第3章 一次方程与方程组（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪科版七年级上册

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第3章 一次方程与方程组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C A D C A B C B A 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11． 12．①②③ 13．8 14． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（8分） 【详解】（1）解：由方程①变形得： ③， 把③代入②得： ， 展开计算：， 解得 ， 把代入③得：， 方程组的解为 ．（4分） （2）解：给方程①两边同乘2得： ③， 用②③消去得： ， 计算得：， 解得 ， 把代入①得：， 解得 ， 方程组的解为 ．（8分） 16．（8分） 【详解】解：任务一：上述解答过程共出现2处错误，分别是第一步和第三步；首次出现错误在第一步，这一步错误的原因是去分母时常数项漏乘；（2分） 任务二：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴；（2分） （2）由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解．（8分） 18．（8分） 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，（3分） 解得，（6分） ∴， ∴阴影部分的面积是．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得．（5分） （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元；（5分） （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个．（10分） 21．（12分） 【详解】（1）解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴，（6分） （2）解：把代入，，得， ， 解得：， ∴．（12分） 22．（12分） 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；（6分） （2）解：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：根据分析，可得①；（3分） ②如果，则， 或， 解得或．（8分） （2）解：代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，x的取值范围是．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第3章 一次方程与方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（本题4分）如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 3．（本题4分）下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题4分）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 6．（本题4分）若方程组的解是，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）《孙子算经》中“物不知数”问题的原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，恰好剩余2辆车；每2人共乘一车，则有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？若设共有人，辆车，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 10．（本题4分）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）已知方程，用含的代数式表示，则_________ 12．（本题5分）方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 13．（本题5分）定义，若，则______． 14．（本题5分）如果，那么__________． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）解下列方程组 (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： 16．（本题8分）下面是明明解方程的过程： 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并同类项得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________． 任务二：请你写出解方程的正确过程． 17．（本题8分）若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 18．（本题8分）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 19．（本题10分）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 20．（本题10分）【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 21．（本题12分）已知方程组的解和方程组的解相同， (1)求这两个方程组的公共解． (2)求的值． 22．（本题12分）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 23．（本题14分）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第3章 一次方程与方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有和两个未知数，不是一元一次方程； ④中未知数的最高次数为，不是一元一次方程． 综上所述，只有②是一元一次方程，共1个． 2．（本题4分）如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故选：C． 3．（本题4分）下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 4．（本题4分）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 5．（本题4分）若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴且 且且， ∵， 解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∵ ，解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∴ ． 6．（本题4分）若方程组的解是，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入， 得， 由①得， 代入②中，得， ， ， ， 则． 7．（本题4分）已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 8．（本题4分）《孙子算经》中“物不知数”问题的原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，恰好剩余2辆车；每2人共乘一车，则有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？若设共有人，辆车，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每3人共乘一车，剩余2辆车空，实际使用车辆为，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ； ∵每2人共乘一车，有9人无车可乘，乘车总人数为，加上无车的9人等于全部人数， ； 因此可列方程组． 9．（本题4分）如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 10．（本题4分）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）已知方程，用含的代数式表示，则_________ 【答案】 【详解】解：， 移项得：． 12．（本题5分）方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：①设心里想的数是，根据题意得：，符合题意； ②设红绳长米，根据题意得：，符合题意； ③由题意得：，符合题意； ④由题意得：，即，不符合题意． 综上所述，正确的选项是①②③． 13．（本题5分）定义，若，则______． 【答案】 【详解】解：由题意得， ， 将代入原等式得， 解得． 14．（本题5分）如果，那么__________． 【答案】 【详解】解：，，且， ，得， ， ． 把代入①，得． ∴． ∴． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）解下列方程组 (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由方程①变形得： ③， 把③代入②得： ， 展开计算：， 解得 ， 把代入③得：， 方程组的解为 ． （2）解：给方程①两边同乘2得： ③， 用②③消去得： ， 计算得：， 解得 ， 把代入①得：， 解得 ， 方程组的解为 ． 16．（本题8分）下面是明明解方程的过程： 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并同类项得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________． 任务二：请你写出解方程的正确过程． 【答案】 任务一：2，一，去分母时常数项漏乘； 任务二：见解析 【详解】解：任务一：上述解答过程共出现2处错误，分别是第一步和第三步；首次出现错误在第一步，这一步错误的原因是去分母时常数项漏乘； 任务二：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 17．（本题8分）若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2) 由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）略 18．（本题8分）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积是． 19．（本题10分）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 20．（本题10分）【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 21．（本题12分）已知方程组的解和方程组的解相同， (1)求这两个方程组的公共解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， （2）解：把代入，，得， ， 解得：， ∴． 22．（本题12分）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿 (2)剩余的镜架应打九折出售 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 23．（本题14分）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)最小值是5，x的取值范围是 【详解】（1）解：根据分析，可得①； ②如果，则， 或， 解得或． （2）解：代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，x的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第3章 一次方程与方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（本题4分）如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 3．（本题4分）下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题4分）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 6．（本题4分）若方程组的解是，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）《孙子算经》中“物不知数”问题的原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，恰好剩余2辆车；每2人共乘一车，则有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？若设共有人，辆车，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 10．（本题4分）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）已知方程，用含的代数式表示，则_________ 12．（本题5分）方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 13．（本题5分）定义，若，则______． 14．（本题5分）如果，那么__________． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）解下列方程组 (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： 16．（本题8分）下面是明明解方程的过程： 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并同类项得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________． 任务二：请你写出解方程的正确过程． 17．（本题8分）若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 18．（本题8分）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 19．（本题10分）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 20．（本题10分）【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 21．（本题12分）已知方程组的解和方程组的解相同， (1)求这两个方程组的公共解． (2)求的值． 22．（本题12分）某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 23．（本题14分）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $