专题02 数轴动点问题的六类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“点的位置”为核心，通过六类题型系统构建数轴动点问题的“特征-方法”体系，实现从基础运动到变速折返的逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|提炼“点的位置”底线原则，明确时间、速度、定值核心要素|以数轴基本概念为起点，建立运动问题的统一分析框架| |题型归纳|6类（每类1典例+2-3变式）|时间问题用分类讨论与方程；速度问题建等量关系；数量关系与定值问题用距离公式；折叠问题结合对称性质；变速折返问题分段分析|从单一运动到复合运动，难度梯度递增，覆盖相遇、停留、变速等核心情境| |压轴挑战|9题|综合运用分类讨论、动态建模，强化多过程问题的分段处理|对接中考压轴题命题趋势，提升复杂情境下的数学思维与模型意识|

专题02 数轴动点问题的六类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点运动时间问题 题型二、动点运动速度问题 题型三、动点之间数量关系问题 题型四、动点中的定值问题 题型五、数轴折叠中的动点问题 题型六、数轴上动点变速折返问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴动点问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕动点运动时间、几速度、定值问题展开，其中压轴题还涉及到动点变速与往返运动问题，解题贯穿基本底线原则：点的位置。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点运动时间问题 典例1 已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 题型模版 1.特征：动点运动时间问题. 2.方法：进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 变式1-1如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出、两点之间的距离___； (2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数； (3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值． 变式1-2 如图，已知点A、B在数轴上分别对应和12，点O是原点．若动点P从点A出发，以每秒个1单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿的路径，以每秒3个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒． (1)线段的长度为__________； (2)动点P在数轴上对应的数为__________；（用含t的代数式表示） (3)用含t的代数式表示线段的长度； (4)当t何值时？P、Q两点到原点的距离相等． 变式1-3如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 类型二、动点运动速度问题 典例2 如图所示，已知数轴上点A表示的数为140，B是数轴上一点，且AB=210．动点M从A出发，以（单位长度∕秒）的速度沿数轴向左匀速运动． (1)如图1，数轴上点B表示的数是　 ；运动4秒时动点M表示的数是　 　（用含的代数式表示）； (2)如图2，在点M从A向左运动的同时，动点P、N同时从B、A出发向右运动，已知点P的速度是M速度的2倍，点N的速度是M速度的3倍，经过y秒，点P、N之间的距离为　 　，点M、N之间的距离为　 　 (3)如图2，若经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，求动点M的速度． 题型模版 1.特征：数轴上动点运动速度问题. 2.方法：建立等量关系，列出一元一次方程求解. 变式2-1如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 变式2-2我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 题型三、动点之间数量关系问题 典例3 如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3) 由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式3-1如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则______； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当秒时，试推出，，之间的数量关系． 变式3-2如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则 ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)由第（1）小题可以发现，．若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，，，之间是否存在类似于（1）的数量关系？若存在，请直接写出答案，若不存在，请说明理由． 题型四、数轴动点中的定值问题 典例4 【问题情境】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题初探】 (1)请在图中表示出，，三点的位置； (2)点到点的距离______，点到点的距离______； (3)【深入探究】 若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点，从点，点分别以每秒个单位长度、每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒．在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式4-1如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 变式4-2数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______； (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______； ②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 题型五、数轴折叠中的动点问题 典例5七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式5-1如图1，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，其中，满足，点到原点的距离与点到原点的距离相等．点，之间的距离记为． (1)，有何数量关系______； (2)如图2，有一根木棒，在数轴上移动（在的左侧），当移动到与端点重合时，点所对应的数为，则当N移动到线段的中点时，点所对应的数为，求； (3)在（2）的条件下，若，点在数轴上，，将数轴在点，，各折一下，得到如图3的“折线数轴”．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点，的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，求此时点表示的数． 变式5-2如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 题型六、数轴上动点变速与折返问题 典例6已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式6-1如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， (1)写出数轴上点B表示的数______； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则x =______； ②的最小值为______． (3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．当_____，A，P两点之间的距离为2； (4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴匀速运动，设运动时间为秒．当P，Q之间的距离为4时，求t的值． 变式6-2如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， (1)写出数轴上点B表示的数　　； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则x＝　　． ②的最小值为　　． ③的最大值为 . (3)动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为 秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当t为 秒时？P到点B的距离等于点Q到点A距离的2倍． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A、B之间的距离记作或．例如：当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离|或． 如图，数轴上点A，B分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若C点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点C表示的数是______，点D表示的数是______，点C，D之间的距离______（用含有t的代数式表示）； ②移动中，若点C，D之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点C，D出发的同时点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 2．如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 3．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 4．如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)______，______，______． (2)是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，，，是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是6，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 5．如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 6．【问题背景】 已知点在数轴的负半轴上，点在点右侧，点到原点的距离为两点之间的距离为7． 【初步探究】 （1）在如图所示的数轴上标出点、； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，当点移动到1时，、两点停止移动，求此时点与点之间的距离； 【拓展提升】 （3）若点从数轴上表示2的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点从数轴上表示的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，随着点的移动，数轴上的点到原点和点到点的距离始终相等，用含的代数式表示经过4秒时点与点之间的距离． 7．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 8．如图，在数轴上所对应的数为． （1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______． （2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离． （3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由． 9．阅读材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，若、为有理数，则表示数与数的差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图①，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为；有理数5与对应两点间的距离为；有理数与3对应两点之间的距离为… (1)问题提出： 如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，、两点之间的距离为______，若点是点和点之间的一个动点，点表示的数为，则的值为______． (2)拓展探究：如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒 ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； ②求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果、两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么从开始运动经过多长时间、两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴动点问题的六类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点运动时间问题 题型二、动点运动速度问题 题型三、动点之间数量关系问题 题型四、动点中的定值问题 题型五、数轴折叠中的动点问题 题型六、数轴上动点变速折返问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴动点问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕动点运动时间、几速度、定值问题展开，其中压轴题还涉及到动点变速与往返运动问题，解题贯穿基本底线原则：点的位置。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点运动时间问题 典例1 已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇，即；解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，，解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ，解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意，解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 题型模版 1.特征：动点运动时间问题. 2.方法：进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 变式1-1如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出、两点之间的距离___； (2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数； (3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值． 【答案】(1)22 (2)或 (3)当时的运动时间的值为2或秒 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离； （2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可； （3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：、两点之间的距离是：； （2）解：设点表示的数为．分两种情况： ①当点在线段上时， ， ，解得； ②当点在线段的延长线上时， ， ，解得． 综上所述，点表示的数为或； （3）解：分两种情况： ①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ， ，解得，符合题意； ②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ， ， 当时，，解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上所述，当时的运动时间的值为2或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． 变式1-2 如图，已知点A、B在数轴上分别对应和12，点O是原点．若动点P从点A出发，以每秒个1单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿的路径，以每秒3个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒． (1)线段的长度为__________； (2)动点P在数轴上对应的数为__________；（用含t的代数式表示） (3)用含t的代数式表示线段的长度； (4)当t何值时？P、Q两点到原点的距离相等． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，；当时，；当时，； (4)的值为或或． 【分析】（1）直接利用两点之间的距离可得答案； （2）由点向右移动后对应的数为起点对应的数加上移动距离可得答案； （3）分三种情况讨论，分别表示P，Q对应的数，再利用两点之间的距离公式列式计算即可； （4）分三种情况讨论：利用相反数的含义与两点重合列一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A、B在数轴上分别对应和12， ∴线段的长度为； 故答案为：20； （2）动点P从点A出发，以每秒个1单位长度的速度向终点B运动， ∴动点P在数轴上对应的数为； 故答案为：； （3）∵动点Q从点B出发沿的路径，以每秒3个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒． ∴从B到O的时间为：，P从A到O的时间为， 当时，Q对应的数为：， ∴， 当时，Q对应的数为：， ∴； 当时，Q停止运动对应的数为12， ∴； （4）当时，P、Q两点到原点的距离相等． ∴，对应的数互为相反数， ∴， 解得：， 当时，P、Q两点到原点的距离相等． ∴，对应的数互为相反数， ∴， 解得：， 当时，Q停止运动对应的数为12，P、Q两点到原点的距离相等． ∴P，Q重合， ∴， 解得：； 综上：当P、Q两点到原点的距离相等时，的值为或或． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算的应用，一元一次方程的应用，线段的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键． 变式1-3如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 类型二、动点运动速度问题 典例2 如图所示，已知数轴上点A表示的数为140，B是数轴上一点，且AB=210．动点M从A出发，以（单位长度∕秒）的速度沿数轴向左匀速运动． (1)如图1，数轴上点B表示的数是　 ；运动4秒时动点M表示的数是　 　（用含的代数式表示）； (2)如图2，在点M从A向左运动的同时，动点P、N同时从B、A出发向右运动，已知点P的速度是M速度的2倍，点N的速度是M速度的3倍，经过y秒，点P、N之间的距离为　 　，点M、N之间的距离为　 　 (3)如图2，若经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，求动点M的速度． 【答案】(1)－70，140－4 (2)210+xy  4xy (3)5单位长度/秒 【分析】（1）将140-210=-70，可求点B表示的数，将140减去动点M运动4秒时走了4，即可求点M表示的数； （2）先求出点P、N的速度，再求出y秒P、N、M运动的距离，即可得答案； （3）根据（2）的结果，经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，得210+6x=2×6×4x，即可得答案． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为140，AB=210，点B为负数， ∴点B为140-210=-70， ∵运动4秒时动点M走了4，且负方向移动， ∴点M表示的数是140－4； （2）∵动点M的速度是x（单位长度∕秒），点P的速度是M速度的2倍，点N的速度是M速度的3倍， ∴点P的速度是：2x（单位长度∕秒），点N的速度是3x（单位长度∕秒）， ∴经过y秒后，点P、N之间的距离为：y×3x+(210－y×2x)=210+xy，点M、N之间的距离为：y（x+3x）=4xy ； （3）∵经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍， ∴210+6x=2×6×4x， 解得x=5， ∴动点M的速度为5（单位长度/秒）． 【点睛】本题考查了数轴与动点运动的问题，一元一次方程的解法，列代数式，解题的关键是弄清动点运动的方向和距离． 题型模版 1.特征：数轴上动点运动速度问题. 2.方法：建立等量关系，列出一元一次方程求解. 变式2-1如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）直接根据两点间的距离公式计算即可； （2）先求出点P、点Q表示的数，再求的长即可； （3）直接根据两点间的距离公式计算即可； （4）由（3）可知，，则，，即，由，，可知，根据求出，根据始终为定值得到，即可求出、满足的数量关系． 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 变式2-2我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 【答案】（1），，；（2）当时，；当时，；当时，；（3） 【分析】（1）根据多项式的次数，常数项的定义分别求得的值，根据题意求得的距离； （2）（i）分三种情况讨论，当时，当时，当时，进而化简绝对值；（ii）根据（i）的结论可知当时，点C到点A、点B距离之和的最小，进而求得最小值； （3）分别表示出，进而根据，结合题意为定值，进而可得，即可求得的值． 【详解】解：（1）多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为，常数项为 故答案为：，， （2）（i）当时， |x﹣5|＋|x＋2| 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 综上所述，当时，；当时，；当时， （ii）当点位于之间时，点C到点A、点B距离之和的最小， |x﹣5|＋|x＋2|； 则最小值为 （3）点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t， 点表示的数为,点表示的数为，， QN＝BN， 为定值， 即 【点睛】本题考查了多项式的项数与次数，化简绝对值，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，整式的加减，掌握数轴上两点的距离计算是解题的关键． 题型三、动点之间数量关系问题 典例3 如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式3-1如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则______； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (3)若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当秒时，试推出，，之间的数量关系． 