3.2.3对数课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

数学 高一年级 第一学期 幂、指数与对数单元 3.2 对数（3） 沪教版 《普通高中教科书 数学 必修第一册》 1 对数 3.2 对数的换底 3 2 （一）创设情境 引入课题 3 幂、指数与对数 幂与指数 指数幂的拓展 对数 对数的定义 对数的运 算性质 对数的换底 （一）复习旧知 温故求新 4 （一）复习旧知 温故求新 解： 5 （二）探究公式 理解辨析 6 证明： （二）探究公式 理解辨析 7 （三）例题讲解 巩固新知 8 （三）例题讲解 巩固新知 9 （三）例题讲解 巩固新知 10 （三）例题讲解 巩固新知 11 （三）例题讲解 巩固新知 12 （三）例题讲解 巩固新知 证明： 13 （三）例题讲解 巩固新知 14 （三）例题讲解 巩固新知 解： （1） 15 （三）例题讲解 巩固新知 16 （三）例题讲解 巩固新知 解： （2） 17 （三）例题讲解 巩固新知 解： 得 由 得 因此， 18 （三）例题讲解 巩固新知 解： 得 由 得 因此， 19 （三）例题讲解 巩固新知 解： 因为 因此， 所以 20 （四）课堂练习 迁移应用 5 21 （五）课堂小结 布置作业 对数的换底 数学运算 逻辑推理 应用：化不同底的对数为同底的对数 22 （五）课堂小结 布置作业 23 结 束 语 24 谢谢观看 25 对数运算的基本性质： 设且，，，是任意给定的实数， 对数性质1 ； 对数性质2 ； 对数性质3 ． 引例 请用，表示． 设，则． 由题意，结合对数性质3，得， 所以，即． （且，且，）． [问题1] 根据，你能给出更一般的结论吗？ 对数换底公式： 对数换底公式 由对数性质3，得， 又因为，所以，因此得到． [问题2] 怎样证明对数换底公式？ 对数换底公式：（且，且，）． 对数换底公式 设，则． 例1 求下列各式的值： （1）；（2）． 分析：本例两小题中对数的底不尽相同，需要运用对数的换底公式使底统一，再利用对数的运算性质进行计算． 例1 求下列各式的值： （1）； 解：（1）（方法1） 当都是不等于的正数时，则有 当都是不等于的正数，时，则有 例1 求下列各式的值： （1）； 解：（1）（方法2） 由， （方法2） 可得 例1 求下列各式的值： （2）． 解：（2）（方法1） 思考：在（2）的方法2中，逆用对数的换底公式，得到．据此你能得出更一般的结论吗？ ，其中且，且． 例2 设，，且．求证：若，则． 应用换底公式将底换成，得 例3（1）已知，，试用及表示与； （2）已知，试用表示． 分析：题目的条件与结论中对数的底不相同，可以利用对数的换底公式把它们转化为同底的对数，再利用对数的运算性质进行求解． 例3（1）已知，，试用及表示与； 在计算机发明以前，以10为底的对数在复杂的数值计算中是常用的，故有常用对数之名．英国数学家布里格斯(H.Briggs)首先提出将对数改良为便于计算的以10为底的对数，当时纳皮尔与布里格斯共同编制常用对数表，最后在1624年由布里格斯完成．为了纪念布里格斯，常用对数亦命名为布里格斯对数． 利用对数的换底公式化不同底的对数问题为同底的对数问题，原则上同底对数的底是可以任意选取的（例如都化为常用对数），但如果能根据条件与结论中出现的数字（或式）的特征来选取适当的数（或式）为底，可以简化计算． 例3（2）已知，试用表示． 例4 已知正数，满足，，求，的值． （方法1）设，因为均为正数，所以， 于是有，，代入， 将，代入， 例4 已知正数，满足，，求，的值． （方法2）设，因为均为正数，所以， 于是， 由对数运算性质，得， 例4 已知正数，满足，，求，的值． （方法3）设，因为均为正数，所以， 于是，同理． 教材P72 练习3.2（3）1（1）（3）（4），2 [基础练习] 教材P73习题3.2 A组7， B组4,5,6 [能力拓展]（选做） 1．已知、都是不等于的正数，若，则 ． 2．已知非零实数、、满足，求证：． 数学上各种形态的转变，并不是 一种无聊的游戏，它是数学科学最有 力的杠杆之一． ——恩格斯《自然辨证法》 $