精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

2025-2026 学年第二学期期末试卷 七年级 数学 考试时间：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（共 11 小题，每题 3 分，共 33 分） 1. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于绝对值大于1的数，根据科学记数法，将数据写成（其中，n为正整数）的形式，确定a与n值即可． 【详解】解：亿． 3. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 【详解】解：乙和△ABC全等；理由如下： 在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等； 在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等； 不能判定甲与△ABC全等； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4. 在九张质地都相同的卡片上分别写有，，，，0，1，2，3，4．从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上的数的绝对值大于2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是会用概率公式计算概率． 根据绝对值大于2的条件，确定符合条件的卡片数量，用概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有9张卡片，绝对值大于2的有、、、，共4个， ∴所求概率为， 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，解题的关键是掌握这些知识点． 根据同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除依次进行计算，判断即可得． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线与交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求得，结合，即可求得答案． 【详解】因为，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 7. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下图所示折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 B. 掷一枚质地均匀且标有数字的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C. 掷一枚质地均匀的硬币，出现反面向上 D. 掷一枚质地均匀且标有数字的正六面体骰子，向上的面的点数是3的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数的概率为，符合题意； 故选：D 8. 一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，解决此类边长对应问题时，需先确定明确的对应边，再对剩余边进行分类讨论． 由于两个三角形全等，且第二个三角形中有一条边为3，因此这条边必须与第一个三角形中的边3对应，剩余两边对应第一个三角形中的5和7，有两种对应情况，分别解方程组求和，再计算． 【详解】解：两个三角形全等，且第二个三角形有一边为3， 此边必与第一个三角形的边3对应， 情况一：且， 相加得， ，代入得， ； 情况二：且， 相加得， ，代入得， ； 或． 故选：． 9. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理， 根据三角形三边的垂直平分线的交点的特点解答即可． 【详解】解：因为三角形三条边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等， 所以供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 10. 如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠可得，即可得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：根据折叠可得， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴， ∴． 11. 如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线的距离来判断S与t的关系．根据点P的运动过程可知：的边始终不变，点P到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象． 【详解】解：设点P到直线的距离为h， ∴的面积为：， 当P在线段运动时，此时h不断增大，S也不断增大； 当P在线段上运动时，此时h不变，S也不变； 当P在线段上运动时，此时h不断减小，S不断减少； 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间． 故选：C． 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 12. 若，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则列出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 13. 已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是____ ． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则它的余角为，它的补角为，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意，， 两边同时乘以3，得， 移项，得，即， 解得． 故答案为： 14. 如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是3．则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，并延长交于点F，根据三角形的重心可得，从而有，，，进而求得，于是即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点F， ∵点O是的重心， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（共 11 小题，共 75 分，解答时写出必要的文字说明，证明 过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式先去中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据整式的除法法则将原式化简后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 【答案】证明：∵点B， E， C， F在同一条直线上， ， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据，得到，证明，即可得证. 【详解】略 20. 甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． （1）、两地之间的路程为 千米； （2）从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． （3）求乙的速度和值； （4）求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】（1）120 （2）；； （3）乙的速度是（千米/时）， （4）甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【小问1详解】 解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； 【小问2详解】 解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； 【小问3详解】 解：乙的速度是：（千米/时）； ， 【小问4详解】 解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 21. 如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】（1）； （2） 游戏公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国， 8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人， 所以小明获胜的概率为 ， 小华获胜的概率为 ， 小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【小问1详解】 解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的 概率是， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 22. 阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示： 【解析】 【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． ②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论． 【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下： ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； ②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②． 理由如下：∵BG＝BF， ∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF； 故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 23. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接． （1）若的周长为24，的周长为6，求的长； （2）若，，求度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用三角形的周长求的长度； （2）利用三角形内角和求的度数，然后利用等腰三角形的性质求的度数． 【小问1详解】 解：∵垂直平分，垂足为F，交于点D ∴， ∴的周长 的周长 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴ ∴． 24. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ （3）[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 【答案】（1）4 （2）12 （3）25 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据、和“雅美数”的定义求解即可得； （2）将配方成，则，代入计算即可得； （3）将配方成，根据，和“雅美数”的定义可得，据此即可得． 【小问1详解】 解：∵，0和2都是整数， ∴4是“雅美数”； ∵，不能表示成两个数的平方和形式， ∴6不是“雅美数”； 故答案为：4． 【小问2详解】 解： ， ∵二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（为常数）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解： ， ∵，为整数， ∴，， ∴要使为“雅美数”，即能表示为两个整数的平方和，则， ∴． 25. （1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 26. 【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 （3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3，    ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，连接，    与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：如图2，过C作交的延长线于E，    ， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， 或5； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年第二学期期末试卷 七年级 数学 考试时间：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（共 11 小题，每题 3 分，共 33 分） 1. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 4. 在九张质地都相同的卡片上分别写有，，，，0，1，2，3，4．从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上的数的绝对值大于2的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下图所示折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 B. 掷一枚质地均匀且标有数字的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C. 掷一枚质地均匀的硬币，出现反面向上 D. 掷一枚质地均匀且标有数字的正六面体骰子，向上的面的点数是3的倍数 8. 一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 3或5 9. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 10. 如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 12. 若，则的值为______． 13. 已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是____ ． 14. 如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是3．则四边形的面积是______． 15. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 三、解答题（共 11 小题，共 75 分，解答时写出必要的文字说明，证明 过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 20. 甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． （1）、两地之间的路程为 千米； （2）从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． （3）求乙的速度和值； （4）求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 21. 如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． （1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 22. 阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 23. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接． （1）若的周长为24，的周长为6，求的长； （2）若，，求度数． 24. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6两个数中的“雅美数”是________． （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为多少？ （3）[问题探究]已知（x，y是整数，k是常数且），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值． 25. （1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 26. 【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 （3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $