上海市洋泾中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试卷

上海市洋泾中学2026学年第一学期10月质量检测 高三数学试卷 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟． 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．已知集合，，则_________． 2．若（是虚数单位），则_________． 3．设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个该细胞将分裂为_________个． 4．圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角_________． 5．抛物线的准线方程为_________． 6．已知函数的图像关于直线对称，则_________． 7．若两个事件，既互斥，又独立，，则_________． 8．已知是正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为_________． 9．已知直线，，圆，则直线被圆截得的最短弦的长度为_________． 10．已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，则k的取值范围为_________． 11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段，是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为_________m．(结果精确到) 12．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足以下关系： ，，则的取值范围为_________． 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13．若正实数、满足，则的最小值为（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 14．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 15．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ） A． B． C． D． 16．若函数的图象上存在不同的两点，，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数：①；②；③；④． 其中与原点关联的所有函数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（14+14+14+18+18） 17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知长方体中，，，，点是棱上的动点． （1）求三棱锥的体积； （2）当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）． 18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，若为钝角，且． （1）求角的大小； （2）记，求函数的值域． 19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组：，，…，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差． 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆的左、右焦点为、． （1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程： （2）若椭圆上点满足，求的纵坐标： （3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”． （1）证明：直线是函数的“上切线”； （2）若函数有“下切线”，求实数的取值； （3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $