精品解析：河北石家庄市第二中学2025-2026学年高一上学期期末模拟考试数学试卷

2025-2026学年石家庄二中期末模拟考试数学试卷答案 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合{x|x2＋ax＋b＝0}有且仅有两个子集，不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x|x1＜x＜x2}，且|x1－x2|＝4，则c＝（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 4. 函数在区间的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A，B分别以，为起点同时开始运动，经过后，动点A，B的坐标分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是锐角，，则（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数且方程的6个解分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称 10. 已知函数，且正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最大值为9 D. 的最大值为3 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 三、填空题 12. 已知，，则______． 13. 若是定义在上的奇函数，则不等式的解集为______． 14. 若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为______． 四、解答题 15. 求下列各式的值： （1）. （2）设，求的值. （3）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期 （2）已知，函数是偶函数，求的值. （3）函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域 （3）解不等式 19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：.（是自然对数的底数，）. （1）解方程：； （2）证明：两角和的双曲正弦公式； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年石家庄二中期末模拟考试数学试卷答案 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由， 又，则. 故选：D 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为， 所以，或， 解得：，或， 所以推不出， 当，即时，， 又，所以， 所以推出， 因此”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知集合{x|x2＋ax＋b＝0}有且仅有两个子集，不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x|x1＜x＜x2}，且|x1－x2|＝4，则c＝（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题干条件得到，再利用韦达定理将表示，化简即可得到答案. 【详解】由题意，有两个相同的根，所以，即， 又不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x|x1＜x＜x2}， 所以， 所以， 解得. 故选：D 4. 函数在区间的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断函数奇偶性，舍去AC，再求时函数值，即可选择. 【详解】因为 所以为偶函数，舍去 AC; 因为，舍去D， 故选：B 【点睛】本题考查图象识别、函数奇偶性判断，考查基本分析识别能力，属基础题. 5. 在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A，B分别以，为起点同时开始运动，经过后，动点A，B的坐标分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，可得的表达式，利用二次函数的性质求出最值. 【详解】由三角函数的定义可知，，， 则， 因为，其中， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 6. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得. 【详解】如图，连接，则，； 所以，，，； 因为为的中点，为的中点，所以； 所以. 故选：D. 7. 设是锐角，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，两边同除得到，因为是锐角，所以，所以. 【详解】由题可得， 即 即， 两边同除得到，所以 因为是锐角，所以，所以； 故选B 8. 已知函数且方程的6个解分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出函数的图像，然后结合条件，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 由，得，， 的图像如图所示，因为有三个解，所以有三个解，则，A错误． 令，得，，，所以，B错误． 因为，所以，得，C正确． 因为，，所以，D错误． 故选：C 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 所以，可得，所以， 因为，所以， 即，可得，即， 因为，可得，所以， 所以A正确，B不正确； 由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确； 将的图象向左平移个单位长度， 可得， 此时函数的图象关于轴对称，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，且正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最大值为9 D. 的最大值为3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对数运算得到，打开括号化简判断A选项；由基本不等式求的最小值判断B选项；由基本不等式“1”的妙用求的最小值判断C选项；由基本不等式求出的最大值判断D选项. 【详解】函数在定义域内单调递增， 对于函数，由得， 所以，所以，故A正确； 由A得，则，当且仅当时，等号成立，又因为，故B错误； 因为，所以． ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，代入，有， 故的最大值为3，D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，计算可得，可判断A；利用辅助角公式可得，计算可知可得与不能同时取得最大值，可判断B；计算可得，可判断C；令，可得有无数个零点，可判断D. 【详解】 ，所以是的一个周期，故A正确； ， 由，可得， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，可得， 当时，，此时， 根据周期性可得与不能同时取得最大值， 所以的最大值小于，故B错误； ， 所以，所以是非奇非偶函数，故C正确； 由，可得， 所以，令， 由 ， 所以是以为周期的周期函数， 又，，所以有无数个零点， 从而可知关于的方程有无数个实数解，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的取值范围以及同角三角函数平方关系，可得的值，利用三角函数的二倍角公式，结合和角公式，可得答案. 【详解】由，则，由，则， 可得， ， 所以 . 故答案为：. 13. 若是定义在上的奇函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求，利用奇偶性及函数单调性转化为，求解即可. 【详解】是定义在上的奇函数，所以，， 当时，， ， 是奇函数，故； 当时，是增函数，根据复合函数单调性，在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增， 由可得， 因为是奇函数，则， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 14. 若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意可得，即可得的最大值. 【详解】因为，即， 若存在实数使得上式成立，则， 且， 即，可得， 则，解得， 由题意可知：， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 四、解答题 15. 求下列各式的值： （1）. （2）设，求的值. （3）已知，求的值. 【答案】（1）11 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则根据即可求解 （2）根据指对互化，再结合对数的运算法则即可求解； （3）根据幂指数的运算法则得到，，代入即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，可得，， 则，， 所以. 【小问3详解】 ∵， ∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期 （2）已知，函数是偶函数，求的值. （3）函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再求出其周期. （2）利用正弦函数性质列式求解. （3）利用正弦函数性质及零点个数列式求解. 【小问1详解】 函数 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）得，由函数是偶函数， 得，解得，而， 所以或. 【小问3详解】 当时，，由函数在区间上有且仅有2个零点， 得，解得 所以的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【小问1详解】 由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. 【小问2详解】 对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 【小问3详解】 当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域 （3）解不等式 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指对函数的运算公式，结合偶函数的定义，即可求解； （2）首先化简，分析内层函数的单调性和值域，分析外层函数的单调性和值域，最后确定函数的值域. （3）首先化简，再根据对数函数的单调性解不等式； 【小问1详解】 ， 若函数是偶函数，所以， 所以， 即，则， 即，得，得； 【小问2详解】 ， 令，则， 任取，计算 因为恒成立，所以的符号由决定， 当，指数函数在上单调递增，故 又，则，即，因此， 即，所以在上单调递减； 当，指数函数在上单调递增，故 又，则，即，因此， 即，所以在上单调递增； 因此，在处取得极小值（也是最小值）， 当时，，当时，， 因此，的值域为 函数是增函数，当时，的最小值， 当时，，所以函数在上的值域为 【小问3详解】 ， 所以不等式为， 所以， ，得， ，得，即， 得，即， 综上可知； 所以不等式的解集为； 19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：.（是自然对数的底数，）. （1）解方程：； （2）证明：两角和的双曲正弦公式； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 右边 . 左边. 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲函数的定义可得，解方程即可； （2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解； （3）根据题意得，则，利用基本不等式计算可得，结合指数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由，可得，可得， 解得或 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，则， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 则恒成立， 因为函数均是上的增函数， 故函数在上为增函数， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $