精品解析：吉林长春外国语学校2026-2027学年第一学期学程质量检测初三年级数学试卷

长春外国语学校2026—2027学年第一学期学程质量检测初三年级数学试卷 本试卷共三道大题，24道小题，共7页．满分120分，考试时间100分钟．考试结束，交回答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象向左平移个单位，得到新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各选项中的是圆心角的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 6. 如图所示的三个三角形中，相似的是（ ） A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （1）和（3） D. （1）和（2）和（3） 7. 如图，在离地面高度为1.5米的A 处放风筝，风筝线长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度 为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若函数是关于的二次函数，则的值是________． 10. 如图①是一座抛物线形拱桥，拱桥截面可以看作如图②所示抛物线的一部分．若水面到拱顶的高度为米，则水面宽为________米． 11. 已知：如下图，，，，，则_______． 12. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 已知与是位似图形，且与的相似比是．若的面积是，则的面积是________． 14. 下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 网络购物促进了快递行业的发展，某小型快递公司今年月与月完成投递的快递件数分别为万件和万件，求该快递公司月到月完成投递快递件数的月平均增长率． 17. 如图，是直径，，．求的大小． 18. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 19. 如图，已知线段与交于点，，，，，求证：． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，点，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，找一格点使得； （2）如图②，找一个点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形； （3）如图③，在上找一点，使得． 21. 热气球的探测显示，从热气球A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与高楼的水平距离为，这栋楼有多高？（结果保留根号）． 22. 如图，抛物线与轴交于点、，轴正半轴分别交于点，且，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）当时，求的取值范围． （3）抛物线上一动点，使得的面积等于的面积时，点坐标是_____． 23. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图，若，求的度数； （2）如图，当，且时，求的长； （3）问题解决：如图，延长，与的角平分线交于点；交于点，当时，则_______． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知抛物线，与轴交于、两点，点坐标，点在此抛物线上，设点的横坐标为． （1）_______，抛物线的顶点坐标为_______； （2）当点在第三象限时，求的取值范围； （3）若点在轴下方，当点到轴距离是到轴距离倍时，求的值； （4）如图，点是直线上的一个动点，横坐标为，平行于轴，且在直线上方，，以为腰向左作等腰直角三角形，平行于轴，当与抛物线有交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2026—2027学年第一学期学程质量检测初三年级数学试卷 本试卷共三道大题，24道小题，共7页．满分120分，考试时间100分钟．考试结束，交回答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数需同时满足三个条件：函数表达式是整式；自变量的最高次数为；二次项系数不为． 【详解】解：A、是整式，自变量的最高次数为，二次项系数为，符合二次函数的定义； B、中自变量的最高次数为，不符合二次函数的定义； C、中含有根号，不是整式，不符合二次函数的定义； D、中分母含有变量，不是整式，不符合二次函数的定义． 2. 已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，将函数值比大小问题转化为点到对称轴的距离问题即可． 【详解】解：在抛物线中，二次项系数，对称轴为轴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ∴． 3. 二次函数的图象向左平移个单位，得到新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．根据左加右减，上加下减进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位，得到新图象的函数表达式是， 故选：C 4. 下列各选项中的是圆心角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】顶点在圆心的角叫作圆心角． 【详解】解：A、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； B、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； C、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； D、顶点在圆心，故是圆心角，符合题意． 5. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 6. 如图所示的三个三角形中，相似的是（ ） A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （1）和（3） D. （1）和（2）和（3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似的判定找到两组对应角即可． 【详解】题图（1）中三角形的三个内角分别为71°,65°,44°, 题图（2）中三角形的三个内角分别为71°,44°,65°, 题图（3）中三角形的三个内角分别为71°,67°,42°, 所以（1）和（2）相似． 故选A． 【点睛】本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件． 7. 如图，在离地面高度为1.5米的A 处放风筝，风筝线长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度 为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题关键． 过A作，垂足为E，先利用矩形性质得的长，再利用三角函数的定义求出的长度，利用即可得答案． 【详解】解：过A作，垂足为E， 则四边形为矩形， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， 故选：A． 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 若函数是关于的二次函数，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列式计算即可，注意二次项系数不为零． 【详解】解：函数是关于的二次函数， 且， 解得. 10. 如图①是一座抛物线形拱桥，拱桥截面可以看作如图②所示抛物线的一部分．若水面到拱顶的高度为米，则水面宽为________米． 【答案】 【解析】 【分析】将代入抛物线，所得两根的差的绝对值即为的长． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，， ∴（米）． 11. 已知：如下图，，，，，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式． 12. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可以得到有关k的不等式，解得即可，但要注意二次项系数不为零． 【详解】∵方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=62−4k>0. 解得：k<9， 故答案为k<9. 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 13. 已知与是位似图形，且与的相似比是．若的面积是，则的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∵与的相似比是1：2， ∴的面积：的面积=1：4， ∵的面积是3， ∴的面积是12， 14. 下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】求出、、的值，即可判断①③正确，②错误，从而得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再结合直线（为常数）是平行于轴的直线即可判断④正确． 【详解】解：由表格可得当时，，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴，，，故①③正确，②错误； ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴结合表格可得，抛物线的顶点坐标为， ∵直线（为常数）是平行于轴的直线，且与二次函数的图象有两个交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】0． 【解析】 【分析】先化简绝对值、计算特殊角的正弦值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 16. 网络购物促进了快递行业的发展，某小型快递公司今年月与月完成投递的快递件数分别为万件和万件，求该快递公司月到月完成投递快递件数的月平均增长率． 【答案】该快递公司月到月完成投递快递件数的月平均增长率为 【解析】 【分析】若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系． 【详解】解：设该快递公司月到月完成投递快递件数的月平均增长率为， 由题意可得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该快递公司月到月完成投递快递件数的月平均增长率为． 17. 如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 18. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 【答案】(1) y＝－ (x＋1)2＋2；(2)向下， x＝－1. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式； （2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴. 试题解析： (1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2， 把点(1，－3)代入，得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)2＋2. (2)由抛物线的解析式为：y＝－ (x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1. 点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：. 19. 如图，已知线段与交于点，，，，，求证：． 【答案】， ， ， ， 与是对顶角， ， ． 【解析】 【分析】先根据已知线段长度，算出，，得到两组对应边成比例；再利用对顶角相等得到夹角相等，根据两边对应成比例且夹角相等，证出． 【详解】略． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，点，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，找一格点使得； （2）如图②，找一个点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形； （3）如图③，在上找一点，使得． 【答案】（1）解：根据三角形全等的判定，画图如下： 则点D即为所求． （2）解：根据平行四边形的判定，画图如下： 则点E即为所求． （3）解：根据题意，画图如下： 则点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用判定定理，作图解答即可； （2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作图即可； （3）构造，利用三角形相似的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故点D即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， 故点E即为所求； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故点F即为所求． 21. 热气球的探测显示，从热气球A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与高楼的水平距离为，这栋楼有多高？（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】过A作AD⊥BC于D．在Rt△ADC和Rt△ABD中，运用三角函数定义求解． 【详解】 解：如图，过A点作与D点 ∵ ∴ 当中 ∴ ∴ ∴这栋楼有米 【点睛】此题考查仰角俯角的定义，解题关键在于借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形． 22. 如图，抛物线与轴交于点、，轴正半轴分别交于点，且，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）当时，求的取值范围． （3）抛物线上一动点，使得的面积等于的面积时，点坐标是_____． 【答案】（1），的坐标; （2）; （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到点的坐标，代入即可求出函数解析式，将一般式化为顶点式得到顶点坐标； （2）根据函数图象分析取值范围，求出时，且顶点横坐标在取值范围内，顶点纵坐标为最大值，故得到答案为； （3）求出线段，求出的面积，进一步得出点到的距离为，则点的纵坐标为或，由此计算横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴正半轴交于，且， ∴点的坐标， 代入解析式得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 又 点为抛物线的顶点， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 当时，且顶点横坐标在取值范围内，顶点纵坐标为最大值， 由图象知时； 【小问3详解】 抛物线解析式为， 当时，即点坐标， 当时得方程， 解得， ∴点坐标 ∴， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 设点到的距离为， 则， 解得， 即点的纵坐标为或， 当时得方程， 解得，即点坐标， 当时得方程， 解得，即点坐标， 综上点的坐标为 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握待定系数法求二次函数、将二次函数化为顶点式、二次函数图象和性质、二次函数与方程的关系等是解决问题的关键． 23. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图，若，求的度数； （2）如图，当，且时，求的长； （3）问题解决：如图，延长，与的角平分线交于点；交于点，当时，则_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠知,利用正弦可求出，又,,由折叠得; （2）利用两角相等证明,得到,求出,从而得到结果； （3）设,过点作,易得,,,可证明,得到,则,,又,,列方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：由折叠知, 因为是矩形， ∴, ∴ ∴， 又, ∴, 由折叠得; 【小问2详解】 由题可知, ∴, ∴, ∴, 即, ∴, 又, ∴； 【小问3详解】 设,过点作, ∵平分,, ∴, 又, ∴, ∴, 由折叠得, ∵, ∴, ∴, ∴,, 又,, ∴, 解得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的有关折叠问题，涉及到矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质等，解决问题的关键是要能熟练掌握这些知识点． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知抛物线，与轴交于、两点，点坐标，点在此抛物线上，设点的横坐标为． （1）_______，抛物线的顶点坐标为_______； （2）当点在第三象限时，求的取值范围； （3）若点在轴下方，当点到轴距离是到轴距离倍时，求的值； （4）如图，点是直线上的一个动点，横坐标为，平行于轴，且在直线上方，，以为腰向左作等腰直角三角形，平行于轴，当与抛物线有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用点在抛物线上的条件，代入坐标直接计算的值，对得到的完整抛物线解析式进行配方，直接得到顶点坐标； （2）先求出抛物线与轴的两个交点、与轴的交点坐标，结合第三象限点的坐标特征，对照抛物线的图像走势，确定点在第三象限时横坐标的取值区间； （3）根据点在轴下方的条件，将点到坐标轴的距离转化为带绝对值的等式，去掉绝对值后分和两种情况分别列方程求解，结合对应区间的取值要求舍去不符合条件的根，得到最终的两个解； （4）先求出直线的解析式，根据动点的横坐标，依次写出三个点的坐标，分类讨论与抛物线存在交点的边界的值，最终得到的完整取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线解析式， 代入计算得，解得． 将代入抛物线解析式，配方得， 因此抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：令，代入抛物线解析式得：， 解得， 即点坐标为． 令，代入抛物线解析式得：， 即点坐标为． 第三象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标小于0， 结合抛物线图像，点在第三象限时，横坐标位于点和点的横坐标之间， 所以， 则的取值范围是． 【小问3详解】 解：因为点在轴下方， 所以点纵坐标， 点到轴的距离为，到轴的距离为， 由题意得：， 将代入上式得，即， 当时，方程化简为：，整理得， 解得或（舍去）， 当时，方程化简为：，整理得， 解得或（舍去）， 所以的值为或． 【小问4详解】 解：设直线解析式为， 将、代入中， 则直线解析式为． 因为点是直线上的一个动点，横坐标为， 所以点坐标为， 因为平行于轴，且在直线上方，， 所以点坐标为， 因为是等腰直角三角形，平行于轴， 则， 所以点坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 因为点坐标为，点坐标为，点在点左侧， 所以线段的解析式为， 已知与抛物线有交点， 当的斜边与抛物线有交点时， 联立， 整理得， 解得或． 当与抛物线的交点为时， 把点坐标为代入中， 可得，即， 解得或． 当与抛物线的交点为时， 把点坐标为代入中， 可得，即， 解得或． 当的点与抛物线第一次有交点时，交点的横坐标就是点的横坐标，此时， 当的点与抛物线第一次有交点时，交点的横坐标就是点的横坐标，此时， 当的点与抛物线第二次有交点时，交点的横坐标就是点的横坐标，此时， 当的点与抛物线第二次有交点时，交点的横坐标就是点的横坐标，此时， 综上，解得的取围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $