精品解析：吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

九年级数学检测卷A 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据最简二次根式的条件（被开方数为整数或整式、不含能开得尽方的因数或因式），逐一验证选项． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意． B、，不是最简二次根式，不符合题意． C、11是正整数，且无开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意． D、的被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能直接合并，计算错误． B．，计算错误． C．，计算正确； D．，计算错误． 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 解，得或． ∵，即， ∴． 4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可能是（ ） A. 5 B. 3 C. 6 D. －7 【答案】D 【解析】 【分析】因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，再建立关于的不等式，求出的取值范围，再逐项对比验证即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． A、，不符合条件； B 、，不符合条件； C 、，不符合条件； D、，符合条件． 5. 已知、均为正数，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，逐项验证即可． 【详解】解：∵， ∴， A、、均为正数，但值不确定，不一定为，错误； B、，正确； C、应为，错误； D、不一定等于，错误． 6. 已知中，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 7. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】解：摸到红球的频率稳定在左右， 摸到红球的概率为， 布袋中白球的个数为． 8. 如图，已知A、B两点的坐标分别是、，将线段平移后得到线段，若点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵，将线段平移后得到线段，若点A的对应点C的坐标是， ∴由坐标可知，线段向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 9. 如图，在四边形中，，，延长、相交于点E．已知，，则的长为（ ） A. 7 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形两锐角互余得出，由含30度直角三角形的性质得出，，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值，利用开平方法解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：，负值舍去， 即的长为：． 10. 如图，在中，对角线、相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，，则下列结论：①，②；③；④，其中一定正确的是（ ）     A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，继而可得，，根据相似三角形的性质可得，即可得到，，，进而可判断①②③，根据相似三角形的判定方法可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴，故③正确， ∵与 中只有一对公共角相等， ∴与 不一定相似，故④错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的限制条件，列出不等式求解自变量取值范围即可． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足两个条件： ∵分式的分母不能为0， ∴ ， ∵二次根式的被开方数必须是非负数， ∴ ， 解得， 综上，自变量的取值范围是且． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则，，据此即可求解． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根是， 则， ∴． 故答案为：． 13. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 14. 五张卡片正面分别标有、0、、、，每张卡片的背面完全相同，则随机抽两张卡片都是有理数的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图列出所有等可能结果，从中找到两张卡片都是有理数的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知共有20种等可能结果，其中两张卡片都是有理数的有6种结果， 所以两张卡片都是有理数的概率为， 故答案为：． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”，在中，，，，如果是“差直三角形”，那么的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握新定义是解题的关键．分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是“差直三角形”，且， ∴或， ①当时，则，过点作交的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，作， 同理，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）或； 故； 综上：或； 故答案为：或． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算每一项的值，再合并得到最终结果； （2）对一元二次方程左边因式分解，转化为一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 对左边因式分解得： 可得或 解得 17. 如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长． 【答案】剪去的小正方形的边长为2厘米 【解析】 【分析】设剪去的小正方形的边长为厘米，根据纸盒的底面面积平方厘米，列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为厘米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为2厘米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 18. 河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． （1）若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ （2）从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 【答案】（1） 抽到自然景观的概率为； （2） 取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先列出表格，得到所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种，进而即可求解． 【小问1详解】 解：（张）， ； 【小问2详解】 解：列表格如下： D E A B C 所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种， ∴． 19. 如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图中标出和的位似中心点M的位置，则点M的坐标为___________； （2）若以点为位似中心，请在方格图中画出的位似图形，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】（1） 解：如图即为所求点： 点的坐标为 （2） 解：如图即为所求： 点的坐标为； 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的位似变换，涉及位似中心的确定、位似图形的绘制以及根据位似关系确定点的坐标，熟练掌握对应知识点是解题的关键． （1）连接、，交点即为M； （2）根据位似变换的性质，以为位似中心，按照位似比确定、的位置，从而绘制出，根据图形即可确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据三角函数得出，过点作，于点，根据三角函数得出，，，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点，过点作，于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 依题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答：居民楼的高为． 21. 在 中，点是边上一点，、的延长线交于点，连接，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ∴，， ， ， ，点在延长线上， ， 又， ， ∴， 在和中， ， ； （2） 证明：由（1）知， 在和中， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， ， 四边形是平行四边形， ， 把代入上式，得． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行得到两组角相等，结合题目给出，得到两组对应角相等，依据两角分别相等证得与相似． （2）使用第一问已经推导出的，结合公共角，证与相似，写出对应边比例式交叉相乘，再利用平行四边形性质做线段等量替换，变形得到要证明的乘积等式． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 22. 若，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． （1）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； （2）若代数式存在两个“优值”，且差为，求的值． 【答案】（1）代数式存在“优值”． 理由：令，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，即该代数式存在“优值”． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，整理得一般形式，计算根的判别式即可； （2）由“优值”得，解得，，根据，得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵代数式存在“优值”， ∴， 整理得， 解得，， ， ， 整理得， 解得． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学检测卷A 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可能是（ ） A. 5 B. 3 C. 6 D. －7 5. 已知、均为正数，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 36 8. 如图，已知A、B两点的坐标分别是、，将线段平移后得到线段，若点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，延长、相交于点E．已知，，则的长为（ ） A. 7 B. 9 C. D. 10. 如图，在中，对角线、相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，，则下列结论：①，②；③；④，其中一定正确的是（ ）     A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是______． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 13. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 14. 五张卡片正面分别标有、0、、、，每张卡片的背面完全相同，则随机抽两张卡片都是有理数的概率是__________. 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”，在中，，，，如果是“差直三角形”，那么的长为__________． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长． 18. 河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． （1）若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ （2）从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 19. 如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图中标出和的位似中心点M的位置，则点M的坐标为___________； （2）若以点为位似中心，请在方格图中画出的位似图形，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为___________． 20. 如图，某居民楼后有一座小山，其坡度：，山坡上点处有一凉亭，测得小山坡脚点与居民楼水平距离，与凉亭距离，某人在点处用自制的测角仪测得居民楼点的仰角为，求居民楼的高．（结果保留根号） 21. 在 中，点是边上一点，、的延长线交于点，连接，． 求证： （1）； （2）． 22. 若，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． （1）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； （2）若代数式存在两个“优值”，且差为，求的值． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $