第3章 幂、指数与对数（复习课件）数学沪教版2020必修第一册

单元复习课件 第3章 幂、指数与对数 沪教版2020必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 3. 2. 根据具体实例，了解指数的拓展过程．理解根式的性质，进行n次方根的运算．理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化、指数式与对数式的等价关系，掌握对数的运算． 能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数。 指数式与对数式的互化，培养逻辑推理能力。应用对数与指数的性质解题，培养数学解题能力。利用对数的运算性质化简、求值计算，提高数学运算能力。 通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养。通过学习换底公式，培养逻辑推理素养。 单元学习目标 幂的拓展 幂运算性质 幂与指数 对数 对数的定义 对数的运算 对数的换底 幂、指数与对数 单元知识图谱 知识梳理一 n次方根的概念 x n次方根 考点串讲 知识梳理一 [思考]　为什么负数没有偶次方根？ n次方根的概念 因为正数和负数的偶次方都是正数，故逆运算求偶次方根时，负数没有偶次方根． 考点串讲 知识梳理二 根式 a 根指数 被开方数 a 考点串讲 知识梳理三 分数指数幂的意义 0 没有意义 考点串讲 知识梳理四 指数幂运算性质 1．有理数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ (a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．无理数指数幂： 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． ars arbr 实数 考点串讲 知识梳理四 对数的概念 1．对数的概念： 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ，N叫做 ． logaN 底数 真数 2．常用对数与自然对数： 名称 定义 记法 常用对数 以____为底的对数叫做常用对数 _ 自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数 _ 10 lg N ln N 考点串讲 知识梳理四 对数的基本性质 3.对数的基本性质： (1)当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔ . (2)负数和0没有对数． (3)特殊值：1的对数是 ，即loga1＝ ；底数的对数是1，即logaa＝1. (4)如果把ax＝N中的x写成logaN，则有alogaN＝N.(对数恒等式) x＝logaN 0 0 [思考]　在对数的定义中，为什么不能取a≤0及a＝1呢？ 考点串讲 知识梳理四 对数的运算性质 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 考点串讲 知识梳理四 对数的换底公式 logab＝ (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做对数换底公式． [思考]　换底公式中底数c是特定数还是任意数？ 提示：是大于0且不等于1的任意数． 考点串讲 【例1】 题型一：指数幂的化简与求值 (1) (2) 求下列各式的值. 解析 (1) (2) 题型剖析 解析 【变1-1】 (1) (2) 求用分数指数幂表示下列式子( ). (1) (2) 针对训练 【变1-2】计算下式的值. 解析 针对训练 【变1-3】 化简： ＝_________. 针对训练 指数幂的一般运算步骤 (1)有括号，先算括号里的；无括号，先做指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号． (4)底数是小数，先要化成分数． (5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．　 题型二：对数的概念　 【例2】在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)∪(5，＋∞)　 B．(2,5) C．(2,3)∪(3,5) D．(3,4) 对定义域的讨论 题型剖析 解析 【变2-1】将下列指数式、对数式互化： ①53＝125； ②log216＝4； ③10－2＝0.01； ④log125＝6. ①由53＝125，得log5125＝3. ②由log216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log 125＝6，得()6＝125. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　 针对训练 【变2-2】 针对训练 题型三:对数的性质及对数恒等式　 【例3】 求下列各式的值： ①2－log23；②e3ln 7；③lg 0.0012. 题型剖析 【变3-1】求下列各式中x的值： ①log3(lg x)＝1； ②log3(log4(log5x))＝0. 利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　　 针对训练 【变3-2】 （多选题）下列式子中正确的是( ) A. B. C.若,则 D.若,则 【解析】, ,A正确； ，B正确； 若,则 ,C不正确； 若,则 ,D不正确. 针对训练 真题研析 根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 真题研析 本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 题型四:对数的运算法则　 【例4】 题型剖析 【变4-1】计算下列各式 针对训练 针对训练 对数式化简与求值的基本原则和方法 基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行 常用方法 “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数 “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) 【变4-2】计算： 方法1 （先将括号内的对数分别换底，再提取公因式，最后求解） . 针对训练 【变4-2】计算： 方法2（一次性统一化为常用对数，然后化简） 原式 . 针对训练 【变4-2】计算： 方法3（利用对数的运算法则） . 针对训练 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 真题研析 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解． 真题研析 【分析】根据对数的性质可求代数式的值.即可解出． 真题研析 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.解出． 1.（多选）下列表达式不正确的是( ) CD A. B. C. D. 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 解析 由指数幂运算法则知A，B正确； 对C， ，故C错误； 对D，，故D错误.故选 . 课堂练习 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错【根式有意义的条件：根指数为奇数，被开方数为实数，结果的符号与被开方数的符号相同；根指数为偶数，被开方数非负，结果非负.】 2.已知，化简 【解】，， . ，，当是奇数时，原式 ； 当是偶数时，原式 . 课堂练习 课堂练习 课堂练习 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 5. 使有意义的实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 由题意知解得，所以实数的取值范围是 .故选C. 课堂练习 6.方程 的解为______. 解析 原方程可化为， 即 ，所以 ，即， 解得或 . 又且，所以 . 所以 不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 . 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 课堂练习 7.已知，且，则 的值为_____. 解析 由题可得，， 由换底公式可得 ，.因为 ， 所以，则. 又因为，所以 . 对数换底公式的灵活应用 课堂练习 8.方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是(　　) A．－2  B．－2或5 C．5   D．3 解析：选C　原方程可化为log3(x2－10)＝log3(3x)，所以x2－10＝3x，解得x＝－2，或x＝5.经检验知x＝5. 对数换底公式的灵活应用 课堂练习 9．(多选)已知2a＝3，b＝log32，则(　　) A．a＋b＞2  B．ab＝1 C．3b＋3－b＝9(82)   D.2a(a(b＋1)＋1)＝log912 解析：选ABD　∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23·log32＝1，故B正确；∴a＋b＞2＝2，故A正确；∴3b＋3－b＝2＋2(1)＝2(5)，故C错误；2a(a(b＋1)＋1)＝2a(ab＋a＋1)＝2a(a＋2)＝a(1)＋2(1)＝log32＋log3＝log32＝log93(12)＝2log9＝log912，故D正确． 课堂练习 10．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值． 解：原式可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0. 设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0， ∴t1＋t2＝2，t1·t2＝2(1). 又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根， ∴t1＝lg a，t2＝lg b， 即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ ∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·lg b(lg a) ＝(lg a＋lg b)·lg a·lg b((lg b)2＋(lg a)2) ＝(lg a＋lg b)·lg a·lg b((lg a＋lg b)2－2lg a·lg b) ＝2×2(1)＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12. 课堂练习 课堂总结 3.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质. 4.指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 课堂总结 1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N. 2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 课堂总结 3.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 4.运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误： ①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN， ③logaM±logaN＝loga(M±N). 课堂总结 感谢聆听! ± 定义 一般地，如果xn＝a，那么___叫做a的 ，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为____ a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为____ a＜0 x不存在 2．根式： (1)定义：式子 叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 . (2)性质：①()n＝ (n＞1，且n∈N*)． ②当n为奇数时，＝___；当n为偶数时，＝|a|＝___________. 分数 指数幂 正分数指数幂 规定：a＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1) 负分数指数幂 规定：a＝＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1) 性质 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝ ； (2)loga＝ ； (3)logaMn＝ (n∈R)． [解析]　(1)由题意知解得2<a<3或3<a<5. [解析]　①2－log 23＝(2 log 23)－1＝3－1＝. ②e3ln 7＝(eln 7)3＝73＝343 ③lg 0.0012＝lg 10－6＝－6. [解析]　①∵log3(lg x)＝1， ∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. ②由log3(log4(log5x))＝0 可得log4(log5x)＝1， 故log5x＝4， 所以x＝54＝625. [解析]　(1)＝＝＝＝. 若lg 2＝a，lg 3＝b，则等于 (　　) A.　　　　　　 B. C. D. ①(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； ②； ③log535－2log5＋log57－log51.8. 解析：①原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. ②原式＝＝＝. ③原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 1．掌握两个公式：(1)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*，eq \r(n,an)＝a，n为偶数且n∈N*，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a　a≥0，,－aa＜0.)) 2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解． $$