【答案】(1)5； (2)①；②不变，； (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点C以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点C表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出，，的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点B、C表示的数分别为1，6， ， 故答案为：5； （2）解：①点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：， 点A与点B之间的距离为：； ②点C以每秒5单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点C表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动， 运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：，点C表示的数为：， ， ， ， 当时，， 当时，， 当时，；当时， 变式3-2如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． (1)则 ， ； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离为多少？（用含t的代数式表示） ②的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)由第（1）小题可以发现，．若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，，，之间是否存在类似于（1）的数量关系？若存在，请直接写出答案，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，8 (2)① ②的值不随着运动时间t的变化而改变， (3)当时，成立 【分析】本题考查了两点间距离的计算，代数式的化简与运算．熟练运用数轴两点间距离公式是解题的关键． （1）利用数轴两点间距离公式计算即可； （2）①用含的代数式表示运动后，的位置，再利用距离公式计算即可； ②用含的代数式表示运动后的位置，利用距离公式计算，再用即可； （3）先用含的代数式表示运动后，，的位置，分，两种情况讨论，利用距离公式分别计算出，，即可判断它们之间的关系． 【详解】（1）解：，． 故答案为3，8． （2）解：①点向左运动，秒后位置为， 点向右运动，秒后位置为， ； ②点向右运动，秒后位置为， ， 的值不随着运动时间t的变化而改变，． （3）解：设运动时间为， 点向左运动，其位置为， 点向右运动，其位置为， 点向右运动，其位置为， ， 当时，在右侧， ， 当时，在右侧， ， ， 当时， ，此时成立； 当时， ，此时不成立； 综上所述，当时，成立． 题型四、数轴动点中的定值问题 典例4 【问题情境】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题初探】 (1)请在图中表示出，，三点的位置； (2)点到点的距离______，点到点的距离______； (3)【深入探究】 若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点，从点，点分别以每秒个单位长度、每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒．在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) ，，三点的位置在数轴上表示如图所示 (2)    (3)的值总等于，保持不变 【分析】本题主要考查数轴、代数式和整式的混合运算： （1）根据题意标注即可； （2），； （3），，， 秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，表示出和的长度，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）， 故答案为：    （3）在运动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，理由如下： 由题意得，，， 所以秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，可得 ， ． 所以． 所以在运动的过程中，的值总等于，保持不变． 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式4-1如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 【答案】(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，绝对值方程，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式 变式4-2数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______； (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______； ②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，2； (2)∵， ∴当时，； 当时，． (3)①点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，；②不变，6 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，整式加减中的无关型问题，熟练掌握数轴上两点间的距离，是解题的关键： （1）根据点的移动规则，求出，折叠求出点表示的数即可； （2）分两种情况，根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （3）①根据点的移动规则，求出点表示的数即可；②先求出，进而求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为； （2）略 （3）①； 故点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，表示的数为； ②不变，理由如下： 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； 故的值不随着时间t的变化而变化． 题型五、数轴折叠中的动点问题 典例5七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【答案】探索1：秒；探索2：． 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为：秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为：秒， ∴， ∴P表示的数为：． 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式5-1如图1，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，其中，满足，点到原点的距离与点到原点的距离相等．点，之间的距离记为． (1)，有何数量关系______； (2)如图2，有一根木棒，在数轴上移动（在的左侧），当移动到与端点重合时，点所对应的数为，则当N移动到线段的中点时，点所对应的数为，求； (3)在（2）的条件下，若，点在数轴上，，将数轴在点，，各折一下，得到如图3的“折线数轴”．