精品解析：甘肃省兰州市第十一中教育集团2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

兰州市第十一中教育集团2024-2025 学年第二学期 期末考试 七年级 数学试卷 一、单选题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 4. 下列说法正确的是（ ） A. “短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件 B. “将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C. “随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 D. “画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件 5. 等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 A. 9cm B. 12 cm C. 12 cm或15 cm D. 15 cm 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 等角的补角相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8. 如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 某种蔬菜的价格随季节变化如下表，根据表中信息，下列结论错误的是（ ） 月份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 y（元/千克） 5.0 5.5 5.0 4.8 2.0 1.5 1.0 0.9 1.5 3.0 2.0 3.5 A. x 是自变量，y 是因变量 B. 2 月份这种蔬菜价格最高，为 5.50 元/千克 C. 2~8月份这种蔬菜价格一直在下降 D. 8~12月份这种蔬菜价格一直在上升 10. 在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 若，则的值为__． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球黄球共10个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是______个． 14. 在运动会的百米赛场上，小亮正以7米/秒的速度冲向终点，那么小亮与终点的距离S（米）与他跑步的时间t（秒）之间的关系式为_________________． 15. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则__________． 三、解答题（共72分） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于y轴对称的图形 （2）求的面积． 19. 如图，已知：，求证：． 20. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 21. 八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，使得，量得．，其中，，求该教学楼的高． 22. “国际熊猫城·茶马古道行”2023中国全民健身走（跑）大赛四川·雅安雨城站，在雅安市雨城区熊猫山谷举行．甲、乙两位参赛队员同时从起点出发，出发一段时间后，甲选手在途中进行了休整，最终甲、乙都到达终点．如图是他们距离起点路程s（米）与出发时间t（分钟）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是 ，因变量是 ，终点到起点的路程是 ． （2）甲选手休整前、后两段路程的速度分别是多少？ （3）比赛开始后，甲乙两人第一次相遇时的时间是多少分钟？ 23. 阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： （1）若，求t的值； （2）已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 24. 如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． （1）若，，求的周长． （2）分别过点，作于、于，若，，求的长． 25. 综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 26. 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”． （1）若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______； （2）若关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数的值； （3）若关于的方程与互为“相反方程”，直接写出代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第十一中教育集团2024-2025 学年第二学期 期末考试 七年级 数学试卷 一、单选题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选不项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件 B. “将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C. “随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 D. “画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件的分类，逐项进行分析． 【详解】A、“短跑运动员1秒跑完100米”，是不可能事件，故说法错误，不符合题意； B、“将油滴入水中，油会浮在水面”，是必然事件，故说法错误，不符合题意； C、“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”，是随机事件，故说法错误，不符合题意； D、“画一个三角形，其内角和一定等于180°”，是必然事件，故说法正确，符合题意； 故答案选：D． 【点睛】本题考查事件的分类．在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件；必然不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生也有可能不发生的事件叫随机事件． 5. 等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 A. 9cm B. 12 cm C. 12 cm或15 cm D. 15 cm 【答案】D 【解析】 【详解】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立． 当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm． 故选D． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式的除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，根据单项式的除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 等角的补角相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、平行线的性质、补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 逐一分析各选项是否为真命题，结合几何基本概念进行判断． 【详解】解：A：相等的角不一定是对顶角，例如两角为同一角的补角时相等，但不是对顶角，故该选项不符合题意； B：等角的补角相等，若两角相等，则它们的补角均为减去该角，补角必相等，故该选项符合题意； C：只有当两条直线平行时，同位角才相等，否则不一定相等，故该选项不符合题意； D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查的是平行线的性质，三角形外角性质，先根据平行线的性质得出，再由三角形外角即可得出结论． 【详解】解：延长交直线b于， ∵，， ∴， ∵中，， ∴， 故选：A． 9. 某种蔬菜的价格随季节变化如下表，根据表中信息，下列结论错误的是（ ） 月份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 y（元/千克） 5.0 5.5 5.0 4.8 2.0 1.5 1.0 0.9 1.5 3.0 2.0 3.5 A. x 是自变量，y 是因变量 B. 2 月份这种蔬菜价格最高，为 5.50 元/千克 C. 2~8月份这种蔬菜价格一直在下降 D. 8~12月份这种蔬菜价格一直在上升 【答案】D 【解析】 【分析】列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，依据表格中的数据即可得到正确答案． 【详解】解：A、x是自变量，y是因变量，正确，故本选项不合题意； B、2月份这种蔬菜的价格最高，为5.50元/千克，正确，故本选项不合题意； C、2～8月份这种蔬菜的价格一直在下降，正确，故本选项不合题意； D、8～12月份这种蔬菜的价格有升有降，不正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 10. 在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质；由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明，从而得到，根据即可求解． 【详解】解：由作法得：平分，， ∵，即， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11. 如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示： 则 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 12. 若，则的值为__． 【答案】8 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：∵，， ∴=． 故答案为8． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆运算；熟练掌握运算法则是解题关键． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球黄球共10个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是______个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，即可求出红球的个数． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率为， ∴袋子中红球的个数为（个）， 故袋子中黄球的个数为：（个） 故答案是：7． 14. 在运动会的百米赛场上，小亮正以7米/秒的速度冲向终点，那么小亮与终点的距离S（米）与他跑步的时间t（秒）之间的关系式为_________________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：s=100-7t. 15. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则__________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】根据平行线的性质、折叠的性质和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和角的和差，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 三、解答题（共72分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算、整式的混合运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则、单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值的运算法则计算，再作加减法； （2）根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，再合并． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；5 【解析】 【分析】根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简求作，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． 18. 已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于y轴对称的图形 （2）求的面积． 【答案】（1） 即为所求； （2）6 【解析】 【分析】本题考查作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形； （2）根据网格，利用割补法即可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积 19. 如图，已知：，求证：． 【答案】证明见解答过程． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：， ， ， ， ． 20. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】（1） （2）补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【小问1详解】 爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； 【小问2详解】 ∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示， 阅读部分圆心角是， 故答案为：； 【小问3详解】 爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 21. 八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，使得，量得．，其中，，求该教学楼的高． 【答案】教学楼高度为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，进而可得，从而可得：，然后利用证明，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：教学楼高度为． 22. “国际熊猫城·茶马古道行”2023中国全民健身走（跑）大赛四川·雅安雨城站，在雅安市雨城区熊猫山谷举行．甲、乙两位参赛队员同时从起点出发，出发一段时间后，甲选手在途中进行了休整，最终甲、乙都到达终点．如图是他们距离起点路程s（米）与出发时间t（分钟）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是 ，因变量是 ，终点到起点的路程是 ． （2）甲选手休整前、后两段路程的速度分别是多少？ （3）比赛开始后，甲乙两人第一次相遇时的时间是多少分钟？ 【答案】（1）出发时间；距离起点路程；6000米 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，解题的关键是能够准确理解题意，从函数图象中寻找到关键信息并结合速度路程时间这一等式． （1）根据函数图象即可解答； （2）根据函数图象可得甲选手休整的时间，利用速度路程时间即可解答； （3）由图可得，甲乙两个选手在距离起点米的位置相遇，再根据乙选手的平均速度即可解答． 【小问1详解】 解：由图可得图中自变量是出发时间，因变量是距离起点路程，终点到起点的路程是6000米， 故答案为：出发时间；距离起点路程；6000米； 【小问2详解】 解：由图可得，甲选手休整的时间为， ∴甲选手休整前的速度为， 甲选手休整后的速度为， 【小问3详解】 解：由图可得，甲乙两个选手在距离起点3750米的位置相遇，乙选手的平均速度为， ∴甲乙第一次相遇的时间为． 23. 阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： （1）若，求t的值； （2）已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2）是等边三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）将变形为即可求出结果； （2）将变形为，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ． ∵、、是的三边， ∴是等边三角形． 24. 如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． （1）若，，求的周长． （2）分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【小问1详解】 解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 26. 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”． （1）若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______； （2）若关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数的值； （3）若关于的方程与互为“相反方程”，直接写出代数式的值． 【答案】（1） （2）b的值为3，； （3）1 【解析】 【分析】题目主要考查新定义——互为“相反方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程定义，一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，整式的化简求值，是解题关键． （1）根据题意得出，代入方程即可确定方程①的“相反方程”是，即可求解； （2）先确定“相反方程”，然后求解方程得出与都为整数，确定，分情况求解即可； （3）根据题意得出，确定，再将整式进行化简，整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程①：的解是， ∴， ∴， ∴方程①为， ∴方程①的“相反方程”是， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 关于x的方程的“相反方程”为， 由得， 由得， ∵关于的方程与其“相反方程”的解都是整数， ∴与都为整数， 又∵b为整数， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，整数b的值为3，； 【小问3详解】 解：方程整理得，， ∵关于的方程与互为“相反方程”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $