明，得到，则可证明，得到，则； （2）过点F作于点K，连接，可求出，；则可得到，；由折叠的性质可得，，；过点F作于点R，延长交于点L，可证明，设，则，由勾股定理得，可得，则，；过点G作于点P，可得，；证明四边形是矩形，得到，则；设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵在平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴； 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点F作于点K，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∴， ∴； 由折叠的性质可得，，； 如图所示，过点F作于点R，延长交于点L， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴，； 如图所示，过点G作于点P， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 23．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： (1)为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点O是边的中点． 求证：； 【知识应用】 (2)如图2，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为 ________； 【性质延伸】 (3)如图3，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点P，点P到四边形四个顶点的距离均为d，则d的值为 ________． 【答案】(1) 证明：延长至D，使，连接，， ∵点O是边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ∴ ； (2)4； (3)． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理的证明及其应用，中位线性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是构造好对应的图形，根据已知条件列方程求解． （1）根据已知条件构造矩形，由矩形性质得到． （2）根据中位线性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据角平分线和中位线性质得到，最后根据勾股定理求解． （3）连接，则得到两个直角三角形斜边的中线，根据求解． 【详解】（1）略； （2）解：在中， ∵M、N分别是、的中点， ， ， 在中， ∵M是中点， ∴ ， ， ， ，平分， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，连接，取的中点P，连接，， 由（1）可知 ， 则点P到四边形四个顶点的距离均为d，即， 设，则， ， ， ， ， ， ∴， ∴点P到四边形四个顶点的距离． 故答案为：． 题型6 正方形性质与判定的综合（共5小题） 【模型】结合正方形性质与判定，证明图形，求解线段、角度相关计算。 【步骤】梳理已知条件，先判定图形，再用正方形性质推理求值。 【易错】判定正方形要同时满足矩形、菱形条件，不能只满足其一。 24．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，已知点在正方形内，点E在边上，垂直平分线段，连接． (1)如图1，若在对角线上，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，延长交于点F，连接，．设相交于点G，连接，．若，先猜想的形状，再验证你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)猜想：是等腰直角三角形 证明：∵垂直平分， ∴， ， ∴， 设， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ， ∴，，故为等腰直角三角形 【分析】（1）先得出，，求出，即可求出结论； （2）连接，证明，得出，再求出，根据勾股定理得出，即可求出结论； （3）设，证明，进而证明，得出，即可证明，． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在正方形中，，，对角线， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵垂直平分， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ． （3）略 25．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)10 (3) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，证明，得出即可； （2）先证明四边形为平行四边形，得出，再证明，最后根据（1）同理可得：； （3）连接，交于点H，过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1），同理可得：； （3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：． 26．（23-24八年级下·广西柳州·期中）实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 (2)如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 【答案】(1) (2)，作图如下： (3) 【分析】（1）由证明过程可知，的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以； （3）作交于点，连接，可证明，得，，即可证明，则． 【详解】（1）解：由证明过程可知，的条件是： ， ∴推理的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）解：如答案图2，设网格中每个小正方形的边长都为， 将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上， 由勾股定理得，， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴， 由平移得， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 作交于点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（25-26八年级下·四川南充·期中）正方形中，E为射线上一点． (1)如图1，F为对角线上一点，过点F作于点E，连接，若，，那么________； (2)如图2，E在延长线上，F为对角线上一点，连接，若，求线段的长； (3)如图3，E、G分别为的中点，连接和交于点Q，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明：在正方形中，， 分别是的中点， ， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， 是直角三角形，， 取的中点M，H，连接，交于点F，S，交于点T，则， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 同理，，则， 在中，， 令，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 四边形是正方形， 连接， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 【分析】（1）先根据勾股定理求出，然后证明，然后根据全等三角形的性质证得即可； （2）连接，根据正方形的性质得出，即，根据等腰三角形的性质证得，由内角和为证得从而得到为直角三角形，最后根据勾股定理求得； （3）先证，得，取的中点M，H，连接，交于点F，S，交于点T，再证四边形是矩形，再证是正方形，由平行线分线段成比例定理证得是的中位线，证得到，令，则；通过勾股定理把用x表示出来，从而得到垂直平分，所以，通过勾股定理求得，而，消去即可得出 【详解】（1）解：在正方形中，， ， ， ，垂足为E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接， 在正方形中，，即 ， 由（1）结论可得， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即， ， （3）略． 28．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知四边形是边长为的正方形，点为平面内一点，且满足． (1)如图1，点在正方形内部， ，点是上一点，连接，当 时，延长交于点． ①依题意补全图形； ②求 的面积（用含的式子表示） (2)正方形对角线与交于点，点，是线段上的两个动点，且满足 ，连接， ，当取最大值时，直接写出 的最小值． 【答案】(1)①补全图形如图所示 ② (2) 【分析】（1）①根据题目要求，利用垂直平分线的性质作图即可； ②解决本题的关键是求出 ，观察图形可以猜想出G是的中点，由此出发，结合已知条件 ，则应有 ，进而想到连接 ，过点作 ，分别交,于,，过点作 ，分别交 于 ，然后结合 求解即可； （2）首先确定取最大值时点E的位置，由于 分别是 和 的直角顶点，因此取中点，连接 ,，根据构成三角形的条件即可确定点E的位置；然后确定 的最小值，由 可知为定值，因此过点作 ，且使 ，继而把和 转化为两条首尾相接的线段，利用两点之间线段最短即可求解． 【详解】（1）①解：如答案中图形所示，首先连接,作的垂直平分线，交于点，由垂直平分线的性质可知； 然后延长交于点即可； ②解：如图1，连接 ，过点作 ，分别交,于,，过点作 ，分别交 于 ． 在 中，， ， 则 ． ， 在 中， ， ． 四边形为正方形， ， ， 四边形 ， ， ， 均为矩形， ， ， ， ． 在 中， ， ， 则 ， ． 在和 中， ， ． 在 和 中， ， ， ． 在 中， ， ， ， ， ． ， 即 ， . ， ； （2）如图2，取中点，连接 ,， 则 ． 根据构成三角形的条件，则 ， 当，，在同一条直线上时，取得最大值，最大值为，如图3所示． 过点作 ，且使 ，连接，，． 四边形为正方形， ， ， ． ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ． 根据两点之间线段最短，则 ， 与重合时， 取得最小值，最小值为． ， ， 四边形 是平行四边形， ，， 四边形 是正方形， ， ，即 的最小值为． 【点睛】对于一些几何问题，我们可以先通过合理的猜想找到问题的突破点；对于一些典型的最值问题，要熟练掌握它的适用场景，切不可张冠李戴． 拔高·压轴破难 题型7 相似三角形的性质与判定的综合（共5小题） 【模型】先证三角形相似，再利用相似性质求线段、周长与面积。 【步骤】寻找等角证相似，找准对应边，代入比例式计算求值。 【易错】顶点务必对应，面积比是相似比平方，不要直接用相似比。 29．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，四边形和四边形都是正方形，，，三点在同一直线上，连接，，，并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ； (2)证明：四边形是正方形， ，，， 根据勾股定理，得． 同理可得， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）先利用正方形性质得到和的度数，因为共线，所以可得与相等，再结合公共角，用两角对应相等证明三角形相似； （2）先根据正方形性质得到与的比值、与的比值，再证明，用两边对应成比例且夹角相等证明三角形相似； （3）先由长度求出正方形的边长，在中用勾股定理求出的长度；再利用（1）的相似结论得到对应边成比例，求出的长度，进而得到的长度；最后根据正方形边长与对角线的关系求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ， ， 由（1）知， ， 即， ， ， ， 即正方形的边长为． 30．（26-27九年级上·四川·期中）按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 【答案】(1)①；② (2)， (3)或 【分析】（1）证明，即可得结论； （2）证明，即可得结论； （3）分两种情形解直角三角形求出，再利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于， 在和中， ，， ，，， ∴， ， ∴， ， ∴，， ， ∴， ． （3）如图中，作于，连接，则， 在中， ∵，， ， ， ， ， ∵， ， ， 在中，， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， ． 如图，连接，作于， 同理可得，， ， ， ∴， ． 综上所述，点、之间的距离是或． 31．（25-26九年级上·广东深圳·期中）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为 ，的长为 ，四边形 邻等对补四边形（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在邻等对补四边形中，，若，求的值； (3)如图3，在中，，分别在边上取点M、N，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)2，，是 (2) (3)或或 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再根据含30度角直角三角形的性质可得的长，即可解答； （2）延长至点E，使，连接，过A作于F，证明，可得，设，则，在中，根据锐角三角函数可得，在中，根据勾股定理可得，，即可求解； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形． 故答案为：2，，是； （2）解：延长至点E，使，连接，过A作于F，如图2， ∵四边形是邻等对补四边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图3．1，连接，过N作于H， ∴， 在中，， 在中，， ， 解得， ∵， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3．2，连接， ∵， ∴， ∴， 过点N作交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 当时，连接，过N作于H，如图3．3， ∵， ∴，即， 即，解得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3．4，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形． 32．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，与是具有公共顶点的两个等腰三角形，，，若，则有，可得，又因为，易得． 请你借助旋转变换解决下列问题： (1)如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以，为边构造正方形，连接，，请求出与的数量关系； (2)如图3，四边形中，交于点，若，求证：； (3)如图4，在中，，，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：在延长线上取点，连接，使， ， ． ． ． 即． 又， ． ． (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，，证明．则．即可得到结论； （2）在延长线上取点，连接，使，．得到，证明，即可得到结论． （3）作，截取，连接，证明．，得到．．由勾股定理可知．作于点，则， ，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，， 四边形和四边形为正方形， ． ． ． ． ∴ （2）略 （3）解：作，截取，连接， ， ∵， ．， ．． 在Rt中，由勾股定理可知． 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∴ 33．（25-26九年级上·四川巴中·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1）； （2）如图，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明后即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点H，证明后即可求证； （3）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，由三角函数设，则，由勾股定理可得，得到，，，利用面积法可得，即可求解． 【详解】解：（1）设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2） 略 （3）如图所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 题型8 二次函数的图象与性质的综合（共5小题） 【模型】结合抛物线开口、对称轴、顶点，综合分析函数增减、最值与符号。 【步骤】确定 a,b,c，求出对称轴顶点，结合图象分析变量关系。 【易错】注意自变量范围，判断函数值符号别忽略图象位置。 34．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线与两个图象分别交于点P，点，与轴交于点． ①当点在线段上时，求的最大值； ②设点，Q到直线的距离之和为时，求的值． (3)二次函数与二次函数组成新的函数，若该函数图象上有点，，且点与不重合，点的横坐标为，点的横坐标为，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)① 8；②或5 (3) 或 【分析】（1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①可证明二次函数和二次函数 的图象都经过点C，则当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合，根据题意可得，则 ，据此可得答案；②当时，如图所示，连接，，，，可证明 ，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F，可证明 都是等腰直角三角形，则可推出，进而得到，则 ，解得或（舍去）；同理可求出时，； （3）求出二次函数 的顶点坐标为；过顶点E作平行x轴的直线交与点D，求出点D的坐标，分两种情况，①当点H在点D和点O中间，点G在点E和B中间时和当当点G在点D和点O中间，点H在点E和B中间时，根据题意列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∵二次函数 的图象经过点， ∴ ， ∴， ∴二次函数 的解析式为． （2）解：①在中，当时，， 在 ，中，当时，， ∴二次函数和二次函数的图象都经过点C， 又∵两个二次函数的图象都经过点B，且二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下， ∴当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合， 由题意得，， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为8； ②由（2）①得， ∴， ∴， 当时，如图所示，连接，，，， ∵， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 由（2）①可得， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴，都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴ ， 解得或（舍去）； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴ 都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ， 解得（舍去）或； 综上所述，或； （3）解：∵， ∴， 过顶点E作平行x轴的直线交与点D， 则点D的纵坐标为：， 把代入， 解得， 根据题意，分两种情况： ①如下图：当点H在点D和点C之间（包括端点），点G在点E和B之间（包括端点）时，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， ， 则需满足：， 解得：； ②如下图：当点G在点D和点O之间（包括端点），点H在点E和B之间（包括端点）时，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 则需满足：， 解得， 综上所述， 或． 35．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 36．（26-27九年级上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）与轴交于点，，与轴交于点． (1)直接写出，的值，即___________，___________； (2)如图1，直线是抛物线的对称轴，点为直线的右侧抛物线上的动点，连接，过点作，交直线于点．若，点的横坐标为，求的值； (3)如图2，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的函数图象记为． ①在平面直角坐标系中，求新函数图象对应的函数解析式； ②坐标平面内另有平行于轴的直线，其表达式为，其中为常数．请结合直线与新图象的不同位置关系，探究方程 的根的个数． 【答案】(1)， (2)或 (3)①抛物线解析式为： ；②当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根 【分析】（1）将 和代入解析式即可求解； （2）过点作轴于点，过点作于，可证，则，设，点在直线上，即，结合点在直线的右侧，所以，求解即可； （3）①当时，，因为这一部分图象不变，所以解析式为，当或时，，因为翻折后函数值变为原来的相反数，所以； ②方程的根的个数即直线与图象的交点个数，结合图象讨论的取值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数）经过点和， ∴将 和代入解析式（，是常数）中， 得 ， 解得 ； （2）∵，， ∴抛物线为，对称轴为直线， ∵点为抛物线上的动点， ∴设， 过点作轴于点，过点作于，如图： ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点在直线上，， ∴， 即或， 解得：或， ∵点在直线的右侧， ∴， ∴或； （3）①已知原抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴图象不变，即抛物线的解析式为， ∵当或时，， ∴抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方， ∵翻折后函数值变为原来的相反数， ∴， ∴新函数图象对应的函数解析式 ； ②方程的根的个数即直线与图象的交点个数， ∵当时，抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为， 如图： 当时，无交点，0个根； 当时，有2个交点，2个根； 当时，有4个交点，共4个根； 当时，有3个交点，共3个根； 当时，有2个交点，共2个根； 综上所述：当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 37．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点M的横坐标为或 【分析】（1）根据对称轴得到，再根据点A坐标和得到点C坐标，最后把点A和点C的坐标代入即可解答； （2）先根据抛物线的对称性求得点B的坐标，再求得直线的表达式，设，则，，从而用t表示出，进而根据二次函数的性质得到当有最大值时点P的坐标，然后过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到，可推出当四点共线时，取得最小值，接着设直线的表达式为，直线的表达式为，利用点P的坐标和点E的横坐标可求出m的值，得到点E和的坐标，即可利用两点距离公式解答； （3）根据是等腰直角三角形，可推出该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，然后分情况讨论，当点M在第四象限时，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S，根据直角三角形的性质和等边对等角，结合已知角度关系可推出，从而得到，接着证明，利用相似三角形对应边成比例和矩形的性质，结合线段的和差，设，表示出和，求得z的值，从而得到点N的坐标，进而求得直线的表达式，最后联立抛物线，即可求得答案；当点M在第三象限时，利用抛物线的对称性即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵点，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线， ∴， 设直线的表达式为，把、， ， 解得， ∴直线的表达式为， 根据题意，设，则，， ∴，， ∴  ， ∵，， ∴当时，有最大值，此时， ∴， 如图，过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到， ∴，， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值，此时三点共线，如图所示， ∵，， ∴不妨设直线的表达式为，直线的表达式为， ∵点E在抛物线的对称轴上，对称轴为直线， ∴点E的横坐标为2， ∴， ∵点和点关于y轴对称， ∴， 把代入直线的表达式为，得， ∴，即直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴，， ∴，， ∴， 即当有最大值时，的最小值为； （3）解：点M的横坐标为或； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， ①当点M在第四象限时，如图所示，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，点是的中点，，， ∴，，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∵，轴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为，代入，得，则， ∴直线的表达式为， 联立， 解得，（舍去）， ∴点M的横坐标为； ②当点M在第三象限时，如上图所示，取点关于y轴的对称点， 则，此时点的横坐标为， 又∵的对称轴为y轴， ∴点在抛物线上， ∴点符合条件； 综上，符合条件的点M的横坐标为或． 38．（25-26九年级下·山东淄博·期中）二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； (3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，H的坐标为或 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则，根据抛物线的性质解答即可． （3）取点，过点R作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴将代入表达式， 得， 解得， ； （2）解：对于二次函数，当时，， ， 设， 轴， ， ， ， ， ∴当时，四边形面积最大，最大值为6， 此时E点坐标为； （3）解：存在， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点R作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 题型9 二次函数的应用（共5小题） 【模型】建立二次函数模型，利用顶点求最值，结合图象解决实际问题。 【步骤】审题找等量，列函数关系式，求最值并检验自变量范围。 【易错】求最值要看自变量取值，顶点不一定在实际取值区间内。 39．（26-27九年级上·内蒙古·期中）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，能安全通过此桥 【分析】（1 ）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，根据抛物线的图象和性质得到点D、B的坐标，由待定系数法求出其解即可； （2 ）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】（1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥． 40．（25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． (1)直接写出m关于t的函数关系式______． (2)求第30天当天的销售利润． (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【答案】(1)（且t为整数） (2)3600元 (3)第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，即可解答； （2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润（价格－成本），再乘以销售量得总利润； （3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，在前25天中，建立利润二次函数，求顶点横坐标（整数天），计算最大利润，再后5天中，建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论． 【详解】（1）解：设m关于t的函数关系式为， 将，和，代入得： ， 解得， ∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）． 故答案为：（，且t为整数）； （2）第30天价格（元/千克），销售量（千克）， 故利润（元）． 答：第30天当天销售利润为3600元； （3）①当时， 利润， 即， 二次函数开口向下，顶点横坐标， 故或16时，最大，为（元）； ②当时，利润，随t增大而增大， 故时，（元）； 比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元． 答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元． 41．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 42．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； (3)为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出对应的x即可得出答案． （3）分别求出对应D点和E点的抛物线解析式，进而可求出答案． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为，或． （2）解：令，得＝0， 解得：，， ∴， ∴， ∴火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离为； （3）解：如图所示： ∵，， ∴， 设， 把代入得， 解得： 由平移可知，发射装置顶端上升高度最小值为， 设， 把代入得：， 解得：， 由平移可知，发射装置顶端上升高度最大值为， ∴当火星落在回收箱内时，的取值范围为． 43．（25-26九年级上·福建福州·期中）项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴、轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比．举例：如图1，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】（1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比______； 【联系实际】（2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式； 【应用拓展】（3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为2m．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）； （4）拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面下方的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要______（救生圈大小忽略不计）． 【答案】（1）；（2）；（3），最左侧点；（4） 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、运用待定系数法求函数解析式、二次函数的应用等知识点，是读懂题意、理解目标矩形和纵横比是解题的关键． （1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比； （2）由点到的距离为5米，知，又抛物线目标矩形的纵横比，可得，，，再用待定系数法得； （3）抛物线，得与横轴交点，，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由得桥面可挂11个，进而确定最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （4）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，在中，勾股定理求得长度即可． 【详解】（1）足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， 目标矩形的纵横比； 故答案为：． （2）最高点到的距离为5米， ， 抛物线目标矩形的纵横比， ， ， 抛物线关于轴对称， ，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， ， ； （3）相邻两个救生圈悬挂点的水平距离为，且关于轴对称， ， 左侧挂个，右侧挂个，中间挂个，共个， 最左侧位于拱桥上方处， 最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （4）如图，当水位达到最高时，水位线， 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方， 当时，，，， 在中，； 救生绳至少需． $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14期中真题压轴百练通关 题型图谱导航总览 题型1配方法的应用 基础固本强基 题型2一元二次方程的特殊解法 题型3一元二次方程有关的新定义型问题 题型4菱形的性质与判定的综合 提升·进阶突破 题型5矩形的性质与判定的综合 题型6正方形的性质与判定的综合 题型7相似三角形的性质与判定的综合 拔高·压轴破难 题型8二次函数的图象与性质的综合 题型9二次函数的应用 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1配方法的应用（共5小题） 【模型】配方法构造完全平方式，用于解方程、求最值、代数式变形。 【步骤】提取二次项系数，配方添项，写成完全平方式再求解。 1/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】等式配方两边同加减，代数式配方只在内部恒等变形。 (25-26八年级下·浙江绍兴·期中)阅读下列材料： 材料一“2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 :(x+2)2≥0(x+2)2+1≥1.x2+4x+5≥1 解决下列问题： x2-6x+10=(x)2+ (1)填空： 2-2xy+2y2+2y+1=0 x+y (2)已知 ,求的值. (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小，并说明理由 2.(25-26八年级下·广西贺州期中)阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值. +6x+5=+2×xx3+32-32+5=(x+3-4,且，(x+3≥0 ∴.当x=-3时，x2+6x+5有最小值-4. 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论x取何值，代数式x2-4x+5的值恒为正数； (2)若代数式x2-2kx+4的最小值为-5，求k的值： 3.(25-26七年级下·江苏扬州期中)配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将 一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数 式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题.定义：若一个整数能表示成a+b(a,b为整数)的形式， 则称这个数为“完美数”.例如，13是“完美数”，理由：因为13=2+32，所以13是“完美数” 2/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解决问题： (1)已知41是“完美数”，请将它写成a2+b2(a,b为整数)的形式： (②若-6x-1可配方成(：-m+”0m,m为常数)，求m的值， S=x2+4y2+4x-12y+k (3)已知 (,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值. 4.(2026:安徽芜湖·一模)综合与实践 【项目主题】配方法的应用 【项目准备】 (利用完全平方公式将多项式+br+c(a≠0)变形为a(x+m+"的形式，我们把这样的变形方法叫做 多项式m+bc+c(a≠0) 的配方法.配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值.例如：求代 数式r+4r-l的最小值由+4x-1=+4x+①-1=(x+2-5 可知，当x=-2时， x2+4x-1 有最小值，最小值是②一·配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式 x2+2x-3 =x2+2x+1-1-3≤ ,原式 ③ =④ 【项目解决】 (2)当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足d2+b2-4a-6b+13=0时，c的取值范围是_⑤一： (3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=8,则四边形ABCD面积的最大值为 3/30 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⑥ 5.(25-26七年级下·河南期中)【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代 数式最值等问题中都有广泛应用， 例如：将r-6x+8先利用配方法变形为a(x+m+ 的形式，再分解因式 配方：x2-6x+8 =x2-6x+32-32+8 =(x-3)2-1 分解因式：x2-6x+8 =(x-3)2-1 =（x-3+1)(x-3-1) =(x-2)(x-4) 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把x2-2x-35分解因式. x2+y2+4x-6y+15 (2)代数式 的最小值是」 (直接写答案). (3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且d2+2b+3c2-2ab-2b-6c+4=0,试判断△ABC的形状，并说明理 由 题型2一元二次方程的特殊解法（共3小题) 【模型】依据方程结构选用直接开平、因式分解法快速求解一元二次方程。 【步骤】观察方程形式，优先选用简便解法，整理后求出方程的根。 【易错】不可随意约去含未知数因式，避免丢失其中一个根。 4/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26九年级上贵州遵义·期中)阅读材料，解答问题. 解方程：(4r-°-10(4x-1)+24=0 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 2-10y+24=0 则原方程化为 y=62=4 解得 ∴.4x-1=6或4x-1=4. 4,书5 7 x= 4· 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： 0-3r2+2=0 a-2P-52+10x-6=0 7.(25-26九年级上江苏扬州期中)阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一 个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化 如：解方程-2-6=0，可将方程变形为-”-6=0，设-y,则<=，原方程化为 y2-y-6= 0,解得”之.%-3当=之时.2无意义，含去：当为=时，=3 解得 x=±V3 ∴原方程的解为=5，=5 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：x4-4x2-12=0 5/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②尼知实数、满足2+2+3训2+2-列=-7，求2+护的值 8.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)×(+7) +7 -5 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： +7=7x -5=-5x 7x+(-5x)=2x x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”， 根据乘法原理：若b=0,则a=0或b=0.所以方程x2+2x-35=0可以这样求解：方程左边因式分解得 (x+7)(x-5)=0 所以原方程的解为=-7.名=5 【解决问题】 (1)分解因式：x2+5x+4=(x+)(x+) (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0: ②2024x2+2019x-5=0. 题型3一元二次方程有关的新定义型问题（共5小题） 【模型】读懂新定义规则，转化为一元二次方程相关知识进行推理计算。 6/30 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】理解定义，翻译条件列方程，求解后代入验证是否符合规则。 【易错】严格遵守题目新规则，不可直接套用固有结论。 9.(25-26九年级上江苏扬州期中)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aC≠0)有一个根是 a,那么我们称这个方程为“A方程”， (1)判断：一元二次方程x2-4x+3=0_(填“是”或“否”)为“A方程”. (2)已知关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0(c≠0) ①当b、C满足什么关系时，该方程是“A方程”： ②若方程是“A方程”，求代数式b2-6c的最小值. x2+bx+c=0(a≠0) 10.(25-26九年级上甘肃陇南期中)定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根 为，<)，以，云为横坐标和纵坐标得到点 (x2) 则称点M为该一元二次方程的衍生点. 【初步思考】 (1)一元二次方程x2-7x+6=0的衍生点M的坐标为_： 【尝试应用】 2-2(m+2)x+m2+4m=0 (2)已知一元二次方程 ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为y=-: k(k≠0) (3)是否存在b,C,使得不论 为何值，一元二次方程女+r+c=0的衍生点M始终在直线 y=c+32-)的图象上，若有，请求出山，c的值：若设有，请说明理由. 11.(25-26九年级上甘肃兰州期中)阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”·例如 7/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=4和x-2x+3)=0 有且只有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为“同伴方程”. (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有一：（只填写序号即可） 0x-ly=9,②2-4x+4=0:③x+4x+2)=0 (②)关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+3x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值： (3)若关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)同时满足a+b+c=0和a-b+c=0,且与 (x+3)(x+n)=0 互为“同伴方程”，求n的值. 12.(24-25九年级上：江苏泰州：阶段检测)定义：如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个 实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程 x2+2x= 的两个根是=0戈=-2 则方程+2x=0 是“根差2方程”. (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是一（填序号）： ①=1，②-22x+1=0.③x-3列=0 2+(a-1)x+8=0 (2)已知关于x的方程 ,(a是常数)是“根差2方程”，求a的值： )若关于x的一元二次方程+网)r+n=0和+a-x+m=0有 都是“根差2方程”，(m≠n)试求 L、n间的数量关系. 1B.(25-26八年级下江苏苏州期中)定义：若关于x的一元二次方程x2+hx+c=0(a≠0) 的两根均为 整数，则称该方程为“快乐方程”.对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为F(a,hc)=4c-办 现探究以下问题： (1)“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为 8/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-(2m-1)x+m2-2m-3=0 (2)若关于x的一元二次方程 m为整数，且<m<6)是“快乐方程”，求m 的值，并求该方程的“快乐数” (3)对于“快乐方程”犬+r+c=0(b、c为整数)，若其“快乐数” F(1,bc)=-”(n为正整数)，且方 程的两根5，。满足片-≤4 ,求该方程的“快乐数”所有可能的值 提升进阶突破 题型4菱形的性质与判定的综合（共5小题) 【模型】结合菱形边角对角线性质，利用判定定理证明图形并计算线段角度。 【步骤】先判定图形，再套用菱形性质，建立等量关系求解。 【易错】判定菱形勿忘前提，区分性质与判定，对角线互相垂直不能直接证菱形 14 (25-26九年级下·辽宁鞍山“期中)探究不同情境，回答下面问题： M B B (图1) (图2) (I)如图1，在BABCD中，P是对角线BD上一点，连接PA,PC,PA=PC.求证：四边形ABCD是菱形： (2)如图2，在菱形ABCD中，P是对角线BD上一点，N是菱形ABCD外一点，连接NP交CD于点G,延 长NP交AB于点M,连接PAPC,CN,CP=CN,∠PCN=∠BCD ①求证：PM=GN: 9/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DNPB=2,PC=V13,∠BCD=120° ②连接 ,若 求五边形APCND 的面积. 15.(26-27九年级上吉林·期中)根据题目条件，解答下列各题 D D D BE E G 图① 图② (I)【操作感知】如图①，在菱形ABCD中，点O为对角线AC和BD的交点.保持菱形ABCD不动，将 aBCD绕点O按顺时针方向旋转 (0°<&<180) 得到△B'CD',点B、C、D的对应点分别为点B、C、 D',当B'D'‖BC时，边B'D分别与边AB、CD交于点E、点F,则四边形BCFE为平行四边形，其理论 依据为一； (2)【探究发现】如图②，将图①中△BCD绕点O按顺时针方向旋转，使B'C'⊥AC,边B'D'分别与边AD、 CB交于点E、点F，B'C与边AB交于点G,其他条件不变，求证：四边形OBGB是菱形； (3)【探究应用】在图②中，若AC=8,BD=6,则四边形OBGB与四边形AEFB的面积比为一 16.(25-26八年级下重庆·期中)已知口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=AC, 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=60°，AB=4,求BD的长： (2)如图2，AB⊥AC,过点C作CF⊥BD于点F,连接AF,过点A作AE⊥AF交BD于点E,求证： OE=CF+OF. (3)如图3，在(1)的条件下，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP'=60°且AP=AP,连接DP,当 AP'+DP'的值最小时，请直接写出△ADP的面积. 17.(25-26九年级上·山西阳泉·期中)综合与探究 10/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题情境： 如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=I8O°，AD=CD,DE平分∠ADC交BC于点E,连接BD, 将线段DB绕点D逆时针旋转到DF，使∠BDF=∠ADC,连接CF. D D B E E 图1 图2 问题初探： (1)如图1，当∠ABC=∠ADC=90°时，线段AB和线段CF的数量关系为，位置关系为· 深入探究： (2)对问题(1)进一步研究之后发现，线段BE,CE与线段CF之间存在特定的数量关系.请你写出这种 关系，并予以证明. 解决问题： (3)如图2，连接AE,当AD∥BC,AB=AE=DE=4时，请直接写出四边形ABCD的面积 18.(25-26八年级下·广东广州期中)我们定义：对角线互相垂直且长度之比为k的四边形叫做“k一神 奇四边形”. M H BO E E 图1 图2 图3 (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“1一神奇四边形”的是一（填 序号)： (②)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G,连 接AG、EG.点MNP、O分别是AB、AG、GE、EB的中点.证明：四边形MNPP是“1-神奇四边 11/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形”： (3)如图2，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边 B'C'恰好经过点A,过点A作A0⊥FR于点O. ①请画出点T,使四边形AFTR为“1一神奇四边形”（不需要证明）： ②若AB=2,正方形的边长为6，求线段OF的长： (④)如图3，将图1中的正方形ABCD压扁成为（菱形ABCD,点E,G分别为边BC,CD上的点， ∠BGC=6O,且满足四边形ABEG为“3一神奇四边形”·若BE=5√3，求神奇四边形ABEG的面积. 题型5矩形的性质与判定的综合（共5小题） 【模型】运用矩形边角对角线性质，结合判定定理证明图形并求解角度线段。 【步骤】分析已知条件，先判定矩形，再利用性质列式计算。 【易错】判定矩形注意前提，不可仅凭对角线相等直接判定四边形为矩形。 19. (25-26八年级上·湖北武汉·期中)已知，△ABC中，AD是BC边的中线. 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X型全等的方 法来解决问题。 图1 图2 图3 如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,则有以下两个常见结论：①△CAD≌△BED;② CABE.利用这两个结论解决下列问题。 12/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，若AB=6,AC=4,直接写出AD的取值范围为：一<AD<: ②如图2，在1BC中，∠BMC=90.求证：4D-)BC」 2 3)如图3，点G在BC的上方，点F在DA的延长线上，连接GB,GC,GF,GA,若 GB=GC,GF=GA,∠BGC=∠FGA.求证：AG⊥AC. 为边上的中线， AD BC ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中， BD=CD ∠1=∠2 ED=AD' △BDE≌ACDA(SAS) 20.(25-26八年级下·吉林松原期中)如图①，在四边形ABCD中，AD川BC,∠A=90°，AD=6, BC=9,AB=4,点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿 C-B-C方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q返回点C时，点P也 随之停止运动，设点Q的运动时间为秒 D E 图① 图② (1)求CD的长： 13/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)当以P,A,B,Q为顶点的四边形是矩形时，求t的值； 3)当P=5时，求t的值； (④若点E是BC边上的一点，且BE=5,如图②，M是平面内一点，是否存在点P、M,使以P、B、 E、M为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出BM的长，若不存在，请说明理由， 21.(25-26八年级下·海南期中)在学习了《平行四边形》之后，小佳同学和小豪同学对平行四边形进行 了更为深入的探究. 图1 图2 图3 【初步探究】 (I)如图1，小佳同学连接了口ABCD的对角线AC、BD,并发现：当∠ABC=9O°时，AC=BD,请你利用 平行四边形的相关知识证明这个数量关系： 【深入探究】 (2)如图1，在小佳同学发现的基础上，小豪同学还发现：此时，沿着AC或BD分割该平行四边形，即可得 到两个直角三角形，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图2，GP是RBG(∠5GF=90)斜 边EF上的中线，请帮忙直接写出中线GP与斜边EF的数量关系： 【拓展延伸】 (3)如图3，小佳同学和小豪同学在图2中RtAEFG的基础上又作了Rt△FEM,使∠EMF=90°（点M、G 在斜边EF所在直线的同侧)，且EM平分∠FEG.连接GM,请帮助小佳同学和小豪同学判断GM与 FM之间的数量关系，并说明理由. 22.(25-26八年级下·四川成都期中)在平行四边形ABCD中，AB=I10,点M为AD上一点，连接CM 14/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D D D M G M B 图1 图2 图3 (I)将aCDM沿CM翻折得到aCNM,点N为点D的对应点. ①如图1，若∠D=90°，AD=6,当点N落在AB边上时，求AM的长： ②如图2，若点M为边AD中点，点N落在平行四边形ABCD外，延长BA交边CN于点P,AP=2,求 线段CP的长： (2)如图3，将四边形MABC沿CM翻折得到四边形MGHC（点G为点A的对应点，点H为点B的对应点)， GH与AD交于点F.若∠D=60°，AD=10,DF=2,求AM的长. 23.(25-26八年级下·江苏无锡期中)【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 定理证明： 图1 图2 图3 (1)为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC边的中点. 求证：OB- 2 【知识应用】 (2②)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点，连接BM,MN, BN.若∠BAD=60°，AC平分∠BAD,AC=8,则BN的长为 【性质延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=4,CD=6,BC-AD=2.在四边形ABCD内存在一 点P,点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d,则d的值为 15/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6正方形性质与判定的综合（共5小题） 【模型】结合正方形性质与判定，证明图形，求解线段、角度相关计算。 【步骤】梳理已知条件，先判定图形，再用正方形性质推理求值。 【易错】判定正方形要同时满足矩形、菱形条件，不能只满足其一。 24 (25-26八年级下云南玉溪期中)如图，己知点在正方形4BCD内，点B在边4D上，BE垂直平 AA 分线段14，连接 B G E 图1 图2 A ·∠AAD (1)如图1，若在对角线BD上，求月 的度数： (2)在(1)的条件下，若AE=2,求CD的长： 8图2，延长M交CD AC∠CAF=45°mAF,BE CG,DG AD 于点F,连 .设 相交于点G,连接 若CG-CB 先猜想 ADG 的形状，再验证你的猜想， 25.(25-26八年级下·陕西商洛期中)【问题背景】己知正方形ABCD,点E,F分别是BC,CD边上的点. 16/30 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)如图1，已知AE⊥BF,垂足为P.求证：AE=BF: (②)如图2，已知点G,H分别在AD,BC边上，连接AH,GE,且GE⊥BF,垂足为P,AH∥GE, 交BF于点I,若GE=10,求BF的长度： 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形ABCD折叠，使得点B恰好落在CD边上的点F处，点A的对应点为点N,折痕ME 分别交AD,BC于点M,E.若正方形的边长为10，ME=11,求CF的长度. 26.(23-24八年级下·广西柳州期中)实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,AD上的点，GE⊥BF于点O, 那么GE=BF.证明过程如下： A G D 0 F M 于点， M H E D D 图1 图2 图3 .GE⊥BF 0 ∴.∠G0OB=90° 过点A作AH∥GE交BC于点H,交BF于点M, .∠AMB=∠GOB=90° ∴.∠ABM+∠BAM=90°， :四边形ABCD为正方形， ∴.AG∥HE,AB=BC,∠ABC=∠C=90°， .∠ABM+∠FBC=∠ABC=90°， 17/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAM=∠FBC. .△ABH≌△BCF(依据)， :AH BF, :AH∥GE,AG∥HE ∴四边形AHEG为平行四边形， .AH=GE ..GE=BF 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是 【问题解决】 (2)如图2，在5×6的正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点M.则∠AMC为 °，并在网格中作图： 【拓展延伸】 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP,PB为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF, 连接DE分别交线段BC,PC于点M,N.求∠DMC的度数， 27.(25-26八年级下·四川南充期中)正方形ABCD中，E为射线AB上一点。 D D G D E B 图1 图2 图3 (L)如图1，F为对角线BD上一点，过点F作EF⊥AB于点E,连接AFCF,若AD=4,AE=3,那么 CF= (2)如图2，E在AB延长线上，F为对角线BD上一点，连接EF、AF、CF、CE,若EF=AF=3,求线段 CE的长： ()如图3，B、G分别为MB、D的中点，连接DE和CG交于点Q,连接40，求证： EO+GO=240 18/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.(25-26八年级下·北京西城期中)已知四边形ABCD是边长为a的正方形，点E为平面内一点，且满 足∠AEB=90° D E 图1 备用图 ()如图1，点E在正方形ABCD内部， AF= Sa,点F是AD上一点，连接FE,当FD=FE时，延长 FE交AB于点G. ①依题意补全图形： ②求△AFG的面积（用含a的式子表示） (2)正方形对角线AC与BD交于点O,点M,N是线段AC上的两个动点，且满足 AN=AM+ 2 ，连 接EM,BN,当OE取最大值时，直接写出DM+EN的最小值. 拔高压轴破难 题型7相似三角形的性质与判定的综合（共5小题） 【模型】先证三角形相似，再利用相似性质求线段、周长与面积。 【步骤】寻找等角证相似，找准对应边，代入比例式计算求值。 【易错】顶点务必对应，面积比是相似比平方，不要直接用相似比。 29.(26-27九年级上·全国·单元测试)如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点 19/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在同一直线上，连接BE,AC,AF,并延长AF交CD于点M. D M F E B (I)求证：△MFC∽△MCA; (2)求证：△ACF△ABE； (3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长. 30.(26-27九年级上四川期中)按要求解答下列问题： D B 图(1) 图(2) 图(3) (1)【操作发现】如图(1)，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=45°，连接AC, BD交于点M. ①AC与BD之间的数量关系为；· ②∠AMB的度数为_； (2)【类比探究】如图(2)，在aOAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC AC 交BD的延长线于点M·请计算BD的值及∠AMB的度数： (3)【实际应用】如图(3)，是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形， 其中 4CB=∠DCE=90,A=D=30且D、E、8在同-直线上，CE=1,BC=21,求点4、D 之间的距离。 31.(25-26九年级上：广东深圳期中)定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边 形 20/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 备用图 (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°角的三角板ADC的 斜边重合，B、D位于AC的两侧，其中∠ACD=30°，连接BD,若BC=2,则AB的长为，AD的长为， 四边形ABCD邻等对补四边形（填“是”或“不是”）； BC 5 AC (2)如图2，在邻等对补四边形4BCD中，AB=AD,∠BCD=60°，若CD3,求AB的值； (3)如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,分别在边BC、AC上取点M、N,使四边形ABMN 是邻等对补四边形，请直接写出BW的长. 32.(25-26九年级上辽宁锦州期中)旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥 着重要的作用.如图1，△ABC与△BDE是具有公共顶点B的两个等腰三角形，AB=AC,BE=DE,若 BE BA ∠ABC=∠EBD,则有BACABED:可得BD=BC,又因为LABE=∠CBD,易得△ABE∽△CBD· 请你借助旋转变换解决下列问题： D G B D E 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，点G为正方形ABCD内一点，连接BG,将线段BG绕点B顺时针旋转9O°得到线段BE,以BG BE为边构造正方形BEFG,连接AG,DF,请求出AG与DF的数量关系： (2)如图3，四边形ABCD中，AC交BD于点O,若∠ADC+∠ABC=180°，求证：∠ABD=∠ACD: (3)如图4，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，∠BDA=60°，BD=5,CD=7,求AD的长. 21/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.(25-26九年级上四川巴中·期中)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线 段做了如下探究： 【观察猜想】 (I)如图1，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD, CE 则BD的值为_： 图1 【类比探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交 ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE·AB=CF·AD E B 图2 【拓展延伸】 (3)如图3，在RteABD中，∠BAD=90P,AD=9,m∠ADB号 3,将AABD沿BD翻折，点A落在点C DE 处得ACBD,点E,F分别在边AB,AD上，连接DE'CF,DE⊥CF,求CF的值. 图3 22/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8二次函数的图象与性质的综合（共5小题） 【模型】结合抛物线开口、对称轴、顶点，综合分析函数增减、最值与符号。 【步骤】确定a,b,c,求出对称轴顶点，结合图象分析变量关系。 【易错】注意自变量范围，判断函数值符号别忽略图象位置。 34。(26-27九年级上辽宁期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数”=-3x- 的图象与轴交于 点司B (点A在点B的左侧)，与'轴交于点C,二次函数 2=-x2+cx-4 的图象经过点B, 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，直线x=1与两个图象分别交于点P,点Q,与x轴交于点E. ①当点E在线段OB上时，求PQ的最大值： ②设点”，Q到直线8C的距离之和为55。 V2时，求的值. ③)二次函数为=-3x-4(≤0)与二次函数”=-+-40<x<4 组成新的函数片，若该函数图象上 有点G,H,且点G与H不重合，点G的横坐标为m,点H的横坐标为-m+2.5,点G,H,之间（含 G,H,两点)的图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围 y=ax2+bx+4 35.(26-27九年级上·全国期中)如图，抛物线 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 23/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 侧)，与y轴交于点C,直线y=-x+k经过B,C两点，点A的坐标为(-2，O),P是第一象限内抛物线上 的一个动点，P№1BC于点Q,设点P的横坐标为n, 备用图 (1)求抛物线的函数解析式： (2)求线段P的最大值，并求此时n的值； (3)在(2)的条件下，当线段PQ取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断 是否存在这样的点M,使得以点B,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的 坐标；若不存在，请说明理由. 36.(26-27九年级上·湖北期中)在平面直角坐标系中，抛物 y=-r+r+cb,C是常数)与轴交 于点1(-0)，B(30）,与'轴交E点C y7ID B B 图1 图2 备用图 (I)直接写出b,C的值，即b= C= (2)如图1，直线I是抛物线的对称轴，点P为直线I的右侧抛物线上的动点，连接PA,过点P作PD⊥PA, 交直线于点D.若PA=PD,点P的横坐标为m,求m的值： (3)如图2，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的 24/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数图象记为M. ①在平面直角坐标系中，求新函数图象M对应的函数解析式： ②坐标平面内另有平行于x轴的直线d,其表达式为y=k,其中k为常数.请结合直线d与新图象M的不 同位置关系，探究方程 -x2+bx+c=k 的根的个数 y=ax2+bx+c 37.(25-26九年级下·重庆巴南期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,已知点A(-4,0),OA=OC,抛物线对称轴为直线x=2. B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)如图，点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,交x轴于点 G,点E为抛物线对称轴上一动点，'点F为y轴上一动点，连接PF,FE,EC,当2PH-BG有最大值时， 求PF+FE+EC的最小值： y=ax2+bx+ (3)将抛物线 沿射线C4方向平移2V5 个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动 点，若∠COM=∠OCB-∠OBC,请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的 一种情况的过程， y=ax+bx-3 38.(25-26九年级下·山东淄博期中)二次函数 A(-3,0),B(1,0)」 的图象与x轴交于 两点，与 y轴交于点C. 25/30 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作ED∥y轴，交x轴于点D,四边形CDAE的面 积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标： (3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q,在x轴上有一点 N(-5,0 ,连接P 在抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得∠HNP+∠BCO=45°，若存在，请求出点H的坐标. 题型9二次函数的应用（共5小题） 【模型】建立二次函数模型，利用顶点求最值，结合图象解决实际问题。 【步骤】审题找等量，列函数关系式，求最值并检验自变量范围。 【易错】求最值要看自变量取值，顶点不一定在实际取值区间内。 39 (26-27九年级上·内蒙古期中)如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m,当水 位上升3m时，水面宽CD=10m 26/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式： (2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位 每小时上涨0.25m,当水位达到CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过 此桥？ 40.(25-26九年级上浙江温州期中)草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养新鲜上市的 草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售 量m(千克)与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t(天) 2 5 10 20 日销售量 m(kg） 12 20 136 160 280 6 0 在这30天内，前25天每天的价格y(元/千克)与时间t(天)的函数关系式为y=+40(1≤1≤25且 t为整数)，从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克， (1)直接写出m关于t的函数关系式一· (2)求第30天当天的销售利润. (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润. 41.(25-26九年级上江西景德镇·期末)掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合 所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手 点的水平距离一直在相应地发生变化. 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离 x(单位：米)与相对地面的竖直高度y(单位：米)的数据，部分数据如下表： 水平距离 6 x/m 竖直高度 2.7 3.15 3.3 3.15 2.7 1.95 y/m 27/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线 是抛物线的一部分. y/m 【解决问题】 ()在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是 米，实心球在空中的最大竖直高度是 米 (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度'（单位：米）与相对出手点的水平距离x(单位：米) 之间的函数关系式： (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平 距离达到或超过78米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由 42.(25-26九年级上辽宁葫芦岛·期中)为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学 与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动.同学们发现，从垂直地面的发射装置OA的 顶端A处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状。 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置OA的高度是0.95米，当顶端A处射出的火星与发射装置OA的水平距离为9米时，达到最大 高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动.以点O为原点，表示地面的直线为x 轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. YA D B x CB衣 图1 图2 【解决问题】·· 28/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求火星运行路线所在抛物线的解析式： (2)如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界B处，求火星运行路线的落地点B与发射装置OA的水平距 离 (③)为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中B处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形BCDE(如图 2),其中DC为0.8米，CB为0.6米.为确保火星落到回收箱内（包含D、E两点），需将烟花发射装置 顶端A向上升高h米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求h的取值范围. 43.(25-26九年级上福建福州期中)项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形(Bounding Box)是视觉识别技术的 一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等.目标矩形 是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框 概念学习：在平面直角坐标系xO少中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、V轴， 图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小.设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常 数为图形的纵横比，举例：如图1，矩形BD为菱形蓝宝石的日标矩形，纵横比k=仁=2. A(4,9)D 8 6 4 (2,4)(6,4) 2 B(4,C 246810x 图 图2 救生圈悬挂点 拱面 水面 图3-1 图3-2 图3-3 【概念理解】(1)如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k=一 【联系实际】(2)如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称， 29/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C到AB的距离为5米，其目标矩形的纵横比K=4,求抛物线的表达式： 【应用拓展】(3)为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图33，为了方便悬 挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m,且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为2m.为美观，放置后救 生圈关于y轴成轴对称分布.求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈 悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）； (4)拱顶离水面最大距离为l0m,该河段水位在此基础上再涨1m达到最高.当水位达到最高时，上游一 个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面下方的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛 出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要m(救生圈大小忽略不计). 30/30