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点，的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数轴、非负数的性质、整式加减运算及一元一次方程的应用，利用数轴上的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用相反数的性质得出即可； （2）设，当移动到与端点重合时，点所对应的数为；当N移动到线段的中点时，线段的中点所对应的数为，根据两点间的距离求出结论即可； （3）先求出a、b、c的值，根据题意求得相遇的时间，求得线段长度，再利用数轴上的点的特征解答即可． 【详解】（1）解：∵点与点在原点两侧，且点到原点的距离与点到原点的距离相等， ； （2）解：设， ∵当移动到与端点重合时，点所对应的数为， ∴点所对应的数为， ∵当N移动到线段的中点时，点所对应的数为， ∴线段的中点所对应的数为， ∴线段的中点与点间的距离为， ； （3）解：∵，， ， ， ， ， ， ∵点到原点的距离与点到原点的距离相等， ， ， ∵点G在数轴上，， ∴， ∴点G对应的数为8． ∵点M从点A出发沿着“折线数轴”运动，初始速度为4个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点M运动到点O用时为（秒），点M从点O到点G用时（秒）， ∵点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，初始速度为2个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点N运动到点B用时为（秒），点N从点B到点G用时（秒）， ∴当点M到达点G时，点N在上，没有到达点G， 此时M，N在上相距1个单位长度， ∴点M和点N相遇用时（秒）， ∴， ∴点M表示的数为． 变式5-2如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 【答案】(1)16 (2) (3) (4) 【分析】（1）由点A表示的数是，根据两点之间的距离公式即可求解； （2）由，，再根据即可求解； （3）可求得当点P与点C重合时，，所以当点P从点B向点C运动时，，此时点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧，再根据两点间的距离公式代入即可求解； （4）可求得当点Q与点D重合时，，当时，点P表示的数是,则再分六种情况讨论，一是当，且时，则；二是当，且时，则；三是当，且时，由（3）得；四是当，且时，则；五是当，且时，则；六是当，且时，则，解方程求出相应的符合题意的t值即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是， ， 故答案为：16． （2）解：∵点B表示的数是6， ， ， ， 故答案为：. （3）解：当点P与点C重合时，则， 解得， 当点P从点B向点C运动时，， 点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧， ， 由，得， 解得：． （4）解：当点Q与点D重合时，则， 解得， 当时，点P表示的数是，即， ， 当，且时，则， 解得：； 当，且时，则， 解得：； 当，且时，由（3）得； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去； 当，且时，由（3）得， ， 解得，不符合题意，舍去； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去， 综上所述，t的值是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示点P、点Q所对应的数是解题的关键． 题型六、数轴上动点变速与折返问题 典例6已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2， ∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得： ， 解得． 则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． 题型模版 1.数轴上动点之间关系问题； 2.根据两点间的距离公式即可求解。 变式6-1如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， (1)写出数轴上点B表示的数______； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则x =______； ②的最小值为______． (3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．当_____，A，P两点之间的距离为2； (4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴匀速运动，设运动时间为秒．当P，Q之间的距离为4时，求t的值． 【答案】(1) (2)①6或10；②20 (3)5或3 (4)或或4或8 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解； （4）分两种情况：当点Q向右运动，点P向左运动时，当点P，Q同时向右运动时，再根据距离的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：点B表示的数． 故答案为：； （2）解：①因为， 所以， 解得：或10． 故答案为：6或10； ②根据题意得：表示数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点之间的距离与表示有理数x的点到表示有理数8的点之间的距离的和， 所以的最小值为． 故答案为：20； （3）解：设经过t秒时，A，P之间的距离为2． 此时P点表示的数是，则 ， 解得：或3 故当t为5或3时，A，P两点之间的距离为2； 故答案为：5或3 （4）解：∵点B表示的数， ∴， ∵动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以P点速度的两倍，P，Q之间的距离为4 ∴点P，Q同时向左运动或点P向右运动，点Q向左运动，不符合题意； 设运动时间为秒．P，Q之间的距离为4．则点P运动的距离为，点Q运动的距离为， 当点Q向右运动，点P向左运动时，则有 ， 解得：或； 当点P，Q同时向右运动时，则有 ， 解得：或8； 综上所述，当或或4或8时，P，Q之间的距离为4． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，列出方程求解，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 变式6-2如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， (1)写出数轴上点B表示的数　　； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则x＝　　． ②的最小值为　　． ③的最大值为 . (3)动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为 秒时？A，P两点之间的距离为2； (4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当t为 秒时？P到点B的距离等于点Q到点A距离的2倍． 【答案】(1) (2)①10或6；②20；③5 (3)2或 (4)或 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解；③根据两点间的距离公式求解即可； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，可知，求解即可； （4）由题意可知，到点的距离为，点到点A距离为由题意可知，求解即可． 【详解】（1）解：数轴上B表示的数为： ， 故答案为：． （2）解：①由题意可知的几何意义表示数轴上与8两点之间的距离为2， 因为数轴上与8的距离为2的点是6或， 故答案为：6或； ②∵的几何意义表示数轴上表示的点到与8两点之间的距离之和， ∴当在与8之间时最小， ∴最小值为与8两点之间的距离：； 故答案为：； ③的几何意义表示数轴上表示x的点到的距离于到的距离之差， ∴当在左边时最大， ∴最大值为与3两点之间的距离：； 故答案为：5． （3）解：依题意得：表示的数为， 解得：或 故答案为：或2； （4）解：由题意可知， 到点的距离为： 点到点A距离为： 由题意可知 即或 解得：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，根据题意找到等量关系，列出方程求解是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A、B之间的距离记作或．例如：当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；当，时，点A，B之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离|或． 如图，数轴上点A，B分别表示数，2． (1)填空：______； (2)若C点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点C表示的数是______，点D表示的数是______，点C，D之间的距离______（用含有t的代数式表示）； ②移动中，若点C，D之间相距4个单位长度，求t的值； ③在点C，D出发的同时点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值？请分析并说明理由． 【答案】(1)8 (2)①，，；②6或2； ③当时，为定值；当时，为定值，理由如下： 由题意可知，点的数是：， ∴， ∴， ， ∵当时，． 当时，； 当时，． ∴当时，，为定值， ，不是定值， 当时，，不是定值 ，为定值． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）直接根据即可得出答案； （2）①移动过程中点表示的数是，点表示的数是，点，之间的距离，则答案可得；②令，求解即可；③首先求出，然后讨论和的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，． 故答案为：8； （2）解：①根据题意，点表示的数是：，点表示的数是：， ∴点，之间的距离． 故答案为：，，； ②根据题意，可得， ∴， ∴或； ③略 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值方程以及化简绝对值等知识，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解本题的关键． 2．如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或或或 (4)当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为 【分析】本题考查了数轴上动点问题，列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握知识点的应用，并采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据点为原点，地和地的距离为，即可解答； （2）根据路程速度时间，计算时，点P的运动路程，再根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （3）分情况讨论：从A地到B地时和从B地返回A地时，然后根据时间路程速度，解答即可，注意第二种情况速度有变化，要先求得到达B地的时间； （4）分两种情况讨论：①当小明从A地到B地时；②当小明从B地到A地时；注意第二种情况要先求得返回A地全程所用的时间． 【详解】（1）解：∵点为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，地位于两地之间且距A地， ∴点A表示的有理数为， 故答案为：； （2）解：∵小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点， ∴当时，点表示的有理数， 故答案为：； （3）解：①当小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动时， 若此时距离地，点C表示的有理数为0， 当点P在点A和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点B之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； ②当小明到达地后以每小时的速度返回A地时， ∵、相距， ∴点B表示的数为，小明到达B地的时间为（小时）， 若此时距离地， 当点P在点B和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点A之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 综上所述，在小明行驶过程中，当小明距离地时，t的值为或或或． （4）解： ①当小明以每小时的速度从A地到B地时， 由（2）可知，小明到达B地的时间为1小时， ∴当时，点P与点A的距离为； ②当小明以每小时的速度从B地返回A地时， 由（2）可知，点B表示的有理数为3， 则小明从B地返回A地的时间为（小时） ∴当时，点P与点A的距离为， 综上所述，当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为． 3．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)5或1 (3)或 (4)1秒或2秒或3秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）分类讨论去绝对值，再解一元一次方程即可； （4）点表示的数为，设运动时间为,当时，点表示的数为，点表示的数为，则由题意得，；当时，点表示的数为，点表示的数为，由题意得，，再分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为， 故答案为：， 故答案为：； （2）解： 则或 解得或， 故答案为：5或1； （3）解： 时，，解得； 时，，不符合题意，舍； 时，，解得， ∴当或时，， 故答案为：或； （4）解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点表示的数为， 秒， 设运动时间为 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动1秒或2秒或3秒或秒后，点P与点Q相距1个单位长度． 4．如图①，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即．如图②，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是多项式的次数． (1)______，______，______． (2)是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，，，是数轴上的三点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是6，点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，多项式的定义． （1）根据有理数相关知识，多项式的定义，即可获得答案； （2）根据的范围分类讨论即可； （3）先分别用含的代数式表示出与，再根据的范围去掉绝对值符号，根据的值是一个定值求出m的值． 【详解】（1）解：对于：是3的相反数，所以； 对于：最大的负整数是，所以； 对于：多项式的次数是次数最高项的次数，中次数最高项为， 故； 故答案为：；；； （2）解：当时，，因为，故； 当时，； 当时，，因为，故； 综上，当时，的最小值为． 故答案为：； （3）解：点初始表示，向左运动（速度2单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度3单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度1单位/秒），秒后表示的数为， 根据计算与， ， ， 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 可知若，则当时，不再是定值，不符合运动后，的值是一个定值； 若，则当时，是定值，符合运动后，的值是一个定值； 综上，的值为． 5．如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) A、B、C三点的位置如图所示： ； (2)不变，值为11 【分析】本题考查了数轴上点的运动，整式加减的应用等知识﹒ （1）先根据题意得到点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再在数轴上表示即可； （2）①根据题意即可得到两点间的距离； ②根据三个点的运动方向和速度，结合数轴特点即可求解； （3）先根据②结论求出，，进而求出，从而得到在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 【详解】（1）解：由题意得点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． （2）解：①两点间的距离﹒ 故答案为：3； ②由题意得t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为﹒ 故答案为：，，； ③因为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 所以， ， 所以， 所以在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 6．【问题背景】 已知点在数轴的负半轴上，点在点右侧，点到原点的距离为两点之间的距离为7． 【初步探究】 （1）在如图所示的数轴上标出点、； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，当点移动到1时，、两点停止移动，求此时点与点之间的距离； 【拓展提升】 （3）若点从数轴上表示2的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点从数轴上表示的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，随着点的移动，数轴上的点到原点和点到点的距离始终相等，用含的代数式表示经过4秒时点与点之间的距离． 【答案】 （1）在数轴上表示两点如下： （2）8（3） 【分析】本题主要考查了数轴，平移的性质，两点之间的距离，解绝对值方程等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）根据描述求出两点对应的数，在数轴上表示出来即可； （2）根据平移的性质求出移动的时间，再求出点所对应的数，最后求两点之间的距离即可； （3）利用代数式表示出两点表示的数，然后假设出点所表示的数，根据题意列出方程求解，最后表示出两点之间的距离即可． 【详解】解：（1）∵点在数轴的负半轴上，点到原点的距离为4， ∴点表示的数是， ∵点在点右侧，两点之间的距离为7， ∴点表示的数是； （2）两点移动的时间为：（秒）， ∴点移动到的点对应的数为：， ∴此时点与点之间的距离为：； （3）经过4秒时，点移动到的点对应的数为：； 经过4秒时，点移动到的点对应的数为：； 假设点表示的数为，根据题意得， ， 解得， ∵， ∴点与点之间的距离． 7．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 8．如图，在数轴上所对应的数为． （1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______． （2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离． （3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或或6或3 【分析】（1）分类讨论，分别求出点B在点A左侧以及点B在点A右侧时点B所对应的数即可． （2）分类讨论，分别求出点B对应的数为2和－6时，A、B两点之间的距离即可． （3）由题可知：点表示的数为，点表示的数为，分别表示出AP、BQ、PQ、PB，分三类讨论，分别求出①当时，②当时，③当时对应的t的值． 【详解】（1）点在点左侧时， 为：， 点在点右侧时， 为：， 综上所述，点对应的数为或2． （2）①当对应的数为时， ：个单位，（秒）， ：， ∴； ②当对应的数为2时， ：个单位，（秒）， ：， ． 综上所述，，两点之间的距离为4或12． （3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候， 由题可知：点表示的数为， 点表示的数为， ∴， ， ， ， 分三种情况： ①当时， 为中点或与重合， 若为中点，如图， 则， 即， 解得， 若与重合，如图， 则， 即， 解得． ②当时， 为中点或，重合， 若为中点，如图， 则， 即， 解得， 若，重合，则（不合题意） ③当时， 为中点或，重合， 若为中点，如图， 则， 即， 解得， 若，重合， 则， 即， 解得． 综上所述，当或4或或6或3时，线段，，中存在两条线段相等． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法，熟记数轴上两点间距离的表示方法以及分类讨论思想的运用是解题关键． 9．阅读材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，若、为有理数，则表示数与数的差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 例如：如图①，在数轴上，有理数3与1对应两点之间的距离为；有理数5与对应两点间的距离为；有理数与3对应两点之间的距离为… (1)问题提出： 如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，、两点之间的距离为______，若点是点和点之间的一个动点，点表示的数为，则的值为______． (2)拓展探究：如图②，数轴上点表示的数为，点表示的数为13，若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒 ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； ②求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果、两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么从开始运动经过多长时间、两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)15；15 (2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． （1）由A表示的数为，点B表示的数为13，即得，，，去绝对值，计算即可求解； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：，即可解得，相遇点所表示的数为； （3）由已知返回途中，P表示的数是，Q表示的数是，即得，可解得，第二次相遇点所表示的数为． 【详解】（1）解：∵A表示的数为，点B表示的数为13， ∴， ∵点是点和点之间的一个动点，点表示的数为， ∴，， ∴； 故答案为：15；15； （2）解：①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； 故答案为：；； ②根据题意得：， 解得， 相遇点所表示的数为； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7； （3）解：由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是，Q表示的数是， 根据题意得：， 解得， 第二次相遇点所表示的数为：， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $