精品解析：上海市行知中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027上海市行知中学高三第一学期10月月考 2026.10 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1~6题每题4分，7~12题每题满分5分） 1. 设集合，若，则实数__________． 2. 已知复数，则______. 3. 在的展开式中，含项的系数是________． 4. 甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若乙中靶的概率为，两人都中靶的概率为，且甲乙射击互不影响，则甲中靶的概率为_________． 5. 已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 6. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则_________． 7. 若关于的不等式的解集非空，则的取值范围是__________. 8. 锐角中，内角、、所对的边分别为、，，且，则周长的取值范围是________． 9. 已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 10. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 11. 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数的最小值为________． 12. 已知四个平面向量、、、，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 14. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线共面 D. 直线与直线共面 15. 已知正数满足则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 若实数、、、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某中学高二年级的甲、乙两个班级，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86． 甲 乙 4 7 3 5 4 2 8 0 9 0 1 （1）求出，的值，并分别求出甲、乙两个班5名学生成绩的方差，； （2）从成绩在85分及以上的学生中任意抽取3名，求至少有1名来自甲班的概率. 18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角正切值． 19. 如图，两条相互垂直的公路，交于点O，有一个湖泊，其边界如曲线C所示，现要建一条笔直的小路l连通湖泊与公路，，要求l的端点A，B分别在，上，且l与曲线C相切于点P.现以O为原点，，所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，曲线C近似符合函数（，单位：百米）.设点P的横坐标为t. （1）求点A，B的坐标（用t表示）； （2）求小路l长度的最小值，及此时t的值. 20. 已知椭圆：，过定点的直线交椭圆于，两点，其中． （1）若椭圆短轴长为4且经过点，求椭圆方程； （2）对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值； （3）若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出，的关系；如果不存在，说明理由． 21. 设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027上海市行知中学高三第一学期10月月考 2026.10 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．第1~6题每题4分，7~12题每题满分5分） 1. 设集合，若，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系得到方程，求出 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1. 2. 已知复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，，再利用模长公式即可得解. 【详解】，，故. 故答案为：. 3. 在的展开式中，含项的系数是________． 【答案】40 【解析】 【分析】先写出的展开式的通项，令的幂指数等于2，求出对应的值，再将值代入通项的系数部分，即可得解. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，解得，所以含项的系数为. 4. 甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若乙中靶的概率为，两人都中靶的概率为，且甲乙射击互不影响，则甲中靶的概率为_________． 【答案】## 【解析】 【详解】设“甲运动员中靶”为事件，“乙运动员中靶”为事件，则，， 因为甲乙射击互不影响，所以，相互独立，则，解得． 5. 已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】已知，是方程的两个实数根， 由韦达定理知，，，所以， 因为在等比数列中， 所以，因为，所以. 6. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数运算法则可知，，再根据偶函数性质得，代入计算即可得出结果. 【详解】由题意可知，， 又因为函数是定义域为的偶函数，所以， 即，而，所以； 所以，. 故答案为：2. 7. 若关于的不等式的解集非空，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值性质求得的最小值，即可得参数范围． 【详解】，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为134，从而． 故答案为：． 8. 锐角中，内角、、所对的边分别为、，，且，则周长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用正弦定理角化边公式得到，从而得到，利用正弦定理得到，再利用三角函数的性质求范围即可. 【详解】由正弦定理可得， ∴，可得， ∴，∵，∴， 由正弦定理可得， ∴，， ， ∵为锐角三角形，则，解得，∴， ∴，则. 因此，周长的取值范围是. 9. 已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆，竖直上移个单位或水平右移个单位后的圆的方程，然后结合双曲线的渐近线得到，进而求得离心率. 【详解】依题意，圆的方程为，将其竖直上移个单位或水平右移个单位后， 分别得到圆. 因圆均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线. 则，即，解得. 所以双曲线的离心率. 10. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 11. 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过，对于结合基本不等式求得最小值，对于通过求导确定最小值，即可求解． 【详解】对任意，存在使得，等价于， ， ，令，得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 因此最小值为， ， ， 当且仅当等号成立， 因此 ， 故 ， 因为，所以，即， ， 因此正数的最小值为． 12. 已知四个平面向量、、、，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，从而可得点的轨迹，作出图象，结合数量投影定义求解即可. 【详解】不妨设， 因为，则点A在以为圆心，半径为的圆上， 因为，所以点B在椭圆上， 如图1所示，在椭圆上固定一个点，作于点， 根据数量投影的概念，需为锐角，才能保证数量投影为正， 则的长即为在方向上的数量投影，其中， 由于固定点，故为定值，要想最大，则需最大， 所以需最小，显然需与圆相切（如图2所示）. 此时连接，则，且，所以， 直线方程为，现在移动点，显然当与椭圆相切时，最大， 由于，故， 设直线方程为，与联立可得， 令，得或（舍）， 所以数量投影最大值为． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解. 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意. 故. 故选：A. 14. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线共面 D. 直线与直线共面 【答案】C 【解析】 【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系. 【详解】延长， 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为. 分别为棱的中点， 延长，则的延长线必过点， 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点 ；与直线是异面直线. 故选：C. 15. 已知正数满足则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数与对数的转化，得，同理表示出，结合对数的运算性质可验证，A，B错误；再结合基本不等式，可判断D正确 【详解】设，则 故， 而（当且仅当时等号成立），又，所以等号取不到， 故所以有成立. 故选： 【点睛】本题考查对数的换底公式的应用，由基本不等式比较大小，属于中档题. 16. 若实数、、、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设易得，，设，直线，而，进而转化问题为求函数与直线图象上两点与之间的距离最小值，进而结合导数的几何意义及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、、、满足， 所以，，即，， 设，直线， 则为函数图象上一点，为直线上一点， 由， 而表示点与点之间的距离， 设与直线平行的直线与函数相切于点，其中， 由，得， 则，解得，则，即切点为， 而点到直线的距离为， 所以的最小值为， 则的最小值为， 即的最小值为. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 某中学高二年级的甲、乙两个班级，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86． 甲 乙 4 7 3 5 4 2 8 0 9 0 1 （1）求出，的值，并分别求出甲、乙两个班5名学生成绩的方差，； （2）从成绩在85分及以上的学生中任意抽取3名，求至少有1名来自甲班的概率. 【答案】（1） ，，， （2） 【解析】 【分析】（1）由甲班学生的平均分求得，由乙班学生的中位数求得，并由方差的定义求得，； （2）由题意知，成绩在85分及以上的学生共有5名，其中甲班2名，乙班3名.分别求得从中任意抽取3名的情况及至少有1名来自甲班的情况，即可求得至少有1名来自甲班的概率为. 【小问1详解】 由题意知，甲班5名学生的预赛成绩分别为， 所以， 解得. 所以； 乙班5名学生的预赛成绩分别为， 所以中位数为， 解得. 所以乙班5名学生预赛成绩的平均分为， 所以. 【小问2详解】 成绩在85分及以上的学生共有5名，其中甲班2名，乙班3名. 从中任意抽取3名，共种情况， 至少有1名来自甲班的情况有种， 所以至少有1名来自甲班的概率为. 18. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角正切值． 【答案】（1）证明：取棱的中点为G，连接，，如图所示． 因为点E为的中点，所以，且． 又F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建系求出两个平面法向量，利用法向量夹角余弦求二面角的余弦；（2）再利用同角三角函数关系，算出正切值，注意平面夹角取锐角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，由题意，以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为，则， 则，取，则． 又平面，则是平面的一个法向量， 所以． 设平面与平面的夹角为，则，， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为． 19. 如图，两条相互垂直的公路，交于点O，有一个湖泊，其边界如曲线C所示，现要建一条笔直的小路l连通湖泊与公路，，要求l的端点A，B分别在，上，且l与曲线C相切于点P.现以O为原点，，所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，曲线C近似符合函数（，单位：百米）.设点P的横坐标为t. （1）求点A，B的坐标（用t表示）； （2）求小路l长度的最小值，及此时t的值. 【答案】（1）， （2）小路l长度的最小值为百米，此时 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义，求出曲线在处的切线方程，进而求出点A，B的坐标； （2）由两点距离公式求出，令，通过导数求出单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 由题意， 因为，故曲线在处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 令，则；令，则， 故，. 【小问2详解】 由（1）可得，， 令， 因为，所以， 所以， 令， 则，令，则， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当，即时，取到最小值为， 所以， 所以小路l长度的最小值为百米，此时. 20. 已知椭圆：，过定点的直线交椭圆于，两点，其中． （1）若椭圆短轴长为4且经过点，求椭圆方程； （2）对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值； （3）若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出，的关系；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）轴上是存在点使得恒成立，此时． 【解析】 【分析】（1）由短轴长和椭圆上的点可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得韦达定理的形式，由，结合韦达定理可化简为，再利用基本不等式可求得最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，假设，可得，利用两点连线斜率公式和韦达定理可化简整理，求得，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意，，解得，， 则椭圆方程为． 【小问2详解】 由题意，，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为3． 【小问3详解】 由题意，设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，， 若，则，即， 所以，即， 则，即， 故，而，则，即， 故轴上是存在点使得恒成立，此时． 21. 设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 【答案】（1）由题意，，故是上的“集中函数”； 不是的子集，故不是上的“集中函数”． （2） （3） 要使函数有意义，须使，解得， 所以函数的定义域为. 设，是内任意两个实数，且，则有， ，， 故， 由，得，，， 故， 故即， 故在上单调递减，且， 故值域． 由“集中函数”定义可得，得：， ， 故， 令，， 由得，故， 故， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据集中函数的定义判断即可； （2）讨论，和三种情况下，函数在上的单调性，得到其值域，由，求得的取值范围； （3）根据定义判断函数的单调性，并求出在上的值域，再根据集中函数的定义，结合基本不等式证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上的值域，对称轴为，分类讨论： ①当时，在上单调递增，， 由，需满足：. 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以． ②当，在递减、递增，设表示，中最大的数， 值域． 由，故，故， 故存在使得为上的“集中函数”， 因此均成立． ③当，此时在上单调递减，值域． 由，故， 故，解得． 由，得． 当时，，， 故存在实数，使得为上的“集中函数”， 所以. 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $