河北石家庄市第二十四中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

石家庄市第24中学2025-2026学年度高一年级第一学期数学期末考试试题 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则（    ） A． B． C． D．7 5．先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 6．函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 7．已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 8．把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中冷却系数是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却．水杯先在开盖状态下放置min，随后加上盖子继续放置min，此时水温降至40℃．已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01．若，则的值约为（   ）（参考数据：） A．10 B．20 C．30 D．40 二、多选题 9．下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 11．下列结论不正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数（且）的图象必过定点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的最小值为5 三、填空题 12．函数的定义域是______． 13．已知函数，则的最大值是___________. 14．设，函数 给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当存在最大值时，； ③存在,，使得； ④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________ 四、解答题 15．已知集合． (1)若，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．已知，且． (1)求的值； (2)若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，求的值． 17．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. (1)求函数的解析式； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 18．已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; (2)当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $D C) 。年h,n1007 的2 4 c4小，72 B. 人-昌na小正再成子不高 B数/2-)的承通区网是山问 2a心y性， c 一年学学科试第1页（共2页） 云是”期共好分 02 2 1- △30 高一年级数学字计试第2共2 河北石家庄市第24中学2025-2026学年度高一年级第一学期数学学科期末考试试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以． 故选：B． 2．已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 3．函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，故函数的零点所在的区间为. 而, 故选：A. 4．若，且，则（    ） A． B． C． D．7 【详解】依题意 故选：C 5．先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【详解】将曲线上各点的横坐标变为原来的，得函数的图象. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以. 故选：D. 6．函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 【详解】，所以，为奇函数，故A正确； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B错误. 故选：A. 7．已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 易知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 8．把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中冷却系数是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却．水杯先在开盖状态下放置min，随后加上盖子继续放置min，此时水温降至40℃．已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01．若，则的值约为（   ）（参考数据：） A．10 B．20 C．30 D．40 【详解】，初始温度℃，空气的温度是℃， 开盖状态下水杯中水的冷却系数为，加盖状态下水杯中水的冷却系数为， ，最终温度℃， 开盖冷却分钟后，水温为， 加盖继续冷却分钟后，水温为， 将代入得到， 即，即， 两边取自然对数，得， 即，将代入得， 解得. 故选：B. 二、多选题 9．下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【详解】选项A，在第三象限，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角， 每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确； 选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为， 则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确． 故选：BCD 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【详解】当，时，，A显然错误； 因为，所以，B正确； 因为函数在单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，C错误； 若，则， 当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确． 故选：BD . 11．下列结论不正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数（且）的图象必过定点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的最小值为5 【详解】对于A选项，根据正切函数的周期，故A正确； 对于B选项，令，解得，则， 所以函数（且）的图象必过定点，故B正确； 对于C选项，由，得，解得， 即函数的定义域为，而不是定义域的子集， 所以函数的单调递增区间不会是，故C错误； 对于D选项，函数 ，当且仅当，即时取得， 但根据三角函数的图象性质，可知，所以， 所以函数的最小值不会是5，故D错误. 故选：CD 三、填空题 12．函数的定义域是______． 【详解】由题意可知有意义，需满足， 解得，即函数的定义域是， 故答案为： 13．已知函数，则的最大值是___________. 【详解】解：函数， 当时，函数取得最大值， . 故答案为：. 14．设，函数 给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当存在最大值时，； ③存在,，使得； ④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________ 【详解】作出函数的图象，如图，可见函数在上是减函数，若，则，①错误； 在时，没有最大值，在时，有最大值， 因此有最大值，则，，②正确； 由题意知点在图象中间一段抛物线上，点在右下曲线上，取，，则，③错； 若存在两个不同的x，使得，则直线与的图象有两个交点，因此，解得，④正确． 故答案为：②④．    四、解答题 15．已知集合． (1)若，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）若,可得， ，， （2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，或， 解得或，因此， 所以实数的取值范围为. 16．已知，且． (1)求的值； (2)若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，求的值． 【详解】（1）因为，所以， 则． （2）角终边过点，则． ，． 所以，． ． 17．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. (1)求函数的解析式； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【详解】（1）因为，， 所以. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. （2）当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为4. 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 18．已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【详解】（1）由图可知函数的周期为，有，又由，可得， 又由图可知，有，有，又由.有，可得. 又由图可知，有，可得. 故函数的解析式为； （2）令，可得， 可得函数的图象的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数的图象的对称中心的坐标为； （3）当时，，有. 若函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质可知，可得 故实数的取值范围为. 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. (1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; (2)当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的； 所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是. （2）当时，. ①函数在区间上单调递增，证明略； ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 试卷第1页（共3页） 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $