精品解析：上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月高三数学 一、填空题 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 2. 已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_________. 3. 已知，则实数_________. 4. 若，则_________. 5. 椭圆的离心率为，则_________. 6. 已知等差数列中，，，则该数列前6项的和为______. 7. 数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表： x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 并由表中数据求得y关于x的回归方程为，若a，b，c成等差数列，则_________． 8. 已知函数，则_________. 9. 如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为边BC，CD上的动点，且，则的最小值为_________. 10. 某海域内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东（其中）且与A相距60海里的位置C.若该船不改变航行方向继续向前行驶，船在行驶过程中离观测站A的最近距离为__________海里. 11. 若函数（且）在上是增函数，则实数a的取值范围是______． 12. 已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 13. 设函数的定义域为D，若对任意，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.为中心对称函数，其中，，数组的个数为_________. 二、选择题 14. 已知直线是函数图象的对称轴，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 17. 已知平面上的点，，，，满足，且 ，则下列等式中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最大值； （2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 某盲盒店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为，其中，. （1）变量，求k的取值范围； （2）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （3）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户，现从顾客中随机选取一人，该顾客为幸运客户的概率为，求的最大值. 21. 已知椭圆的右焦点为F，若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为.P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于M，N两点. （1）求圆的标准方程； （2）求证：； （3）当P在椭圆上运动时，求三角形PMN面积的最小值. 22. 对于一些定义域均为的函数，，，若对任意正整数n，均有，则称为“差分函数列”. （1）若为差分函数列，且，求的值； （2）已知，，请判断、、哪些是差分函数列，说明理由； （3）设函数，与，的定义域均为，且均无零点，则在四个函数列、、、中，至多可以有几个为差分函数列？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月高三数学 一、填空题 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据集合的基本关系计算即可. 【详解】解方程得或，即， 又，所以，即的取值范围是. 故答案为： 2. 已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到将中的代入，得到关于的不等式，求解这个不等式即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为，且， 所以，解得，即或， 则实数的取值范围是. 3. 已知，则实数_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 即， 所以，故. 4. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 其中且， 则有， 故. 5. 椭圆的离心率为，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 6. 已知等差数列中，，，则该数列前6项的和为______. 【答案】33 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，可得d，代入求和公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列， 所以，解得d=3， 所以前6项的和. 故答案为：33 7. 数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表： x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 并由表中数据求得y关于x的回归方程为，若a，b，c成等差数列，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】求出，结合回归方程可求得，从而得出，结合a，b，c成等差数列，即可求得答案. 【详解】由题意得，代入回归方程得， 则，所以， 又，所以， 故答案为：3 8. 已知函数，则_________. 【答案】6 【解析】 【详解】令，则，求导得， 所以. 9. 如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为边BC，CD上的动点，且，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点为，连接、、，根据已知可得、、，利用几何意义求最值即可. 【详解】取线段的中点为，连接、、，如图所示： 因为，所以，且. 因为四边形为矩形，则. 因为, 所以. 当且仅当与方向相反，即三点共线且点落在线段上时，等号成立，故的最小值为. 10. 某海域内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东（其中）且与A相距60海里的位置C.若该船不改变航行方向继续向前行驶，船在行驶过程中离观测站A的最近距离为__________海里. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，由，可得，在中，由余弦定理可得,在中， 由正弦定理可得，过作的垂线，交的延长线于，则的长是船离观测站 的最近距离．解直角△可求． 【详解】如图，，，，． 由于，所以． 由余弦定理得海里， 在中，由正弦定理得，则， 过作的垂线，交的延长线于，则的长是船离观测站的最近距离． 在直角△中， 海里， 故船在行驶过程中离观测站的最近距离为海里． 故答案为： 11. 若函数（且）在上是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导可得，利用单调递增可得，分类讨论可求的取值范围. 【详解】由题意可知在上，， 因为且，所以，则， 由此有：（1）； （2）． 当时，为常函数，所以， 综上所求：． 故答案为： 12. 已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得或，结合图形及几何意义进行求解． 【详解】解：， 或， 即或， 故点在如图直线族中， 表示点与点距离的平方， 又相邻两直线的距离， 所以的最小值， 故M的最大值为． 13. 设函数的定义域为D，若对任意，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.为中心对称函数，其中，，数组的个数为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据定义域且对称中心为得到关于两两对称，再分情况讨论即可. 【详解】定义域为，设函数的对称中心为，则关于两两对称， 所以且可能取值为； ①若，则关于对称，所以，即， 又因为，，所以数组可能取值有共4组； ②若，则关于对称，所以，即， 又因为，，所以数组可能取值有共2组； ③若，则关于对称，所以，即， 又因为，，所以数组可能取值有共3组； 综上，满足条件的数组共9个. 二、选择题 14. 已知直线是函数图象的对称轴，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性列方程，求得的表达式，进而求得的最小值. 【详解】因为， 且直线是图象的对称轴，所以， 解得，由于，所以a的最小值为. 15. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数的性质判断即可. 【详解】由，且，得，即充分性成立. 因为，所以，由，得，则，即必要性成立， 故“”是“”的充要条件. 故选：C 16. 选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析正方体的旋转对称性，得到旋转角度应满足的条件，再依次验证选项即可. 【详解】要使正方体经过旋转后能与自身重合，旋转轴必须是正方体的对称轴， 且总旋转角度必须是该对称轴对应的基本对称角度（即满足重合的最小旋转角度）的整数倍， 正方体有三类旋转对称轴：面心轴（连接相对两个面的中心），基本对称角度为； 体对角线轴（连接相对两个顶点），如图：正方体绕旋转后重合， 故基本对称角度为； 棱心轴（连接相对两条棱的中点），基本对称角度为， 由于点是在表面上选取的，只要连线经过正方体中心，就可以成为上述三种对称轴之一， 因为所有的操作都是绕同一条直线进行的，所以最终的总旋转角度就是各次角度之和， 对于A，总角度可以为，A正确； 对于B，总角度可以为，B正确； 对于C，总角度为或，均不是的整数倍，C错误； 对于D，总角度可以为，D正确. 17. 已知平面上的点，，，，满足，且 ，则下列等式中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义分析可知，，利用坐标表示点，，，讨论点，的可能性情况，结合选项分析判断即可. 【详解】因为， 则， 又因为，则，， 设，，，，， 若，， 可得，，， 若，则，故A可能成立； 若，， 可得，，， 则，且， 若，则，故D可能成立； 若，， 可得，，， 则，故C可能成立； 若，， 可得，，，此时ABCD均不成立. 综上所述：不可能成立的是B. 三、解答题 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最大值； （2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最大值. （2）对给定恒成立的不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，因此， 所以函数的最大值为0. 【小问2详解】 当时，不等式， 令函数，则，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以a的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为底面为矩形，，所以， 设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为， 所以，所以， 又侧面是等边三角形，且， 取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）结合锥体的体积公式及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 20. 某盲盒店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为，其中，. （1）变量，求k的取值范围； （2）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （3）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户，现从顾客中随机选取一人，该顾客为幸运客户的概率为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的性质，即可求解； （2）根据期望的计算公式即可求解； （3）根据独立事件的乘法公式和全概率公式，计算函数表达式，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 化简得， 因为，所以， 故的取值范围是. 【小问2详解】 当时，，则. 【小问3详解】 设事件“一次性购买个文创盲盒”， 事件“顾客为幸运客户”， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，, 又由题意得， 且, ，，两两互斥， 所以， 因此， 由（1）得，因此， 所以，， 设，因此， 令，得，取等号时. 21. 已知椭圆的右焦点为F，若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为.P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于M，N两点. （1）求圆的标准方程； （2）求证：； （3）当P在椭圆上运动时，求三角形PMN面积的最小值. 【答案】（1）. （2）证明：设直线方程为，由直线与圆相切， 得原点到直线的距离，整理得． 将直线方程代入椭圆得． 整理得. 则，即， 故． （3）. 【解析】 【分析】（1）四边形是菱形，内切圆半径等于原点到菱形边的距离，用点到直线距离求半径，写出圆方程；（2）设切线方程，利用相切条件得到，关系式；把直线代入椭圆，构造关于斜率的一元二次方程，证明两条直线斜率乘积为，得垂直；（3）转化面积；设斜率求出，，得到倒数和为定值；再用基本不等式求最小值，即为面积最小值. 【小问1详解】 因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，， 所以四边形为菱形， 为其中心点， 又，坐标分别为，，得直线方程为， 则原点到直线的距离为， 即圆的半径， 故圆的标准方程为． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由． 设代入椭圆方程得则， 故， 同理， 从而． 所以，得， 因此，当且仅当时取等号， 故三角形面积的最小值为． 22. 对于一些定义域均为的函数，，，若对任意正整数n，均有，则称为“差分函数列”. （1）若为差分函数列，且，求的值； （2）已知，，请判断、、哪些是差分函数列，说明理由； （3）设函数，与，的定义域均为，且均无零点，则在四个函数列、、、中，至多可以有几个为差分函数列？ 【答案】（1）. （2），是差分函数列，不是差分函数列. 理由：，， 所以成立. ，， 所以成立. ， ，， 所以. （3）至多3个，， ，都是差分函数列，不是. 【解析】 【分析】（1）依据差分函数列定义，由已知，依次递推求出，，再代入算出函数值；（2）严格对照差分函数列定义，对三个函数列逐一检验：计算，看结果是否等于，满足等式即为差分函数列，不满足则不是；（3）反证思路：假设四个函数列均为差分函数列，结合差分定义以及函数无零点的条件进行代数推导，推出矛盾，以此说明四个不能同时成立；再构造具体函数实例，检验其中一部分函数列可以同时满足差分定义. 【小问1详解】 由为差分函数列，且， 得， ，所以； 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 假设题述的四个函数列都为差分函数列，则有 ， 即有，这与函数，无零点的条件矛盾. 因此，题述的四个函数列不能都为差分函数列. 另一方面，根据（2）中结论，取，（定义域均为且均无零点）. 则. 验证： ， ， ，满足，是差分函数列. 同理可证，均为差分函数列. 故至多 3 个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $