专题02 数轴上的动点问题有关的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

专题02 数轴上的动点问题有关的五种模型 题型一 数轴上动点之相遇问题 题型二 数轴上动点之相距问题 题型三 数轴上动点之三点中点问题 题型四 数轴上动点之新定义型问题 题型五 数轴上动点之折线数轴问题 题型一：数轴上动点之相遇、相距问题 1． 【答案】(1)；1；9 (2)当或时，与相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了多项式的定义、有理数、数轴上的动点问题、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）是最小的正整数可确定b的值，再根据多项式的定义可确定a、c的值； （2）由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为．然后分点在点右侧和左侧两种情况，分别列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵多项式的最高次项的系数为，常数项为． ∴，． 故答案为：；1；9． （2）解：由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为． 当点在点右侧，与相距3个单位长度时，，解得； 当点在点左侧，与相距3个单位长度时，，解得． 综上所述，当或时，与相距3个单位长度． 2． 【答案】(1)； (2)解：运动t秒时，蚂蚁M所在位置的数为，蚂蚁N所在位置的数为， 由题意，得， 整理得：， 当时，解得． 当时，解得． 综上，t的值为​或10． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）先表示出运动t秒时蚂蚁M和蚂蚁N所在位置表示的数，然后根据两只蚂蚁的距离为10列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． （2）略． 3． 【答案】(1) (2) (3)或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，由数轴上两点之间距离表示列方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，结合点的运动情况先求出点表示的数为，点表示的数为，当时，由数轴两点之间距离表示方法计算即可得到答案； （2）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，相遇时，表示出线段长度得到方程求解即可得到答案； （3）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长度为， 故答案为： （2）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 相遇时，即， ， 解得， 答：当秒时，点与点相遇； （3）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 分两种情况： ①相遇前，即， ， 解得； ②相遇后，即， ， 解得； 综上所述，当或秒时，线段的长度为个单位长度． 4． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离公式、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合的思想列方程求解是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求得点B表示的数，再由求解即可； （2）根据点P与点Q相遇时，，列方程求解即可； （3）结合数轴如图分类讨论：分别求得，，或，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵由题意得，点B表示的数是，点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， 当点P与点Q相遇时，， ∴，即， ∴， ∴出发后点P与点Q相遇； （3）解：如图， ，， ∵， ∴， ∴， ∴出发秒后，； 如图， 则，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）   由（2）知：当P、Q重合，即时，， ∴出发或后，． 5． 【答案】（1）16；（2）经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度．点Q所表示的数为或；（3）当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， （1）先求出a，b，再根据两点之间的距离得出答案； （2）先表示出点P，Q表示的数，再根据P、Q两点相距4个单位长度得出两个方程，求出解； （3）先分两种情况：当时，当时，可得点Q表示的数，再根据点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍得出方程，再求出解． 【详解】解：（1）根据题意，，解得， 又因为，即， 解得． 所以A、B两点之间的距离为； （2）设运动时间为秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 又因为P、Q两点相距4个单位长度， 所以或， 解得或． 所以经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度． 当时，点Q所表示的数为， 当时，点Q所表示的数为， 所以此时点Q所表示的数为或； （3）根据题意可知，点P表示的数为，且点Q运动到原点O的时间为． 当时，点Q表示的数为， 当时，点Q表示的数为， 又因为点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍， 所以或， 解得或． 综上所述，当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 6． 【答案】(1)，10 (2) (3)2秒或8秒 (4)3秒或或秒 【分析】此题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，解可得b、c的值； （2）加上点P运动的路程，即可求解； （3）分二种情况进行讨论：当点Q从点A向点C运动时，当点Q从点C向点A运动时，分别求出结果即可； （4）分三种情况进行讨论：当点Q从点A向点C运动时，当点Q从点C向点A运动时，点Q在点P的右侧，当点Q从点C向点A运动时，点Q在点P的左侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得：， 故答案为：，10； （2）由题意得点P运动的路程为， ∴点P在数轴上表示的数为； 故答案为：； （3）秒，秒， 当点Q从点A向点C运动时，点Q表示的数为， ， 解得； 当点Q从点C向点A运动时，点Q表示的数为， ， 解得 综上可知，当、两点重合时，的值为2秒或8秒； （4）秒，秒， 当点Q从点A向点C运动时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ， 解得：， 当点Q从点C向点A运动时，点Q表示的数为，点P表示的数为， 当点Q在点P的右侧时， ， 解得：， 当点Q在点P的左侧时， ， 解得：； 综上分析可知，当P、Q两点之间的距离为6时，t的值为3秒或或秒． 7． 【答案】(1)，3，9 (2)0 (3)①，；② (4)运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度 【分析】（1）根据，得，，解得a和b，利用数轴上两点之间的距离求得，两点的距离即可； （2）由题意知，点运动2秒后，即可知与原点O的距离为0个单位长度； （3）①根据题意可知点P表示的数是，同理表示出点Q表示的数； ②点与点表示的数互为相反数，则有解得t即可； （4）分情况求解，点在点前面和点在点后面，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 则，两点的距离为， 故答案为：，3，9； （2）解：由题意知，点运动2秒后， 则与原点O的距离为0个单位长度， 故答案为：0； （3）解：①因为点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动， 所以点P表示的数是； 因为点Q从点B同时出发，以1个单位/秒的速度向右运动， 所以点Q表示的数， 故答案为：，； ②点与点表示的数互为相反数，则， 解得； （4）解：当点在点前面，则，解得； 当点在点后面，则，解得； 则运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度． 8． 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】本题考查涉及一元一次方程解决动点问题的应用，关键是根据动点的运动时间和速度表示出各线段的长度，再根据等量关系列方程求解． （1）①根据“路程速度时间”直接表示的长度，再用的长度减去的长度得到的长度；②先表示出的长度，再根据列一元一次方程求解； （2）当点在上时，先分别表示出、距离点的线段长度，分在左侧和在右侧两种情况，根据列方程求解，注意验证解是否在取值范围内． 【详解】（1）①解：∵动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴； ∵，动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴， ； 故答案为：，； ②解：当点在上时，， ，解得； （2）解：当点在上运动时，，，，分两种情况： 情况一：点在点左侧，此时， ，解得，符合题意； 情况二：点在点右侧，此时， ，解得，符合题意； 答：当或时，，两点间的距离是． 9． 【答案】(1) (2)， (3) (4)当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算公式即可； （2）根据点、运动的方向及速度即可得出点、表示的数； （3）根据点恰为的中点列出方程计算即可求解； （4）分相遇前及相遇后两种情况，根据，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点B表示的数为． （2）解：∵点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， （3）解：∵点运动到点的时间为秒，点运动到点的时间为秒， ∴点为的中点时，点在点右侧，点在点左侧， ∵点表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵点恰为的中点， ∴，即， 解得：． （4）解：①当点与点相遇之前，， ∵， ∴ 解得：， ②当点与点相遇之后，， ∵， ∴， 解得：， ∴当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 10． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3)t的值为 【分析】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的动点问题，绝对值，平方，掌握知识点是解题的关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，得到，解得，则，即可解答． （2）先求出点P表示的数为，点Q表示的数为，再根据相距5个单位长度，得到， 求出或，即可解答． （3）先求出点C表示的数为2，点M表示的数为，点M表示的数为，分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 解得， ∴， 解，得 ， ∴点C表示的数为2， 故答案为：． （2）解：∵点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点A表示数为， ∴运动时间为秒（）时，点P表示的数为， ∵同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点B表示数为8， ∴运动时间为秒（）时，点Q表示的数为， ∵相距5个单位长度， ∴， 即， 或， 解得或， 答：t的值为或． （3）解：由（2）有，点Q表示的数为，点P表示的数为， ∵当点M到达调转点时，， ∴点M表示的数为，点M表示的数为， 当点M与点Q相遇时， ， 解得， 当点P与点Q相遇时 ， 解得， 当点M调转方向后追上点Q时， ， 解得， 当点M调转方向后与点P相遇时 ， 解得， ①当时，如图 点M在点P、Q之间， 当点M为的中点时， ， ，不符合题意，舍去； ②当时，如图 此时点Q在之间， 当点Q为的中点时， ， 解得，符合题意； ③当时，如图 此时点Q在点P、M之间， 当点Q为的中点时， ， ，不符合题意，舍去； ④当时，如图 此时点P在点Q、M之间， 当点P为的中点时， ， ，符合题意； ⑤当时，如图 此时点M在点Q、P之间， 当点M为的中点时， ， ，符合题意； ⑥当时，如图 此时点Q在点M、P之间， 当点Q为的中点时， ， ，不符合题意； 综上所述，t的值为． 题型二：数轴上动点之定值问题 11． 【答案】(1)，， (2)点运动秒或秒时，，，三点能形成“美丽组” (3)点向右运动， 【分析】本题考查了动点与数轴，一元一次方程与动点几何，整式的加减运算，在数轴上表示有理数，两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性即可得解； （2）设点运动秒时，分别表示出点、、表示的数，分两种情况：当点为的中点时，当点为的中点时，分别方程计算即可； （3）分别表示出点、、表示的数，分两种情况：当点向左运动，当点向右运动，进而表示出，，得到，根据的值始终保持不变，则代数式与时间无关，令含的代数式系数为，解方程即可得解． 【详解】（1）解：，满足， ，， ，， ； 故答案为：，，； （2）解：设点运动秒时，，，三点能形成“美丽组”，点表示的数为：，点表示的数为：， 当点为的中点时，，解得； 当点为的中点时，，解得； 点和点同时以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动， 点不会超过点位于点的左侧，即不存在点为的中点这种情况； 综上，点运动秒或秒时，，，三点能形成“美丽组”； （3）解：，，三点运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点始终在点，两点之间的线段上运动， 当点向左运动，；当点向右运动，； 当点向左运动，点表示的数为：， ，， ， 的值始终保持不变， ，解得，不合题意，故舍去； 当点向右运动，点表示的数为：， ，， ， 的值始终保持不变， ，解得； 综上，点向右运动，． 12． 【答案】(1)8，， (2)在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化， 理由如下： ∵点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴当运动时间为t秒时，点D表示的数为， 又∵当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴， ， ∴， ∴在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化； (3)存在，t的值为1或13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，用含t的式子表示出相关线段的长度是解题的关键． （1）根据点A、B、C表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长；再根据点的运动速度及方向列代数式即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，将其代入中即可得出结论； （3）由题意，先表示出，然后结合，进行分类讨论即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、C表示的数分别为、6， ∴． ∵点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为． 故答案为：8，，； （2）略 （3）解：存在，当运动时间为t秒时，点D表示的数为，点E表示的数为， ∴，． ∵， ∴， 解得：或， ∴在（2）条件下，存在的情况，t的值为1或13． 13． 【答案】(1)，，4 (2)①或； ②不会随着t的变化而改变，理由如下： 由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是， ∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等， ∴点M表示的数是，   ∵，， ∴， 即为定值． 【分析】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，读懂题意，正确列式计算是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置写出答案即可； （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案； ②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为； 故答案为：，，4 （2）解：①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或； ②略 14． 【答案】(1)或 (2)或4 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，整式加减的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）设运动时间为，先根据题意，得点P表示的数为，点N表示的数为，再根据P、N两点相距4个单位，列出方程，即可得出答案； （2）分两种情况：当点为的中点时，当点为的中点时，分别列出方程，解方程即可； （3）先求出，，得出，根据常数使得的值与无关，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，得点P表示的数为，点N表示的数为， 由 P、N两点相距4个单位， 得， 即， 当时，； 当时，； 综上所述，P、N两点相距4个单位时，运动时间为或秒； （2）解：秒后点表示的数为， 点表示的数为， 当点为的中点时， 则：， 解得： ； 当点为的中点时， 则：， 解得：； 综上所述，当中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间的值为或4； （3）解：点运动到点需要的时间为：（秒）， ∴当时，线段向左运动，点表示的数为， ，， ， ∵常数使得的值与无关， ，即． 15． 【答案】(1)6；4； (2)5 (3)①或时，；②当时，，当时，． 【分析】题目主要考查绝对值的平方的非负性，线段的和差，动点问题，一元一次方程的应用等，理解题意，进行分情况分析是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，确定，得出，然后结合线段中点的性质及图形求解即可； （3）①根据题意得：，分两种情况分析：当点Q在之间时，即时；当点Q在左侧时，即时，分别计算求解即可； ②同①类似，分两种情况分析：当点Q在之间时，即时；当点Q在左侧时，即时，分别表示出相应的线段，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6；4； （2）由（1）得， ∵线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段中点，点为线段中点， ∴， ∴； （3）①根据题意得：， 当点Q在之间时，即时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在左侧时，即时， ， ∵， ∴， 解得：； 综上可得：或时，； ②由①得：当点Q在之间时，即时， ，， ∴，， ∴， ∵的值与无关， 设，整理得：， ∴，解得： 当点Q在左侧时，即时， ，，，， ∴， ∵的值与无关， ∴设，整理得：， ∴，解得： 综上可得：当时，，当时，． 题型三：数轴上动点之三点中点问题 16． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 17． 【答案】(1)；； (2) (3)存在；秒或10.8秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据题意直接可得线段的长度，秒后，再求出当时，点表示的数及点表示的数为； （2）秒后点表示的数为，点表示的数为，再列出方程求解即可； （3）分别求出M点表示的数：，N点表示的数：，再求出，再求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度为：； 时，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，，； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， 相遇点表示的数：； （3）解：M点表示的数：， N点表示的数：， ， 即或， 解得：或， 故存在，秒或10.8秒． 18． 【答案】(1) (2)①存在，；②或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，整式加减中的无关型问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据非负性求出，根据三等分点，求出即可； （2）①表示出三个点表示的数，根据两点间的距离公式，以及整式的加减运算法则，求出的值，根据的值不随t的改变而改变，得到值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可；②分3种情况，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，， ∴； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点A在点左侧时， ； ∵的值不随t的改变而改变， ∴， ∴； ②当为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 综上：或或． 19． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 20． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． 题型四：数轴上动点之新定义型问题 21． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 22． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 23． 【答案】(1)；或1； (2)；当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，的值为或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，中点公式，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①求出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②求出，线段的中点表示的数，再根据“中距离”求出线段的中点表示的数，进而可求出点E表示的数； （2）①求出当点与点重合时，此时点E表示的数为，则可求出当时，点A表示的数和点E表示的数，进而可表示出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②分两种情：和，分别表示出两条线段中点表示的数，根据线段与的“中距离”恰好等于线段的长度建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②由题意得，线段的中点表示的数为， ∵线段与的“中距离”为， ∴线段的中点与表示数2的点的距离为2， ∴线段的中点表示的数为或， 当线段的中点表示的数为0时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 当线段的中点表示的数为4时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 综上所述，点E表示的数为或1； （2）解：①当没有改变方向前，点E表示的数为，点B表示的数为， 当点与点重合时，，解得，此时点E表示的数为， ∴运动3秒后，线段随即向数轴负方向运动； ∴当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 解得； 当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 或， 解得或； 综上所述，t的值为1或或5． 24． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． 25． 【答案】（1）点是点，，的“和谐点”，理由： 由题意，得，，， 所以． 所以点是点，，的“和谐点”． （2）的长为3或； （3）点，，，表示的数之和能被4整除，理由： 设，则，，且满足，即，解得． 所以点表示的数为． 因为，且是整数， 所以点，，，表示的数之和能被4整除． 【分析】（1）根据题目算出是否成立即可； （2）用字母表示数轴上的点，结合数轴两点之间的距离，分类讨论即可求解； （3）用字母表示数轴上的点，根据建立方程即可求解，进而可以判断是否能被4整除． 本题考查了数轴上两点之间的距离以及用字母表示数轴上的数，合理运用等量关系是解题关键． 【详解】解：（1）略 （2）如图，以点为原点，以向右的方向为正方向建立数轴，则点表示的数为0，点表示的数为2，点表示的数为5． 设点表示的数为． ①当点在点左侧时，令，即，解得，此时； ②当点在，两点之间时，令，即，解得（不符合题意，舍去）； ③当点在，两点之间时，令，即，解得，此时； ④当点在点右侧时，不成立． 综上所述，的长为3或． （3）略 26． 【答案】(1)P，E (2)0或或5或25 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式，结合“双伴点”的定义进行判断； （2）分和两种情况，结合数轴上两点间距离公式分别列方程求解； （3）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，分或两种情况， 分别列方程求解． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”； （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25． （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或． 27． 【答案】(1)， (2)2或10或0 (3)或或或 【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0可得和的值； （2）分别表示出点和的长度，根据点是点，点的“联盟点”，得到不同的方程，求得合适的解即可； （3）画出图形，分类探讨点和点相遇前；相遇后点在点的左边；相遇后点在点的右边，点是点，点的“联盟点”时的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：由题意得：，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴或， ①，解得：； ②， 解得：， ③，解得：； ④， 解得：（不合题意，舍去）． 综上所述，点在数轴上对应的数为2或10或0． （3）解：、两点相遇需要时间为：（秒）， 两点相遇的点为：． ①点和点未相遇前，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得： ； ②点和点相遇后，点在点的左边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； ③点和点相遇后，点在点的右边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得：． 综上所述：的值为或或或． 28． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或或 【分析】（1）利用数轴分别算出，再结合“k倍分点”的定义分析求解，即可解题； （2）根据点M是点D，A的“2倍分点”，推出或，利用数轴得到，再分情况结合数轴讨论求解，即可解题； （3）根据题意推出点A对应的数与点C对应的数，再根据运动时间为秒，得到，进而推出，根据点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离，分三种情况①当时，②当时，③当时讨论，并结合点C是点N，Q的“3倍分点”，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，， 则， 点是点M，N的“2倍分点”； 由数轴可知，， 则， 点C是点B，N的“2倍分点”； （2）解：点M是点D，A的“2倍分点”， 或， ， 当时，， 则点D对应的数为或， 当时，， 则点D对应的数为或； 综上，点D对应的数分别是或或或； （3）解：点A向左运动4个单位长度，点C向右运动1个单位长度， 点A对应的数为，点C对应的数为， 设运动时间为秒， 由题意得：， 点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离， ， 点M、C、N三点中的任意一点到另外两点的距离相等， ①当时， 对应的数为， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； ②当，点在点左侧时，如图 对应的数为， ， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； ③当时，点在点左侧时，如图 对应的数为， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； 综上，t的值为或或． 29． 【答案】(1)①；②点表示的数为或； (2)①设经过秒后，第一次相遇， 则， 解得， 表示的数为：， 故当时，点在点左侧， ， ， ， ； ②的值为或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及“和倍距”的定义，一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是理解“和倍距”的定义，同时需要结合数轴上两点间的距离公式，分情况讨论动点的位置； （1）①利用数轴上两点间的距离公式求出，再根据定义计算即可；②根据，列出，利用分类讨论的思想进行讨论求解； （2）①先求出相遇的时间和点的位置，再表示出在时，，最后根据定义验证；②根据，分情况讨论的取值范围，结合列方程求解． 【详解】（1）解：①若点表示的数为， 则， ， ； ②解：当点在点左边时，设表示的数为， ， ， 即， 解得：， 点表示的数为； 当点在点右边时，设表示的数为， ， ， 即， 解得：， 点表示的数为； 综上所述：点表示的数为或； （2）解：①略 ②当时，点到点左侧， ， ， ， 即， 解得：， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， ， 当时，， 解得：，满足条件； 当时，， 解得：，不满足条件，舍去； 当时，， 解得：，满足条件， 综上所述：的值为或或． 30． 【答案】(1)N和H (2)或 (3) (4)或或或 【分析】本题主要考查了数轴，两点之间的距离，动点问题，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）根据和谐点的定义即可解答； （2）设点W所表示的数为x，根据题意列方程求解即可； （3）表示出即可解答； （4）分情况讨论，①当点P为的和谐点时，②当点P为的和谐点时，③当点F为的和谐点时，④当点F为的和谐点时，⑤当点E为的和谐点时，⑥当点E为的和谐点时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M到点E的距离是2，点M到点F的距离是6， ∴点M到点E的距离是点M到点F的距离的， ∴点M不是的和谐点； ∵点N到点E的距离是6，点N到点F的距离是2， ∴点N到点E的距离是点N到点F的距离的3倍， ∴点N是的和谐点； ∵点H到点E的距离是12，点H到点F的距离是4， ∴点H到点E的距离是点H到点F的距离的3倍， ∴点H是的和谐点， 故答案为：N和H； （2）解：设点W所表示的数为x， ∵点W是的和谐点， ∴点W到点F的距离是点M到点E的距离的3倍， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：∵点E在点G左侧， ∴， ∴， 由题意存在常数m，使的值与t的取值无关可得， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， 分六种情况讨论： ①当点P为的和谐点时，则， ∴， ∴； ②当点P为的和谐点时，则， ∴， ∴； ③当点F为的和谐点时，则， ∴， ∴； ④当点F为的和谐点时，则， ∴， ∴（不符合题意）； ⑤当点E为的和谐点时，则， ∴， ∴（不符合题意）； ⑥当点E为的和谐点时，则， ∴； ∴； ∴当或或或时，P，E和F中恰有一个点为其余两点的和谐点． 题型五：数轴上动点之折线数轴问题 31． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 32． 【答案】(1) (2)或7 (3)①；②2或或或 【分析】（1）根据题意可得，再求出解即可； （2）先确定点T不在内，再设点T表示的数为x，分两种情况：当点T在点A左侧时，，可得答案；当点T在点A右侧时，，求出解即可； （3）①先求出点P从点A到点O所需时间为，再求出点P从点C到点O所需时间为，然后求出返回时，点P从点C到点O所需时间为，接下来求出点P从点O到点A所需时间为，最后根据点P运动的总时间为得出答案； ②当点P在上时，点Q在上，先根据，再根据得出方程，求出解； 当点P在上时，点Q在上，设点Q在上的时间为，然后分三种情况讨论：当时，点P，Q相遇，，求出解；点P，Q相遇前，，再由得出方程，求出解；当点到达点O时，点P刚好到的中点，并继续向上移动到达点C需要（秒），表示出，根据得出方程求出解； 当点Q在上，点P在向下移动时，再表示出，根据得出方程求出解； 当点P重新回到上时，设点P回到点O后运动时间为，点P回到点O时，点P，Q已经运动了（秒），此时，点Q在上移动了（秒），即，再分两种情况：当点P在点Q右侧时，表示出，根据得出方程，求出解；当点P在点Q左侧时，表示出，再根据得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， 而， ∴点T不在内， 设点T表示的数为x， 当点T在点A左侧时， ， 解得； 当点T在点B右侧时， ， 解得； 所以点T表示的数是或7； （3）解：①∵点O为原点，点A表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数是6， ∴， ∴点P从点A到点O所需时间为． ∵， ∴点P从点O到点C所需时间为， 返回时，点P从点O到点C所需时间为， 点P从点O到点A所需时间为， ∴点P运动的总时间为， 所以点P在第秒时回到了点A； ②（i）当点P在上时，点Q在上， ． ∵， ∴， 解得； （ii）当点P在上时，点Q在上，设点Q在上的时间为， a、当时，点P，Q相遇，， 解得; 点P，Q相遇前，， 由， 得， 解得 此时； b、当点Q到达点O时，点P刚好到的中点，并继续向上移动到达点C需要（秒）， ， 由，得，此时方程无解； c、当点Q在上，点P在向下移动时， ， 由，得， 解得， 此时； （iii）当点P重新回到上时，设点P回到点O后运动时间为，点P回到点O时，点P，Q已经运动了（秒）， 此时，点Q在上移动了（秒），即． a、当点P在点Q右侧时， ， 由，得， 解得， 此时； b、当点P在点Q左侧时， ， 由，得， 解得(舍去)， 综上所述，当或或或时，． 33． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 34． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 35． 【答案】(1)，， (2) (3)当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等 【分析】（1）利用平方与绝对值的非负性，结合非负数的和为0的条件求得a、c，再根据点B到点A的距离及它们在数轴上的位置即可求得b； （2）设相遇时间为t秒，由相遇问题列方程求解t，进而求出相遇时点P运动的路程，结合点P运动的方向即可求点M所对应的数； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当、不在线段上时；当在线段上时；当、在线段上时；当在线段上、在线段上时；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、c满足， ∴，， 解得，， ∵点B到点A的距离为20，由图可知，点B位于点A的右侧， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， 设相遇时间为t秒，由题意得， 解得， ∴相遇时点P运动路程为， ∵动点P从点A出发沿着数轴的正方向运动， ∴相遇点M所对应的数是； （3）解：由（1）知，，， ∴，， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， ∴走完用时为秒，走完用时秒； ∵动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的倍， ∴走完用时为秒，走完用时秒； 根据、的位置可分种情况讨论： ①当、不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ②当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ③当、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ④当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 综上，当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02数轴上的动点问题有关的五种模型 题型归纳 题型一数轴上动点之相遇问题 题型二数轴上动点之相距问题 题型三数轴上动点之三点中点问题 题型四数轴上动点之新定义型问题 题型五数轴上动点之折线数轴问题 题型专练 题型一：数轴上动点之相遇、相距问题 1.(25-26七年级上河北沧州期末)如图，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数C,其中 b是最小的正整数，且多项式-2x+32-5x2y2+9的最高次项的系数为a,常数项为c. A B C (1)a= b= (②)若点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为 秒，当t为何值时B与C相距3个单位长度？ 2.(26-27七年级上·重庆璧山阶段检测)如图，点A、B在数轴上表示的数分别为-12和8，两只蚂蚁 M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为1个单位长度 秒. M A 0 B (1)运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是一： (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）· 3.(25-26七年级上河南周口·期末)如图，数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数为8，点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度 1/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿数轴向左匀速运动，设运动时间为1秒(1≥0)： PO QB→ (1)当t=2时，线段P2的长度为. (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？ (3)当1为何值时，线段PQ的长度为2个单位长度？ 4.(25-26七年级上河北唐山期末)如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上在A左侧的一点， 且A,B两点间的距离为20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运 动时间为(>0)秒. B9→0 ←PA 0 12 (1)数轴上点B表示的数是 点P表示的数是 一（用含t的代数式表示）： (2)若在点P出发的同时，动点Q从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发 几秒后，点P与点相遇？ (3)若点P、Q出发的同时，点M从原点O以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，则出发 秒后，MP=MQ 5.(25-26七年级上陕西延安·阶段检测)【问题背景】己知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表 示的数减去左侧的点所表示的数来计算.如图，在数轴上，点A表示的数为α，点B表示的数为b,且满足 2a+3=-5,-b-4a=4.动点P从点A出发，以1个单位秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点0从 点B出发，以2个单位秒的速度沿数轴向负半轴运动 【问题再现】(I)求A、B两点之间的距离； 【问题推广】(2)经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数； 【拓展提升】(3)设点P运动的时间为t秒(>0)，若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向： 当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点 Q到原点0距离的2倍. A 0 B 6.(25-26七年级上·吉林长春期中)已知数轴上A,B,C三个点表示的数分别是-10，b,C,且满足： b+2+(c-10=0,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点C运动，同时，另一动 点9也从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动至点C后，立刻以原来的速度返回到A点停止， 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点P运动时间为t秒.(1>0) B C -10 (1)b= c= (2)点P在数轴上表示的数为 (用含t的代数式表示)： (3)当B、Q两点重合时，求t的值： (4)当P、Q两点之间的距离为6时，直接写出t的值. 7.(25-26七年级上·吉林长春期中)如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a,点B表示的数 为b,且a、b满足a+6+b-3=0.点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位秒 的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位秒的速度向右运动；设运动时间为t秒. A 0 B ()A,B两点对应的数分别为a=一，b= ,A,B两点的距离为 (2)点P运动2秒后，与原点O的距离为一个单位长度； (3)①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是 :Q是 ②求出P、Q同时向右运动几秒时，点P与点表示的数互为相反数； (④)请直接写出运动几秒后，点P与点Q两点相距3个单位长度 8.(25-26七年级上山东青岛期末)如图，四边形ABCD是长方形，AB=4cm,BC=8cm,动点P从点 A出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C向点C匀速运动：动点从点B出发，以每秒lcm的速度沿BC 向点C匀速运动.P,Q两点同时出发，其中一点到达点C后，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(0<t<6) A D B可 备用图 (1)当点P在AB上运动时， ①用含t的代数式表示：AP= 0C= ②当I为何值时，BP=BQ? (2)当点P在BC上运动，t为何值时，P,Q两点间的距离是lcm? 9.(25-26七年级上广东深圳阶段检测)如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B是数轴上在点A左 3/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 侧的一点，且A,B两点间的距离为12.点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运 动，同时，另一点Q从原点O出发，也沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点P的运动时 间为t秒. B O B O A BO A (I)点B表示的数为 (2)数轴上点P表示的数为 点Q表示的数为 (用含t的代数式表示) (3)经过多少秒点B恰为P2的中点？ (④)当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为7个单位长度？ 10.(25-26七年级上重庆巴南期末)背景知识： 若数轴上点M,N表示的数分别为m,n,则M,N两点间的距离MNm-n;线段N的中点表示为 m+n 2 如图，数轴上A,B两点对应的数分别为a,b,其中a,b满足la+b+2+(b-8)=0;点C在数轴上所对 5 应的数是x:且x是方程x=2-3的解，点O为原点. A OC B (1)填空：a=,x= ,AB=: (2)点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长 度的速度向左匀速运动，若运动时间为秒(t≥0)，求运动多少秒后相距5个单位长度： (3)在(2)问的已知条件下，点M同时从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，运动3秒 后立即调转方向，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设点M运动的时间为秒(（≥0），当点P、 点Q、点M中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，请直接写出符合条件的的值. 题型二：数轴上动点之定值问题 11.(25-26七年级上广东广州期末)如图，数轴上的点A,B分别对应数a,数b,且a,b满足 (a+4)+b-12=0,点C位于数轴原点处. 4/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B a 0 b (1)填空：a= b= AB= (2)若点A和点B同时以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左运动，点C在原点处保持位置不变，若点A, B,C中有一点是另外两点构成的线段的中点，则此时A,B,C三点形成“美丽组”，试求点A运动多 少秒时，A,B,C三点能形成“美丽组”？ (3)当点A以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左运动时，点B以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右 运动，点C则从原点出发以每秒m个单位长度的速度运动.设A,B,C三点的运动时间为秒，已知在 运动过程中，点C始终在点A,B两点之间的线段上运动，并且3BC-AC的值始终保持不变，求点C的 运动方向及m的值. 12.(25-26七年级上全国期末)阅读以下动点材料： ①如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为-2、1、6，点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点C 之间的距离表示为BC,点A与点C之间的距离表示为AC. A,, B C -5-4-3-2-101234567 ②若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度 向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动.设点D、E、F同时出发，运动时间为t 秒， (I)填空：AC=_；点E表示的数为_；点F表示的数为； (2)在点D、E、F的运动过程中，EF-DE的值是否会发生变化？写出你的猜想并说明理由： (3)在(2)条件下，是否存在DE=2CE的情况，若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由， 13.(25-26七年级上河北石家庄阶段检测)如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位到 达A点，再向左移动6个单位到达B点，然后向右移动12个单位到达C点. -8-7-6-5-4-3-2-1012345→ (I)请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为一，点B表示的数为一，点C表示 的数为一； (2)若动点P、旦分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒3个单位和每秒6个单位， 设移动时间为(t>0)秒」 ①当PQ=6时，求t的值： 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②运动过程中，点M到p~Q两点的距离始终保持相等，试探究QC-手4M的省是否会随者，的变化而改 3 变？请说明理由. 14.(25-26七年级上·甘肃天水阶段检测)如图，在数轴上有A、B、C三点，所表示的数分别是6,2， -10,有两条动线段P吧和MN满足P2=2,MN=4,初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线 段PQ以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段MN以每秒1个单位的速度从点B 开始沿数轴向左匀速运动. M M O B C A O B 备用图 (1)当P、N两点相距4个单位时，运动时间为多少秒？ (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段P9、MN同时停止运动，当C,卫，M中某一点为另外 两点构成线段的中点时，求时间t的值： (3)当点Q运动到点B时，线段PQ立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段PQ,MW同时 停止运动，设运动时间为t秒，当1>5时，存在两个常数m,n使得m:QC-n:NC的值与t无关，请直接 用等式表示m与n的数量关系 15.(25-26七年级上广东广州期末)如图，点A、B、C在同一直线上，线段AB长为a,BC长为b, 且满足(a-6)=-b-4」 11 A B A MB EN F 图1 图2 (1)a的值为 ,b的值为 (2)如图2，线段BC沿着射线AB方向向右运动2个单位长度得到线段EF,即BE长度为2，若点M为线段 AE中点，点N为线段BF中点，求线段MN的长： (3)如图1，点P从点B开始以每秒2个单位长度的速度向左边运动，同时点Q从点C以每秒1个单位速度 向左运动，设运动的时间为秒， ①若BP=3BO,求t的值： PO+mBO ②若PC 的值与无关，求m的值. 题型三：数轴上动点之三点中点问题 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26七年级上：河北唐山期末)A,B两点在数轴上的位置如图所示，点B在点A的右侧，其中点 A对应的有理数为4，AB=12.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同 时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度与点P同向运动，设运动时间为t秒(1>0). A B -4 0 (1)当t=3时，AP的长是一，点P表示的有理数为一 (2)点P追上点Q时，求t的值： (3)当P=4时，求t的值： (4)当P、Q两点中任意一点成为图中A、B、P、Q四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有1 的值. 17.(25-26七年级上湖南邵阳·期末)动点探究题： 如图，在数轴上点A表示的数为-12，点B表示的数为10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速 度沿数轴向右匀速运动；同时，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设 运动时间为t秒(t>0)】 A B -12 0 10→ ()运动开始前，线段AB的长度为一；当(=3时，点P表示的数为 点卫表示的数为 (2)当P,Q两点相遇时，求相遇点所表示的数 (3)若点M为线段AP的中点，点N为线段BQ的中点，在运动过程中，是否存在t使得MN=5?若存在， 请求出t的值；若不存在，请说明理由. 18.(25-26七年级上：湖北省直辖县级单位·期末)已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B, C,a,c满足la+6+(c-9)厂=0，其中点B为线段AC的三等分点，且点B位于数轴正半轴上. 0 (1)填空：a=_,b=-,C=_; (②)若在数轴上，点A以每秒3个单位长度向右运动，同时点B,点C分别以每秒2个，1个单位长度的速 度向左运动，设运动时间为秒 ①当点A在点C左侧时，是否存在常数，使得AC+mBC的值不随t的改变而改变？若存在，请求出： 若不存在，请说明理由； ②求t为多少时，A,B,C三点中恰好有一个点为另外两点所连线段的中点. 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26七年级上·江西景德镇期末)【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A,B表示的数分别是a,b (1)当a,b分别取下列值时，求A,B两点间的距离 a=3,b=6;a=-3,b=6;a=-3,b=-6 (2)用a,b表示A,B两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 (1)用a,b表示A,B两点之间的距离是 【解决问题】 (2)当表示数x的点在-4与3之间移动时，可以发现x+4+x-3引的值总是一个固定的值，这个值是 (3)如图，己知数轴上有A,B两点，分别表示的数为-10,6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A 出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，点P，Q均运动到 对方起点后停止（不返回），设运动时间为t秒(>0)： 0 0 6 ①点P运动秒后所在位置的点表示的数为， :点Q运动（秒后所在位置的点表示的数为 (用含t的式子表示) ②P,Q两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点P,Q运动过程中，O,P,Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时 t的值 20.(25-26七年级上·全国期末)已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为，点B对应 的数为b,且a、b满足la+20+(b-12)=0,点C在数轴上对应的数为c,且c是方程3x-6=x+2的解. P R 图1 图2 (I)数轴上点A、B、C表示的数a=」 C= (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发， 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距 离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动， 已知点P的速度是点R的速度的2倍，点Q的速度是点R的速度3倍少2个单位长度/秒.经过2秒时，P、 Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点.请求出动点R的运动速度. 题型四：数轴上动点之新定义型问题 21.(25-26七年级上广东深圳期末)【定义】 点M,N,P在同一直线上，当点P满足PM=2PN或PN=2PM时，则称点P是点M,N的“倍点”. 【理解】 (1)若点AB,P在数轴上表示的数分别为-1,1,3，则点P是否为点AB的“倍点”？ (填“是”或“否”) (2)如图1，点C,D在数轴上对应的数分别为4,5，点P是数轴上的一个动点，从原点O出发，以1 个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为‘秒： ①点P对应的数为」 ；PC= (请用含t的代数式表示)： ②当运动时间t为何值时，点P恰好是点C,D的“倍点”？请求出符合条件的t值. D 4 0 5 图1 E G 图2 【拓展】 (3)小明和小颖同时从公园入口F出发，沿笔直道路骑行至指定点G(如图2)，骑行速度开始均为 5ms,F,G间距离为900m.当骑行至道路上的自助售货机E处时，小明停下来买矿泉水，停留20s后， 以6ms的速度继续骑行，最终两人同时到达G点.请求出EF的长度，同时判断自助售货机E处是否为点 F,G的“倍点”，并说明理由 22.(25-26七年级上北京延庆期末)对于数轴上不重合的两点M,N,给出如下规定：若该数轴上存在 一点P,通过比较线段PM和PN的长度，将较短线段的长度称为点P到线段MW的“近距离”·特别地， 若线段PM和PN的长度相等，则线段PM或PN的长度为点P到线段MN的“近距离” 9/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M -98-7-6-5-4-3-2-1012345678> 图1 P M N 9-8-76-5-43-2-1012345678> 图2 (1)如图1，点M表示的数为-4，点N表示的数为2. ①若点P表示的数是-2，则点P到线段MN的“近距离”为 ②若点A表示的数为4，点A到线段MN的“近距离”为3，则a的值为 (2)如图2，在数轴上，点P表示的数为6，点M表示的数为-3，点N表示的数为2.点P以每秒2个单 位长度的速度向右运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度向左运动.设点P、N运动的时间为 (>O)秒，当点P到线段MN的“近距离”为2时，直接写出t的值， 23.(25-26七年级上全国期末)对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点V是 线段b的中点，称线段MN的长度为线段a与b的“中距离”· 已知数轴上，线段AB=2(点A在点B的左侧)，EF=6(点E在点F的左侧)· 6-5-4-3-2-10123456 (1)当点A表示1时， ①若点C表示-2，点D表示-1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的 “中距离”为一： ②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 (2)线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个 单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB、EF都向数轴正方向运动；当点E与 点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动.运动过程中，线段AB、EF 的速度始终保持不变. 设运动时间为秒， ①当t=2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 ②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值. 24.(25-26七年级上·北京期末)在数轴上，如果线段AB之间依次排列的点M1,M2,M,…,M 将AB线段n等分，则这n-1个点都叫做线段AB的n等分点.若M1是靠近A的第1个n等分点，记为 A[n,,M2是靠近A的第2个n等分点，记为A[n,2],,M1是靠近A的第n-1个n等分点，记为 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A[n,n-1]. (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b(a<b), A B 0 A[5,2] B[5,1]b→ 2(b-a) 点A[5,2]为线段B上靠近点A的第2个五等分点，则点A5,2]表示的数为a+ 5 点B5,列为线段AB上靠近点B的第1个五等分点，则点B5,表示的数为b- 5 根据小利的探究，若a、b分别为-2、4，则点A[6,表示的数为，点B[6,2]表示的数为 (2)数轴上A、B两点表示的数分别为-10、-2， ①数轴上C、D两点表示的数分别为-6、4，若线段AB的等分点A[4,与线段CD的等分点C0,x-刂重 合，则x的值为一： ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动， 点M为线段AQ的中点，记点A与M的距离为人，点B[8,3]为线段BP的等分点，记点B与B[8,3]的距离 为2，当与2相等时，请直接写出此时t的值。 25.(25-26七年级上湖南株洲期末)【定义】 点M,N，是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P满足PM+PW=P№，则称点P是点M, N,Q的“和谐点”. A B(O)P C B C 543克10234 a a+4 a+8 图① 图② 【理解】 (1)如图①，在数轴上，点A,B,C,P表示的数分别为-2,0,5,1，点P是不是点A,B,C的 “和谐点”？请通过计算作出判断 (2)点A,B,C是一条直线上从左到右的三个点，且AB=2,BC=3,若点P是点A,B,C的“和 谐点”，求PA的长 【拓展】 (3)如图②，在数轴上，点A,B,C表示的数分别为a,a+4,a+8(a是整数)，点P在点A的左 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 侧，且点P是点A,B,C的“和谐点”，点A,B,C,P表示的数之和是否能被4整除？请通过计算 作出判断， 26.(26-27七年级上·四川成都阶段检测)【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另 外两个点的距离之比为：2，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”. 例如，如图O,数轴上点M,P,N分别表示0,1,2，那么点M是点P,N的“双伴点” MP N G A B 43方1024→ -1012 -5 0 10 图① 图② 图③ (1)如图②，数轴上点P,E,F,G分别表示-3，-2,0,3，那么点一是点F,G的“双伴点”； 点是点P,F的“双伴点”；（只能填写图②中的字母) (2)【问题解决】如图③，点A和B在数轴上表示的数分别是-5和10，点C是点A,B的“双伴点”，求 点C在数轴上表示的数， (3)【应用拓展】在(2)的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动： 动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动.点PQ同时出发，当其中一点到 达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点A是点P,点Q的“双伴点”？ 27.(26-27七年级上浙江金华阶段检测)对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点 与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“联盟点”，例如，如图，数轴 上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4，此时点B是点A,C的“联盟点”若点M表示数m,点N表 示数n,且m,n满足m+2|+n-40,点P为数轴上的一个动点，点P对应的数为x. A B C 012345 (1)计算：m= n= (2)若点P在点M的右侧，且点P是点M,点N的“联盟点”，求出此时点P在数轴上对应的数x; (3)若动点P从点M处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时动点⑨从点N处以1个单位长度/秒的速度 向左运动，在相遇后，点Q立刻原速返回，且到达点N后停止运动.设点P运动的时间为秒，在整个运 动过程中，当点P是点Q,点N的“联盟点”时，请直接写出的值 28.(26-27七年级上·湖南长沙阶段检测)定义：数轴上的三点，如果其中一点与近点距离是它与远点距 离的元，则称该点是其他两点的“k倍分点”·例如：数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,0,2，满 足点B与点A的距离恰好是点B与点C距离的2，则称此时点B是点A,C的“2倍分点”·己知点A, B,C,M,N在数轴上所表示的数如图所示 12/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A B C 542161支34567→ (1)A,B,C三点中，点 是点M,N的“2倍分点”；点C是点B,N的“ 倍分点”： (2)若数轴上点M是点D,A的“2倍分点”，则点D对应的数分别是 (3)点A向左运动4个单位长度，点C向右运动1个单位长度，点M,N在数轴上开始运动，动点P、Q分 别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动.点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单 位长度，点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离.设运动时间为>0)秒，点C、N9在数轴上 依次向右排列，且点C是点N,Q的“3倍分点”，当点MC、N三点中的任意一点到另外两点的距离相 等时，求出t的值. 29.(25-26七年级上辽宁沈阳期末)已知点P在直线AB上，若满足PA+PB=k·AB,我们称k为点P 关于AB的“和倍距”，记作KpMB=k.反之，若KpB=k,则PA+PB=k·AB.例如，如图1，点P 在线段AB的延长线上，AB=4,PB=2,因为PA+PB=2AB,所以KMB=2, B 图1 A B 8-7-6-5-4-3=2寸012345678910i2 图2 B N -6 0 12 图3 如图2，数轴上点A,B表示的数分别是6,12. (1)点P是数轴上的动点， ①若点P表示的数是-8，求KPB的值： 4 ②若K=3,求点p表示的数. (2)如图3，点M从A出发，沿数轴以3个单位/秒的速度向右运动，同时点N从B出发，沿数轴以1个单 位/秒的速度向右运动，点M,N在点C处相遇后都立即掉头向左运动，点M按原速运动，点N的速度变 为原来的5倍，设运动时间为秒， ①当0<1<9时，试说明KcMw=2: 13/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当K4Mw=3时，请直接写出t的值. 30.(25-26七年级上·黑龙江七台河·期末)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以 将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点A、点B表示的数分别为a,b,若a>b,则A,B两点之间的距离用AB表示，AB=a-b;点 A向右运动m个单位长度(m>0)后，点A表示的数为：a+m,点A向左运动m个单位长度(m>0) 后，点A表示的数为：a-m. 【新知学习】若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是 (4,B)的和谐点.例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为3.表示2的点C到点A的距离是 3,到点B的距离是1，那么点C是(4B)的和谐点：又如，表示O的点D到点A的距离是1，到点B的距 离是3，那么点D就不是(4B)的和谐点，但点D是(B,A)的和谐点。 【知识应用】如图2，E,F为数轴上两点，点E所表示的数为-7.点F所表示的数为1. 图1 E F -87-6-5-4-3-2-1012→ 图2 F -8-7-6-5-4-3-2-1012→ 图3 ()点M,N,H表示的数分别是-5，-1,5.其中是(E,F)和谐点的是· (2)(F,E)的和谐点W所表示的数是_ (3)在图3中，数轴上有一点G表示数-1，点E、点G和点F分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和2 个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒(1>0)，当点E在点G左侧时，若存在常 数m,使mFG-GE的值与t的取值无关，则m的值为_· (4)如图3，现有一只电子蚂蚁P从点F开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点E时停止运动， 当t为何值时，P,E和F中恰有一个点为其余两点的和谐点？ 题型五：数轴上动点之折线数轴问题 31.(25-26七年级下·吉林长春期中)如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数 轴”，图中点A表示-8，点B表示6，点C表示12，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距20个单位长 度.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B 14/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点P到达终点C时停止运动；点P出发的同时，动点Q 从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变 为原来的2倍，之后也立刻恢复原速.当点P停止运动时，点Q也随之停止.设点P的运动的时间为秒 (>0)」 B 12 -8 0 (I)动点P从点A运动至C点需要秒： (2)当1=7时，点P在“折线数轴”上所对应的数是_，P、Q两点在“折线数轴”上相距_个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求t的值； (④4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、O两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出( 的取值范围。 32.(26-27七年级上江苏连云港·阶段检测)如图，点A、O、C、B为数轴上的点，其中A,B两点在数 轴上所表示的数分别为m,n,且心，n满足：m+8+(n-6)=0,O为原点，C表示的数是2，我们将数 轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样 的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡 数轴”拉直后对应的数.记AB为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即AB=AO+OC+CB,其中 AO,CO,CB代表线段的长度 C B y m 0 (I)由题意可知A、B两点所表示的数m= n= (2)若点T为“折坡数轴”上一点，且TA+TB=16,请求出点T所表示的数： (3)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平 路线上移动速度的2倍，动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O,再 上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P出发的同时，动点Q从点B处沿“折 坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C,再下坡到点O,然后再沿OA方向移动，当点P重新 回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t秒，在移动过程中： ①点P在第 秒时回到点A; ②当t= 时，PQ=2PO.(请直接写出t的值) 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.(25-26七年级上山西吕梁期末)综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”， 探究“折线数轴” 如图，将一条数轴在原点O、点B、点C处折一下，得到一条“折线数 轴”（原对应关系不变）·图中点A表示的数是-16，点B表示的数是4， 点C表示的数是16，点D表示的数是28.在“折线数轴”上，两点之间的 “友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点A与点D在“折 素材利 线数轴”上的“友好距离”为：28-（一16列=4，并表示为4D=44,计算 距离是沿折线路径累加，而非直线距离. P→ B -16 0 ←O D 16 28 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其 正方向运动，当运动到点O与点B之间时，速度变为初始速度的2，当运 素材2 动到点B与点C之间时，速度变为初始速度的2倍，经过点C后立刻恢复 初始速度。 在动点P运动的同时，动点从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿着 素材3 “折线数轴”向负方向运动，且经过折点C，B，O时速度始终保持不 变 问题解决 (1)探究1 与点B的“友好距离”等于5的点在线段_上.动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探究2 动点P从点A出发，运动秒至点B和点C之间时，求点P表示的数.（用含t的代数式表示） (3)探究3 当P，Q两点分别同时从点A、点D出发，求P,Q两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在 数轴上所表示的数. 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.(25-26七年级上广东深圳期末)如图1，已知数轴上的三个点A,B,C表示的数分别为-8,9， 15.如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示.现有一动点P从点 A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动， 当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回.已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方 向(AO,BC段)运动期间速度为2个单位长度/秒，在OB上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半， 在BO下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒. A B 图1 B O 图2 B A户 O 备用图 (1)点P沿OB方向上坡的速度为一个单位长度/秒，点Q沿B0方向下坡的速度为 个单位长度/秒： (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段OQ的中点时，求此时t的值 35.(26-27七年级上江苏南京阶段检测)已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对 应的数分别是a、b、c,其中a,c满足(a+12)+c-16=0,点B到点A的距离为20. A 0 B A 图1 图2 B B A 0 C 0 C 备用 备用 (1)求a、b、c的值. (2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发， 以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M 所对应的数是多少： (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数 轴”上的距离为28个单位长度)·动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1 个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立 刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点 在“折线数轴”的距离相等. 18/18 专题02 数轴上的动点问题有关的五种模型 题型一 数轴上动点之相遇问题 题型二 数轴上动点之相距问题 题型三 数轴上动点之三点中点问题 题型四 数轴上动点之新定义型问题 题型五 数轴上动点之折线数轴问题 题型一：数轴上动点之相遇、相距问题 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为，常数项为． (1)___________，___________，___________； (2)若点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒，当为何值时与相距3个单位长度？ 【答案】(1)；1；9 (2)当或时，与相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了多项式的定义、有理数、数轴上的动点问题、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）是最小的正整数可确定b的值，再根据多项式的定义可确定a、c的值； （2）由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为．然后分点在点右侧和左侧两种情况，分别列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵多项式的最高次项的系数为，常数项为． ∴，． 故答案为：；1；9． （2）解：由题意得，运动秒后点，点表示的数分别为． 当点在点右侧，与相距3个单位长度时，，解得； 当点在点左侧，与相距3个单位长度时，，解得． 综上所述，当或时，与相距3个单位长度． 2．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒． (1)运动_____秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是_____； (2)若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值（写出解题过程）． 【答案】(1)； (2)解：运动t秒时，蚂蚁M所在位置的数为，蚂蚁N所在位置的数为， 由题意，得， 整理得：， 当时，解得． 当时，解得． 综上，t的值为​或10． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）先表示出运动t秒时蚂蚁M和蚂蚁N所在位置表示的数，然后根据两只蚂蚁的距离为10列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． （2）略． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： (1)当时，线段的长度为________； (2)当为何值时，点与点相遇？ (3)当为何值时，线段的长度为个单位长度？ 【答案】(1) (2) (3)或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，由数轴上两点之间距离表示列方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，结合点的运动情况先求出点表示的数为，点表示的数为，当时，由数轴两点之间距离表示方法计算即可得到答案； （2）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，相遇时，表示出线段长度得到方程求解即可得到答案； （3）由（1）知点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长度为， 故答案为： （2）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 相遇时，即， ， 解得， 答：当秒时，点与点相遇； （3）解：由（1）知点表示的数为，点表示的数为， 分两种情况： ①相遇前，即， ， 解得； ②相遇后，即， ， 解得； 综上所述，当或秒时，线段的长度为个单位长度． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为12，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为20，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)若在点出发的同时，动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：出发几秒后，点与点相遇？ (3)若点、出发的同时，点从原点以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，则出发________秒后，． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离公式、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合的思想列方程求解是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求得点B表示的数，再由求解即可； （2）根据点P与点Q相遇时，，列方程求解即可； （3）结合数轴如图分类讨论：分别求得，，或，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵由题意得，点B表示的数是，点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， 当点P与点Q相遇时，， ∴，即， ∴， ∴出发后点P与点Q相遇； （3）解：如图， ，， ∵， ∴， ∴， ∴出发秒后，； 如图， 则，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）   由（2）知：当P、Q重合，即时，， ∴出发或后，． 5．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）【问题背景】已知数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足，．动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动，同时动点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向负半轴运动． 【问题再现】（1）求A、B两点之间的距离； 【问题推广】（2）经过几秒后，P、Q两点相距4个单位长度，并求此时点Q所表示的数； 【拓展提升】（3）设点P运动的时间为t秒（），若在运动过程中，动点P始终保持原速度原方向；当Q到达原点O时，立即返回，以原速度沿数轴向正半轴运动，当t为何值时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 【答案】（1）16；（2）经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度．点Q所表示的数为或；（3）当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， （1）先求出a，b，再根据两点之间的距离得出答案； （2）先表示出点P，Q表示的数，再根据P、Q两点相距4个单位长度得出两个方程，求出解； （3）先分两种情况：当时，当时，可得点Q表示的数，再根据点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍得出方程，再求出解． 【详解】解：（1）根据题意，，解得， 又因为，即， 解得． 所以A、B两点之间的距离为； （2）设运动时间为秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 又因为P、Q两点相距4个单位长度， 所以或， 解得或． 所以经过12秒或20秒后，P、Q两点相距4个单位长度． 当时，点Q所表示的数为， 当时，点Q所表示的数为， 所以此时点Q所表示的数为或； （3）根据题意可知，点P表示的数为，且点Q运动到原点O的时间为． 当时，点Q表示的数为， 当时，点Q表示的数为， 又因为点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍， 所以或， 解得或． 综上所述，当s或s时，点P到原点O的距离是点Q到原点O距离的2倍． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且满足：，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点运动，同时，另一动点也从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动至点后，立刻以原来的速度返回到点停止，设点运动时间为秒．（） (1)___________，___________； (2)点在数轴上表示的数为___________（用含的代数式表示）； (3)当、两点重合时，求的值； (4)当、两点之间的距离为6时，直接写出的值． 【答案】(1)，10 (2) (3)2秒或8秒 (4)3秒或或秒 【分析】此题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，解可得b、c的值； （2）加上点P运动的路程，即可求解； （3）分二种情况进行讨论：当点Q从点A向点C运动时，当点Q从点C向点A运动时，分别求出结果即可； （4）分三种情况进行讨论：当点Q从点A向点C运动时，当点Q从点C向点A运动时，点Q在点P的右侧，当点Q从点C向点A运动时，点Q在点P的左侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得：， 故答案为：，10； （2）由题意得点P运动的路程为， ∴点P在数轴上表示的数为； 故答案为：； （3）秒，秒， 当点Q从点A向点C运动时，点Q表示的数为， ， 解得； 当点Q从点C向点A运动时，点Q表示的数为， ， 解得 综上可知，当、两点重合时，的值为2秒或8秒； （4）秒，秒， 当点Q从点A向点C运动时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ， 解得：， 当点Q从点C向点A运动时，点Q表示的数为，点P表示的数为， 当点Q在点P的右侧时， ， 解得：， 当点Q在点P的左侧时， ， 解得：； 综上分析可知，当P、Q两点之间的距离为6时，t的值为3秒或或秒． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒． (1)，两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______； (2)点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度； (3)①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数； (4)请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度． 【答案】(1)，3，9 (2)0 (3)①，；② (4)运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度 【分析】（1）根据，得，，解得a和b，利用数轴上两点之间的距离求得，两点的距离即可； （2）由题意知，点运动2秒后，即可知与原点O的距离为0个单位长度； （3）①根据题意可知点P表示的数是，同理表示出点Q表示的数； ②点与点表示的数互为相反数，则有解得t即可； （4）分情况求解，点在点前面和点在点后面，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 则，两点的距离为， 故答案为：，3，9； （2）解：由题意知，点运动2秒后， 则与原点O的距离为0个单位长度， 故答案为：0； （3）解：①因为点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动， 所以点P表示的数是； 因为点Q从点B同时出发，以1个单位/秒的速度向右运动， 所以点Q表示的数， 故答案为：，； ②点与点表示的数互为相反数，则， 解得； （4）解：当点在点前面，则，解得； 当点在点后面，则，解得； 则运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度． 8．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是长方形，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒的速度沿向点匀速运动．，两点同时出发，其中一点到达点后，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当点在上运动时， ①用含的代数式表示：________，________； ②当为何值时，？ (2)当点在上运动，为何值时，，两点间的距离是？ 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】本题考查涉及一元一次方程解决动点问题的应用，关键是根据动点的运动时间和速度表示出各线段的长度，再根据等量关系列方程求解． （1）①根据“路程速度时间”直接表示的长度，再用的长度减去的长度得到的长度；②先表示出的长度，再根据列一元一次方程求解； （2）当点在上时，先分别表示出、距离点的线段长度，分在左侧和在右侧两种情况，根据列方程求解，注意验证解是否在取值范围内． 【详解】（1）①解：∵动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴； ∵，动点的速度是每秒，运动时间为秒， ∴， ； 故答案为：，； ②解：当点在上时，， ，解得； （2）解：当点在上运动时，，，，分两种情况： 情况一：点在点左侧，此时， ，解得，符合题意； 情况二：点在点右侧，此时， ，解得，符合题意； 答：当或时，，两点间的距离是． 9．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点B表示的数为___________． (2)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________；（用含的代数式表示） (3)经过多少秒点恰为的中点？ (4)当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算公式即可； （2）根据点、运动的方向及速度即可得出点、表示的数； （3）根据点恰为的中点列出方程计算即可求解； （4）分相遇前及相遇后两种情况，根据，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点B表示的数为． （2）解：∵点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， （3）解：∵点运动到点的时间为秒，点运动到点的时间为秒， ∴点为的中点时，点在点右侧，点在点左侧， ∵点表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵点恰为的中点， ∴，即， 解得：． （4）解：①当点与点相遇之前，， ∵， ∴ 解得：， ②当点与点相遇之后，， ∵， ∴， 解得：， ∴当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 10．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）背景知识： 若数轴上点M，N表示的数分别为m，n，则M，N两点间的距离；线段MN的中点表示为． 如图，数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，其中a，b满足；点在数轴上所对应的数是，且是方程的解，点为原点． (1)填空：_____，_______，_____； (2)点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，若运动时间为秒（），求运动多少秒后相距5个单位长度； (3)在（2）问的已知条件下，点同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，运动3秒后立即调转方向，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设点运动的时间为秒，当点、点、点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3)t的值为 【分析】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的动点问题，绝对值，平方，掌握知识点是解题的关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，得到，解得，则，即可解答． （2）先求出点P表示的数为，点Q表示的数为，再根据相距5个单位长度，得到， 求出或，即可解答． （3）先求出点C表示的数为2，点M表示的数为，点M表示的数为，分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 解得， ∴， 解，得 ， ∴点C表示的数为2， 故答案为：． （2）解：∵点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点A表示数为， ∴运动时间为秒（）时，点P表示的数为， ∵同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点B表示数为8， ∴运动时间为秒（）时，点Q表示的数为， ∵相距5个单位长度， ∴， 即， 或， 解得或， 答：t的值为或． （3）解：由（2）有，点Q表示的数为，点P表示的数为， ∵当点M到达调转点时，， ∴点M表示的数为，点M表示的数为， 当点M与点Q相遇时， ， 解得， 当点P与点Q相遇时 ， 解得， 当点M调转方向后追上点Q时， ， 解得， 当点M调转方向后与点P相遇时 ， 解得， ①当时，如图 点M在点P、Q之间， 当点M为的中点时， ， ，不符合题意，舍去； ②当时，如图 此时点Q在之间， 当点Q为的中点时， ， 解得，符合题意； ③当时，如图 此时点Q在点P、M之间， 当点Q为的中点时， ， ，不符合题意，舍去； ④当时，如图 此时点P在点Q、M之间， 当点P为的中点时， ， ，符合题意； ⑤当时，如图 此时点M在点Q、P之间， 当点M为的中点时， ， ，符合题意； ⑥当时，如图 此时点Q在点M、P之间， 当点Q为的中点时， ， ，不符合题意； 综上所述，t的值为． 题型二：数轴上动点之定值问题 11．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上的点，分别对应数，数，且，满足，点位于数轴原点处． (1)填空：___________，___________，___________， (2)若点和点同时以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，点在原点处保持位置不变，若点，，中有一点是另外两点构成的线段的中点，则此时，，三点形成“美丽组”，试求点运动多少秒时，，，三点能形成“美丽组”？ (3)当点以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动时，点以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，点则从原点出发以每秒个单位长度的速度运动．设，，三点的运动时间为秒，已知在运动过程中，点始终在点，两点之间的线段上运动，并且的值始终保持不变，求点的运动方向及的值． 【答案】(1)，， (2)点运动秒或秒时，，，三点能形成“美丽组” (3)点向右运动， 【分析】本题考查了动点与数轴，一元一次方程与动点几何，整式的加减运算，在数轴上表示有理数，两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性即可得解； （2）设点运动秒时，分别表示出点、、表示的数，分两种情况：当点为的中点时，当点为的中点时，分别方程计算即可； （3）分别表示出点、、表示的数，分两种情况：当点向左运动，当点向右运动，进而表示出，，得到，根据的值始终保持不变，则代数式与时间无关，令含的代数式系数为，解方程即可得解． 【详解】（1）解：，满足， ，， ，， ； 故答案为：，，； （2）解：设点运动秒时，，，三点能形成“美丽组”，点表示的数为：，点表示的数为：， 当点为的中点时，，解得； 当点为的中点时，，解得； 点和点同时以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动， 点不会超过点位于点的左侧，即不存在点为的中点这种情况； 综上，点运动秒或秒时，，，三点能形成“美丽组”； （3）解：，，三点运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点始终在点，两点之间的线段上运动， 当点向左运动，；当点向右运动，； 当点向左运动，点表示的数为：， ，， ， 的值始终保持不变， ，解得，不合题意，故舍去； 当点向右运动，点表示的数为：， ，， ， 的值始终保持不变， ，解得； 综上，点向右运动，． 12．（25-26七年级上·全国·期末）阅读以下动点材料： ①如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为、1、6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． ②若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒， (1)填空： ；点E表示的数为 ；点F表示的数为 ； (2)在点D、E、F的运动过程中，的值是否会发生变化？写出你的猜想并说明理由； (3)在（2）条件下，是否存在的情况，若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)8，， (2)在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化， 理由如下： ∵点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， ∴当运动时间为t秒时，点D表示的数为， 又∵当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为， ∴， ， ∴， ∴在点D、E、F的运动过程中，的值会发生变化； (3)存在，t的值为1或13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，用含t的式子表示出相关线段的长度是解题的关键． （1）根据点A、B、C表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长；再根据点的运动速度及方向列代数式即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，将其代入中即可得出结论； （3）由题意，先表示出，然后结合，进行分类讨论即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、C表示的数分别为、6， ∴． ∵点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴当运动时间为t秒时，点E表示的数为，点F表示的数为． 故答案为：8，，； （2）略 （3）解：存在，当运动时间为t秒时，点D表示的数为，点E表示的数为， ∴，． ∵， ∴， 解得：或， ∴在（2）条件下，存在的情况，t的值为1或13． 13．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位到达点，再向左移动6个单位到达点，然后向右移动12个单位到达点． (1)请你直接写出、、三点所表示的数，点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)若动点、分别从、两点同时向左移动，点、的速度分别为每秒3个单位和每秒6个单位，设移动时间为秒． ①当时，求的值； ②运动过程中，点到、两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)，，4 (2)①或； ②不会随着t的变化而改变，理由如下： 由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是， ∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等， ∴点M表示的数是，   ∵，， ∴， 即为定值． 【分析】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，读懂题意，正确列式计算是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置写出答案即可； （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案； ②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为； 故答案为：，，4 （2）解：①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或； ②略 14．（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，在数轴上有A、B、C三点，所表示的数分别是，2，，有两条动线段和满足，，初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动．    (1)当P、N两点相距4个单位时，运动时间为多少秒？ (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段、同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值； (3)当点运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接用等式表示m与n的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或4 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，整式加减的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）设运动时间为，先根据题意，得点P表示的数为，点N表示的数为，再根据P、N两点相距4个单位，列出方程，即可得出答案； （2）分两种情况：当点为的中点时，当点为的中点时，分别列出方程，解方程即可； （3）先求出，，得出，根据常数使得的值与无关，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，得点P表示的数为，点N表示的数为， 由 P、N两点相距4个单位， 得， 即， 当时，； 当时，； 综上所述，P、N两点相距4个单位时，运动时间为或秒； （2）解：秒后点表示的数为， 点表示的数为， 当点为的中点时， 则：， 解得： ； 当点为的中点时， 则：， 解得：； 综上所述，当中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间的值为或4； （3）解：点运动到点需要的时间为：（秒）， ∴当时，线段向左运动，点表示的数为， ，， ， ∵常数使得的值与无关， ，即． 15．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，点、、在同一直线上，线段长为，长为，且满足． (1)的值为______，的值为______； (2)如图2，线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，即长度为2，若点为线段中点，点为线段中点，求线段的长； (3)如图1，点从点开始以每秒2个单位长度的速度向左边运动，同时点从点以每秒1个单位速度向左运动，设运动的时间为秒， ①若，求的值； ②若的值与无关，求的值． 【答案】(1)6；4； (2)5 (3)①或时，；②当时，，当时，． 【分析】题目主要考查绝对值的平方的非负性，线段的和差，动点问题，一元一次方程的应用等，理解题意，进行分情况分析是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，确定，得出，然后结合线段中点的性质及图形求解即可； （3）①根据题意得：，分两种情况分析：当点Q在之间时，即时；当点Q在左侧时，即时，分别计算求解即可； ②同①类似，分两种情况分析：当点Q在之间时，即时；当点Q在左侧时，即时，分别表示出相应的线段，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6；4； （2）由（1）得， ∵线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段中点，点为线段中点， ∴， ∴； （3）①根据题意得：， 当点Q在之间时，即时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在左侧时，即时， ， ∵， ∴， 解得：； 综上可得：或时，； ②由①得：当点Q在之间时，即时， ，， ∴，， ∴， ∵的值与无关， 设，整理得：， ∴，解得： 当点Q在左侧时，即时， ，，，， ∴， ∵的值与无关， ∴设，整理得：， ∴，解得： 综上可得：当时，，当时，． 题型三：数轴上动点之三点中点问题 16．（25-26七年级上·河北唐山·期末），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)的值为3或4或8． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：∵点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当P是中点时，， 解得； 当Q是中点时，，解得，不符合题意，舍去； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，的值为3或4或8． 17．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）动点探究题： 如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为10，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，线段的长度为________；当时，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当，两点相遇时，求相遇点所表示的数． (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，是否存在使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)存在；秒或10.8秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据题意直接可得线段的长度，秒后，再求出当时，点表示的数及点表示的数为； （2）秒后点表示的数为，点表示的数为，再列出方程求解即可； （3）分别求出M点表示的数：，N点表示的数：，再求出，再求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度为：； 时，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，，； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， 相遇点表示的数：； （3）解：M点表示的数：， N点表示的数：， ， 即或， 解得：或， 故存在，秒或10.8秒． 18．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，a，c满足，其中点B为线段的三等分点，且点B位于数轴正半轴上． (1)填空： ， ， ； (2)若在数轴上，点A以每秒3个单位长度向右运动，同时点B，点C分别以每秒2个，1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒． ①当点A在点C左侧时，是否存在常数m，使得的值不随t的改变而改变？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由； ②求t为多少时，A，B，C三点中恰好有一个点为另外两点所连线段的中点． 【答案】(1) (2)①存在，；②或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，整式加减中的无关型问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据非负性求出，根据三等分点，求出即可； （2）①表示出三个点表示的数，根据两点间的距离公式，以及整式的加减运算法则，求出的值，根据的值不随t的改变而改变，得到值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可；②分3种情况，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，， ∴； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点A在点左侧时， ； ∵的值不随t的改变而改变， ∴， ∴； ②当为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得； 综上：或或． 19．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）用，表示，两点之间的距离是____________． 【解决问题】 （2）当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是___________； （3）如图，已知数轴上有，两点，分别表示的数为，6，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动，点，均运动到对方起点后停止（不返回），设运动时间为秒． ①点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；点运动秒后所在位置的点表示的数为____________；（用含的式子表示） ②，两点经过多少秒会相距6个单位长度？ ③在点，运动过程中，，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）7；（3）①；；②秒或秒；③或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值意义进行化简求值即可； （3）①根据点P、Q移动的速度表示出点P、Q表示的数即可； ②由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，构建绝对值方程，再解方程即可； ③分四种情况讨论：当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时，当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时，当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时，当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时，分别列出方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）用，表示，两点之间的距离是； （2）∵表示数的点在与3之间移动， ∴， ∴； （3）①∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度从点出发沿数轴向左匀速运动， ∴点运动秒后所在位置的点表示的数为，点运动秒后所在位置的点表示的数为； ②∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距6个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过秒或秒时相距6个单位长度； ③当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：； 当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧时， 由题意得：， 解得：， 当时，，， ∴当时，点Q在原点右侧，点P在原点左侧，不符合题意； 当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间时， 由题意得， 解得：； 当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间时， 由题意得：， 解得：； 综上所述：，，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，或或． 20．（25-26七年级上·全国·期末）已知数轴上有、、三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点、、表示的数________、________、________； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，经过多少秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度？ (3)如图2，若动点、两点同时从、出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动，已知点的速度是点的速度的倍，点的速度是点的速度倍少个单位长度/秒．经过秒时，、、三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请求出动点的运动速度． 【答案】(1)，12，4 (2)经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度 (3)点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、一元一次方程的应用以及中点的性质，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合距离和中点的性质列方程，是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求出、的值，再解方程求出的值． （2）设运动时间为未知数，用含时间的式子表示出、两点的位置，根据两点距离为列绝对值方程求解． （3）设点的运动速度为未知数，用含速度的式子表示出秒后、、三点的位置，分三种情况讨论其中一点为另外两点的中点，列方程求解并检验解的合理性． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，， 解方程得， ， 故答案为：，，； （2）解：设经过秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度． 由题意得，运动秒后点表示的数为，点表示的数为， 、之间的距离恰好等于， ， ， 或， 解得或， 经过秒或秒时，、之间的距离恰好等于个单位长度； （3）解：设点的运动速度为个单位长度/秒，则点的运动速度为个单位长度/秒， 点的运动速度为个单位长度/秒，则运动秒后点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 当点为，的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得； 当点为、的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，点的运动速度为个单位长度/秒或个单位长度/秒． 题型四：数轴上动点之新定义型问题 21．（25-26七年级上·广东深圳·期末）【定义】 点在同一直线上，当点满足或时，则称点是点的“倍点”． 【理解】 （）若点在数轴上表示的数分别为，，，则点是否为点的“倍点”？________（填“是”或“否”） （）如图，点在数轴上对应的数分别为，，点是数轴上的一个动点，从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒： ①点对应的数为________；________（请用含的代数式表示）； ②当运动时间为何值时，点恰好是点的“倍点”？请求出符合条件的值． 【拓展】 （）小明和小颖同时从公园入口出发，沿笔直道路骑行至指定点（如图），骑行速度开始均为，间距离为．当骑行至道路上的自助售货机处时，小明停下来买矿泉水，停留后，以的速度继续骑行，最终两人同时到达点．请求出的长度，同时判断自助售货机处是否为点的“倍点”，并说明理由． 【答案】（）是； （）①；；②或； （）自助售货机处是点的“倍点”，理由： 设小明买完水后继续骑行的时间为秒， 由题意得，， 解得， ， ∴， ， ∴自助售货机处是点的“倍点”． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式求出的长，再根据“倍点”的定义即可判断求解； （）①根据题意及数轴上两点间距离公式解答即可求解；②由题意可得的情况不成立，则，再根据数轴上两点间距离公式列出方程即可求解； （）设小明买完水后继续骑行的时间为秒，可得，解得，再分别求出的长，进而根据“倍点”的定义即可判断求解； 本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在数轴上表示的数分别为，，， ∴，， ∴， ∴是点的“倍点”， 故答案为：是；   （）①∵点从原点出发，以个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为秒， ∴点对应的数为； ∵点在数轴上对应的数为， ∴， 故答案为：；； ②∵点从原点出发向右匀速运动， ∴的情况不成立，则， 即， 解得或； （）略 22．（25-26七年级上·北京延庆·期末）对于数轴上不重合的两点，给出如下规定：若该数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度称为点到线段的“近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则线段或的长度为点到线段的“近距离” (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为2． ①若点P表示的数是，则点P到线段的“近距离”为___________； ②若点A表示的数为a，点A到线段的“近距离”为3，则a的值为___________； (2)如图2，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2．点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动．设点、运动的时间为秒，当点到线段的“近距离”为2时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或或； (2)或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）①分别求出和，再根据“近距离”的定义作答即可；②分三种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可； （2）由题意可知，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点和点的位置关系，分四种情况讨论，利用“近距离”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为2，点P表示的数是， ，， 点P到线段的“近距离”为， 故答案为： ②当点在点左侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， ，点A到线段的“近距离”为3， ， ，， 解得：； 当点在点右侧时，，，且， 点A到线段的“近距离”为3， ， 解得：； 综上可知，a的值为或或； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ①当时，点在点左侧，此时， ， 解得：； ②当时，点在点、之间，且， ， 解得：，不符合题意； ③当时，点在点、之间，且， ， 解得： 此时，不符合题意； ④当时，点在点右侧，此时， ， 解得：， 综上可知，当点到线段的“近距离”为2时，的值为或． 23．（25-26七年级上·全国·期末）对数轴上的点和线段，给出如下定义：点是线段的中点，点是线段的中点，称线段的长度为线段与的“中距离”． 已知数轴上，线段（点在点的左侧），（点在点的左侧）． (1)当点表示时， 若点表示，点表示，点表示，则线段与的“中距离”为，线段与的“中距离”为______； 若线段与的“中距离”为，则点表示的数是______． (2)线段、同时在数轴上运动，点从表示的点出发，点从原点出发，线段的速度为每秒个单位长度，线段的速度为每秒个单位长度，开始时，线段、都向数轴正方向运动；当点与点重合时，线段随即向数轴负方向运动，仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段、的速度始终保持不变． 设运动时间为秒． 当时，线段与的“中距离”为______； 当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，求的值． 【答案】(1)；或1； (2)；当线段与的“中距离”恰好等于线段的长度时，的值为或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，中点公式，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①求出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②求出，线段的中点表示的数，再根据“中距离”求出线段的中点表示的数，进而可求出点E表示的数； （2）①求出当点与点重合时，此时点E表示的数为，则可求出当时，点A表示的数和点E表示的数，进而可表示出两条线段的中点表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②分两种情：和，分别表示出两条线段中点表示的数，根据线段与的“中距离”恰好等于线段的长度建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②由题意得，线段的中点表示的数为， ∵线段与的“中距离”为， ∴线段的中点与表示数2的点的距离为2， ∴线段的中点表示的数为或， 当线段的中点表示的数为0时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 当线段的中点表示的数为4时，∵，且点E在点F左侧， ∴点E表示的数为； 综上所述，点E表示的数为或1； （2）解：①当没有改变方向前，点E表示的数为，点B表示的数为， 当点与点重合时，，解得，此时点E表示的数为， ∴运动3秒后，线段随即向数轴负方向运动； ∴当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ②当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 解得； 当时，点A表示的数为，点E表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∴线段与的“中距离”为； ∵线段与的“中距离”恰好等于线段的长度， ∴， 或， 解得或； 综上所述，t的值为1或或5． 24．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，如果线段之间依次排列的点，，，…，将线段n等分，则这个点都叫做线段的n等分点．若是靠近A的第1个n等分点，记为，是靠近A的第2个n等分点，记为，…，是靠近A的第个n等分点，记为． (1)小利探究发现： 如图，点A、B表示的数分别为a、b（）， 点为线段上靠近点A的第2个五等分点，则点表示的数为， 点为线段上靠近点B的第1个五等分点，则点表示的数为． 根据小利的探究，若a、b分别为、4，则点表示的数为______，点表示的数为______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为、， ①数轴上C、D两点表示的数分别为、4，若线段的等分点与线段的等分点重合，则x的值为_____； ②点P从A点出发以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从B点出发以每秒4个单位的速度向左移动，点M为线段的中点，记点A与M的距离为，点为线段的等分点，记点B与的距离为，当与相等时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)，2 (2)①3；②和 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、列代数式及一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据等分点公式可直接进行求解； （2）①根据等分点公式列出代数式，再根据两点重合列出方程，再求解即可； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为：再列出方程，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度为． 点是靠近点的第1个六等分点，其表示的数为： 点是靠近点的第2个六等分点，其表示的数为： 所以，点表示的数为，点表示的数为2． 故答案为：，2； （2）解：①由题意可得：线段的长度．线段的长度． 点在线段上，其表示的数为： 点在线段上，其表示的数为： 由两点重合得： 解得： 所以的值为3． 故答案为：3； ②由题意可得：点表示的数为：．点表示的数为：．点为线段的中点，其表示的数为： 点与点的距离为： 点为线段上靠近点的第3个八等分点，其表示的数为： ， 点与点的距离为： 由得： 分三种情况讨论： 1．当时：．代入得：，解得： 2．当时：．代入得：，解得： 3．当时：．代入得：，解得： 但，不满足，舍去． 综上所述，当时，的值为和． 25．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）【定义】 点，，是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点满足，则称点是点，，的“和谐点”．    【理解】 （1）如图①，在数轴上，点，，，表示的数分别为，0，5，1，点是不是点，，的“和谐点”？请通过计算作出判断． （2）点，，是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点是点，，的“和谐点”，求的长． 【拓展】 （3）如图②，在数轴上，点，，表示的数分别为，，（是整数），点在点的左侧，且点是点，，的“和谐点”，点，，，表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． 【答案】（1）点是点，，的“和谐点”，理由： 由题意，得，，， 所以． 所以点是点，，的“和谐点”． （2）的长为3或； （3）点，，，表示的数之和能被4整除，理由： 设，则，，且满足，即，解得． 所以点表示的数为． 因为，且是整数， 所以点，，，表示的数之和能被4整除． 【分析】（1）根据题目算出是否成立即可； （2）用字母表示数轴上的点，结合数轴两点之间的距离，分类讨论即可求解； （3）用字母表示数轴上的点，根据建立方程即可求解，进而可以判断是否能被4整除． 本题考查了数轴上两点之间的距离以及用字母表示数轴上的数，合理运用等量关系是解题关键． 【详解】解：（1）略 （2）如图，以点为原点，以向右的方向为正方向建立数轴，则点表示的数为0，点表示的数为2，点表示的数为5． 设点表示的数为． ①当点在点左侧时，令，即，解得，此时； ②当点在，两点之间时，令，即，解得（不符合题意，舍去）； ③当点在，两点之间时，令，即，解得，此时； ④当点在点右侧时，不成立． 综上所述，的长为3或． （3）略 26．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”． 例如，如图①，数轴上点分别表示0，1，2，那么点是点的“双伴点”． (1)如图②，数轴上点，，，分别表示，，0，3，那么点_____是点，的“双伴点”；点_____是点，的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） (2)【问题解决】如图③，点和在数轴上表示的数分别是和10，点是点，的“双伴点”，求点在数轴上表示的数． (3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动．点同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点是点，点的“双伴点”？ 【答案】(1)P，E (2)0或或5或25 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式，结合“双伴点”的定义进行判断； （2）分和两种情况，结合数轴上两点间距离公式分别列方程求解； （3）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，分或两种情况， 分别列方程求解． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”； （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25． （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或． 27．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“联盟点”，例如，如图，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为． (1)计算：______________，______________； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)2或10或0 (3)或或或 【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0可得和的值； （2）分别表示出点和的长度，根据点是点，点的“联盟点”，得到不同的方程，求得合适的解即可； （3）画出图形，分类探讨点和点相遇前；相遇后点在点的左边；相遇后点在点的右边，点是点，点的“联盟点”时的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：由题意得：，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴或， ①，解得：； ②， 解得：， ③，解得：； ④， 解得：（不合题意，舍去）． 综上所述，点在数轴上对应的数为2或10或0． （3）解：、两点相遇需要时间为：（秒）， 两点相遇的点为：． ①点和点未相遇前，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得： ； ②点和点相遇后，点在点的左边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； ③点和点相遇后，点在点的右边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得：． 综上所述：的值为或或或． 28．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：数轴上的三点，如果其中一点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两点的“k倍分点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足点B与点A的距离恰好是点B与点C距离的，则称此时点B是点A，C的“2倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点______________是点M，N的“2倍分点”；点C是点B，N的“______________倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“2倍分点”， 则点D对应的数分别是______________ (3)点A向左运动4个单位长度，点C向右运动1个单位长度，点M，N在数轴上开始运动，动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离．设运动时间为秒，点C、N、Q在数轴上依次向右排列，且点C是点N，Q的“3倍分点”，当点M、C、N三点中的任意一点到另外两点的距离相等时，求出t的值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或或 【分析】（1）利用数轴分别算出，再结合“k倍分点”的定义分析求解，即可解题； （2）根据点M是点D，A的“2倍分点”，推出或，利用数轴得到，再分情况结合数轴讨论求解，即可解题； （3）根据题意推出点A对应的数与点C对应的数，再根据运动时间为秒，得到，进而推出，根据点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离，分三种情况①当时，②当时，③当时讨论，并结合点C是点N，Q的“3倍分点”，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，， 则， 点是点M，N的“2倍分点”； 由数轴可知，， 则， 点C是点B，N的“2倍分点”； （2）解：点M是点D，A的“2倍分点”， 或， ， 当时，， 则点D对应的数为或， 当时，， 则点D对应的数为或； 综上，点D对应的数分别是或或或； （3）解：点A向左运动4个单位长度，点C向右运动1个单位长度， 点A对应的数为，点C对应的数为， 设运动时间为秒， 由题意得：， 点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离， ， 点M、C、N三点中的任意一点到另外两点的距离相等， ①当时， 对应的数为， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； ②当，点在点左侧时，如图 对应的数为， ， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； ③当时，点在点左侧时，如图 对应的数为， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； 综上，t的值为或或． 29．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知点在直线上，若满足，我们称为点关于的“和倍距”，记作．反之，若，则．例如，如图1，点在线段的延长线上，，因为，所以． 如图2，数轴上点A，B表示的数分别是，12． (1)点是数轴上的动点． ①若点P表示的数是，求的值； ②若，求点表示的数． (2)如图3，点从出发，沿数轴以3个单位／秒的速度向右运动，同时点从出发，沿数轴以1个单位／秒的速度向右运动，点M，N在点处相遇后都立即掉头向左运动，点按原速运动，点的速度变为原来的5倍，设运动时间为秒． ①当时，试说明； ②当时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②点表示的数为或； (2)①设经过秒后，第一次相遇， 则， 解得， 表示的数为：， 故当时，点在点左侧， ， ， ， ； ②的值为或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及“和倍距”的定义，一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是理解“和倍距”的定义，同时需要结合数轴上两点间的距离公式，分情况讨论动点的位置； （1）①利用数轴上两点间的距离公式求出，再根据定义计算即可；②根据，列出，利用分类讨论的思想进行讨论求解； （2）①先求出相遇的时间和点的位置，再表示出在时，，最后根据定义验证；②根据，分情况讨论的取值范围，结合列方程求解． 【详解】（1）解：①若点表示的数为， 则， ， ； ②解：当点在点左边时，设表示的数为， ， ， 即， 解得：， 点表示的数为； 当点在点右边时，设表示的数为， ， ， 即， 解得：， 点表示的数为； 综上所述：点表示的数为或； （2）解：①略 ②当时，点到点左侧， ， ， ， 即， 解得：， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， ， 当时，， 解得：，满足条件； 当时，， 解得：，不满足条件，舍去； 当时，， 解得：，满足条件， 综上所述：的值为或或． 30．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，若，则A，B两点之间的距离用表示，；点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【新知学习】若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是的和谐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是的和谐点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的和谐点，但点D是的和谐点． 【知识应用】如图2，E，F为数轴上两点，点E所表示的数为．点F所表示的数为1． (1)点M，N，H表示的数分别是，5．其中是和谐点的是 ． (2)的和谐点W所表示的数是 ． (3)在图3中，数轴上有一点G表示数，点E、点G和点F分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒（），当点E在点G左侧时，若存在常数m，使的值与t的取值无关，则m的值为 ． (4)如图3，现有一只电子蚂蚁P从点F开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点E时停止运动，当t为何值时，P，E和F中恰有一个点为其余两点的和谐点？ 【答案】(1)N和H (2)或 (3) (4)或或或 【分析】本题主要考查了数轴，两点之间的距离，动点问题，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）根据和谐点的定义即可解答； （2）设点W所表示的数为x，根据题意列方程求解即可； （3）表示出即可解答； （4）分情况讨论，①当点P为的和谐点时，②当点P为的和谐点时，③当点F为的和谐点时，④当点F为的和谐点时，⑤当点E为的和谐点时，⑥当点E为的和谐点时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M到点E的距离是2，点M到点F的距离是6， ∴点M到点E的距离是点M到点F的距离的， ∴点M不是的和谐点； ∵点N到点E的距离是6，点N到点F的距离是2， ∴点N到点E的距离是点N到点F的距离的3倍， ∴点N是的和谐点； ∵点H到点E的距离是12，点H到点F的距离是4， ∴点H到点E的距离是点H到点F的距离的3倍， ∴点H是的和谐点， 故答案为：N和H； （2）解：设点W所表示的数为x， ∵点W是的和谐点， ∴点W到点F的距离是点M到点E的距离的3倍， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：∵点E在点G左侧， ∴， ∴， 由题意存在常数m，使的值与t的取值无关可得， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， 分六种情况讨论： ①当点P为的和谐点时，则， ∴， ∴； ②当点P为的和谐点时，则， ∴， ∴； ③当点F为的和谐点时，则， ∴， ∴； ④当点F为的和谐点时，则， ∴， ∴（不符合题意）； ⑤当点E为的和谐点时，则， ∴， ∴（不符合题意）； ⑥当点E为的和谐点时，则， ∴； ∴； ∴当或或或时，P，E和F中恰有一个点为其余两点的和谐点． 题型五：数轴上动点之折线数轴问题 31．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 32．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，点A、O、C、B为数轴上的点，其中A，B两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：，O为原点，C表示的数是2，我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度． (1)由题意可知A、B两点所表示的数________，________； (2)若点T为“折坡数轴”上一点，且，请求出点T所表示的数； (3)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P出发的同时，动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下坡到点O，然后再沿方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t秒，在移动过程中： ①点P在第________秒时回到点A； ②当________时，．（请直接写出t的值） 【答案】(1) (2)或7 (3)①；②2或或或 【分析】（1）根据题意可得，再求出解即可； （2）先确定点T不在内，再设点T表示的数为x，分两种情况：当点T在点A左侧时，，可得答案；当点T在点A右侧时，，求出解即可； （3）①先求出点P从点A到点O所需时间为，再求出点P从点C到点O所需时间为，然后求出返回时，点P从点C到点O所需时间为，接下来求出点P从点O到点A所需时间为，最后根据点P运动的总时间为得出答案； ②当点P在上时，点Q在上，先根据，再根据得出方程，求出解； 当点P在上时，点Q在上，设点Q在上的时间为，然后分三种情况讨论：当时，点P，Q相遇，，求出解；点P，Q相遇前，，再由得出方程，求出解；当点到达点O时，点P刚好到的中点，并继续向上移动到达点C需要（秒），表示出，根据得出方程求出解； 当点Q在上，点P在向下移动时，再表示出，根据得出方程求出解； 当点P重新回到上时，设点P回到点O后运动时间为，点P回到点O时，点P，Q已经运动了（秒），此时，点Q在上移动了（秒），即，再分两种情况：当点P在点Q右侧时，表示出，根据得出方程，求出解；当点P在点Q左侧时，表示出，再根据得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， 而， ∴点T不在内， 设点T表示的数为x， 当点T在点A左侧时， ， 解得； 当点T在点B右侧时， ， 解得； 所以点T表示的数是或7； （3）解：①∵点O为原点，点A表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数是6， ∴， ∴点P从点A到点O所需时间为． ∵， ∴点P从点O到点C所需时间为， 返回时，点P从点O到点C所需时间为， 点P从点O到点A所需时间为， ∴点P运动的总时间为， 所以点P在第秒时回到了点A； ②（i）当点P在上时，点Q在上， ． ∵， ∴， 解得； （ii）当点P在上时，点Q在上，设点Q在上的时间为， a、当时，点P，Q相遇，， 解得; 点P，Q相遇前，， 由， 得， 解得 此时； b、当点Q到达点O时，点P刚好到的中点，并继续向上移动到达点C需要（秒）， ， 由，得，此时方程无解； c、当点Q在上，点P在向下移动时， ， 由，得， 解得， 此时； （iii）当点P重新回到上时，设点P回到点O后运动时间为，点P回到点O时，点P，Q已经运动了（秒）， 此时，点Q在上移动了（秒），即． a、当点P在点Q右侧时， ， 由，得， 解得， 此时； b、当点P在点Q左侧时， ， 由，得， 解得(舍去)， 综上所述，当或或或时，． 33．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 34．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 35．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对应的数分别是a、b、c，其中a、c满足，点B到点A的距离为20． (1)求a、b、c的值． (2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)，， (2) (3)当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等 【分析】（1）利用平方与绝对值的非负性，结合非负数的和为0的条件求得a、c，再根据点B到点A的距离及它们在数轴上的位置即可求得b； （2）设相遇时间为t秒，由相遇问题列方程求解t，进而求出相遇时点P运动的路程，结合点P运动的方向即可求点M所对应的数； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当、不在线段上时；当在线段上时；当、在线段上时；当在线段上、在线段上时；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、c满足， ∴，， 解得，， ∵点B到点A的距离为20，由图可知，点B位于点A的右侧， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， 设相遇时间为t秒，由题意得， 解得， ∴相遇时点P运动路程为， ∵动点P从点A出发沿着数轴的正方向运动， ∴相遇点M所对应的数是； （3）解：由（1）知，，， ∴，， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， ∴走完用时为秒，走完用时秒； ∵动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的倍， ∴走完用时为秒，走完用时秒； 根据、的位置可分种情况讨论： ①当、不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ②当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ③当、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ④当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 综上，当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $