精品解析：吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期长春新区吉大慧谷学校第四次大练习 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，然后由同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与是同类二次根式，符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 2. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键．根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由题意得， A、若添加，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； B、若添加，则，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； C、若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； D、若添加，不能判定与相似，符合题意 故选：D． 3. 将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”和“上加下减”的原则是解题的关键． 根据抛物线平移规律求出平移后的解析式，再代入原点求解a． 【详解】解：由题意得平移后的抛物线表达式为：。 ∵所得新抛物线经过原点(0,0)， ∴ 代入得， 解得， 故选：D． 4. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算的值． 【详解】解：取格点D，连接、，则，A、B、三点不共线， 由网格可知，， 在中， ， ， 故选：． 5. 已知二次函数下列叙述正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象与轴只有一个交点 C. 当，随的增大而减小 D. 当时，有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算二次函数的对称轴、判别式和特定点的函数值，判断各选项的正误． 【详解】解：二次函数，其中，，， ∵ ∴抛物线开口向下，A选项说法错误； ∵， 故抛物线与轴无交点，B选项说法错误； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时随增大而增大，当时随增大而减小，故C选项说法错误； ∵当时，，且抛物线的对称轴为直线，， 故抛物线有最大值，最大值为，故D选项说法正确． 故选：D． 6. 如图，是圆的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝0B，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系，可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD＝20P，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断. 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，，所以A选项的结论错误； ∵，， ∴，所以C选项的结论正确； ∴， ∴为的中位线， ∴，所以B选项的结论正确； ∴， ∴平分，所以D选项的结论正确． 故选A． 【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质. 7. 按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，切线的性质．根据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：依题意，的横坐标为，的纵坐标为，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 当时，二次根式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 10. 已知为锐角，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵为锐角，，， ∴ 故答案为：． 11. 如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 _______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 12. 如图，分别与圆相切于两点，点为圆优弧上一点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接切点和圆心是解题的关键．连接，根据切线的性质得，由四边形的内角和求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线解析式为，点是轴正半轴上一点，将点向右平移5个单位长度得到点；若线段与只有一个公共点，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到点，求出点在抛物线上时的值，再结合二次函数图象求解即可． 【详解】解：点是轴正半轴上一点，将点向右平移个单位长度得到点， 点，， ∴当点在抛物线上时，， ∵线段与只有一个公共点， ， 故答案为：． 14. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论： ①； ②若，则： ③； ④若点为的中点，则； ⑤若，则， 其中一定正确的是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断；证明，可对⑤进行判断． 【详解】解：∵点是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不正确； ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故⑤不正确； ∴一定正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 三、解答题 15. 解方程： 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，再提取公因式进行因式分解求出的值即可． 【详解】解： ∴或 ∴或． 16. 中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 （1）若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； （2）该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 【小问1详解】 解：从4张卡片中随机选择一种有种结果，选到“讲故事”卡片有种结果， 选到“讲故事”卡片的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下 共有种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的结果有种结果， ， 答：小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率为. 17. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）设的半径为，则，利用勾股定理可得，进而得到，即得，即得到，再根据弧长公式计算即可求解； 本题考查了切线的判定，锐角三角函数，弧长公式等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 18. 点均在上，仅用无刻度的直尺分别在给定图中按要求作图，点均不与点重合． （1）在图①中，画一个与相等的圆周角； （2）在图②中，画一个与互补的圆周角； （3）在图⑧中，画一个与互余的圆周角． 【答案】（1） 与相等的圆周角如图所示； （2）与互补的圆周角如图所示； （3） 与互余的圆周角如图所示； 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质． （1）利用圆周角定理作出图形即可； （2）利用圆内接四边形的性质作出图形即可； （3）作出直径，连接，则，，由圆周角定理得到，此时与是互余的圆周角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 在物理课上，有一个学习小组进行了如下观察实验：首先，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处；然后，向水槽注水，水面上升到水槽内壁AC的中点处时，停止注水．如图，直线为法线，为入射光线，为折射光线．点A、B、C、D、E、F、O、G、H在同一平面内，测得，入射光线与水槽内壁的夹角为，折射角．根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到） （参考数据：） 【答案】B，D之间的距离 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质得到，由题意可得：，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：B，D之间的距离． 20. 6月2日，中国航天又创造了一个新的历史奇迹--嫦娥六号探测器成功着陆在月球背面的神秘领域，并采集两公斤珍贵的月壤样品．这一壮举不仅是中国航天事业的重大突破，也将为人类对月球奥秘的探索带来全新的启示．学校准备调查七年级学生对“嫦娥探月工程”有关知识的了解程度．设定“A非常了解”“B比较了解”，“C了解一点”，“D不了解”四个了解程度项进行调查． （1）在确定调查方案时，小明同学设计了三种方案： 方案一：调查七年级的部分女生； 方案二：调查七年级的部分男生； 方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生． 请问其中最有代表性的一个方案是________． （2）小明采用了最有代表性的方案，用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图， 请你根据图中信息，完成下列任务： ①补全条形统计图； ②扇形统计图中______，______； （3）学校七年级共有3000人，求“比较了解”的学生大约有多少人？ 【答案】（1）方案三 （2） ①补全图形如下： ②20，30 （3）“比较了解”的学生大约有900人． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据抽样调查的意义和取样要求进行选择； （2）①由D类别人数及其所占百分比求出被调查的总人数，总人数乘以C类别人数对应的百分比求出其人数，再由四个类别人数之和等于总人数求出A的人数，从而补全图形； ②用A、B人数分别除以被调查的总人数即可得出m、n的值； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：最具有代表性的一个方案是到七年级每个班去随机调查一定数量的学生， 故答案为：方案三； 【小问2详解】 解：① 被调查的总人数为：（人）， ∴类别人数为(人)， ∴类别人数为(人)， ②则A类所占人数百分比为：， B类所占人数百分比为：， 故答案为：20，30； 【小问3详解】 解：（人）， 答：“比较了解”的学生大约有900人． 21. 如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，在雕塑顶端点处安装喷水装置，喷出两股水流，以为轴建立平面直角坐标系，两股水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系图象可以近似看作抛物线的一部分（图中的，），抛物线，抛物线． （1）求抛物线的表达式； （2）小祎同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为，求出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据抛物线过点，顶点为点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）依题意，，解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 由已知可得：抛物线过点，顶点为点， 设其解析式为， 把代入得：， 解得， ； 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 由题意可得：， 解得：， 又， 解得：， . 22. 几何探究： （1）【发现】如图①，在平面内，若，其中，线段的长最大值为________； （2）【应用】如图②，点为线段外一动点，分别以为边．作等边和等边，连接． ①求证：； ②若，，则线段长度的最大值为________； （3）【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为、，点为线段外一动点，且，，当面积最大时，请直接写出点的坐标为________； （4）【提升】在（3）的条件下，．请直接写出面积的最大值为________，此时点的坐标为________． 【答案】（1） （2） ①证明：∵等边和等边 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ② （3）或 （4）， 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质与判定，圆的定义； （1）根据当共线时，的长最大，即可求解； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可得证； ②根据当三点共线时，取得最大值，又，代入数据，即可求解． （3）根据题意得出，则在为圆心，为半径的圆上运动，当轴时，面积最大，结合图形，即可求解； （4）证明得出，，同（3）可得的纵坐标最大时面积最大，进而求得最大值，过点作轴于点，根据，得出的长即可求解． 【小问1详解】 解：当共线时，的长最大， ∵ ∴线段的长最大值为， 故答案为：． 【小问2详解】 ①略 ②∵，，等边 ∴ ∴当三点共线时，取得最大值，此时 ∵ ∴线段长度的最大值为 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴ ∴在为圆心，为半径的圆上运动， ∵点的坐标分别为、， ∴ ∴ ∴当的纵坐标的绝对值最大时，面积最大， 即当轴时，面积最大，此时点的坐标为或 故答案为：或． 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴ ∴， 同（3）可得的纵坐标最大时面积最大 ∴当时，此时 ∴ ∴，则点在上， ∵ ∴的最大值为 ∴面积的最大值为， 如图，过点作轴于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 根据对称性，当在轴上方时，也在轴上方，同理可得 故答案为：，． 23. 如图，在中，，，，点在边上运动，设，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形． （1）的长为________； （2）当点在边上时，求的值； （3）当正方形与重叠部分的图形为四边形时，求的取值范围； （4）连接，当面积是面积的2倍时，直接写出的值． 【答案】（1）8 （2）； （3）当或时，正方形与重叠部分的图形为四边形； （4）的值为或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由题意得，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）分情况讨论，由（2）知，当时，正方形与重叠部分的图形为四边形；再求得分界点，当点在边上和点与点重合时，结合图形即可求解； （4）作于点，交直线于点，利用等积法结合勾股定理求得，，再分当点在点的左边和点在点的右边时两种讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）知，当时，正方形与重叠部分的图形为四边形； 当点在边上时，如图， 由题意得， ∴， 同理， ∴，即， 解得； 当点与点重合时，如图， 由题意得， ∴， ∴当时，正方形与重叠部分的图形为四边形； 综上，当或时，正方形与重叠部分的图形为四边形； 【小问4详解】 解：作于点，交直线于点， ∵， ∴，， 当点在点的左边时， 由题意得， ∴，， ∴，， 由题意得， ∵， ∴， 解得； 当点在点的右边时， 由题意得， ∴，， ∴，， 由题意得， ∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形和正方形的面积等知识，解题的关键是分情况讨论，作出对应的图形方便求解． 24. 抛物线与轴交于两点．点为抛物线上两点，其横坐标分别为，将两点间的部分记为图象（含两点）． （1）求抛物线表达式； （2）当平行于轴时，求的值； （3）①当两点到直线距离相等时，求的值； ②当图像与直线只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或或；②或． 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得、，由 轴，即，据此列关于m的方程求解即可； （3）①由（2）可得，，再根据两点到直线距离相等可得，整理得：，然后分两种情况解答即可；②由题意可得抛物线开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为，然后分P、Q在对称轴两侧和同侧两种情况，同时结合m的正负分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将 代入得： 化简为： ，解得： ． 所以，抛物线表达式为：． 【小问2详解】 解：∵点为抛物线上两点，其横坐标分别为， ∴，， ∵  轴， ∴， ∴，解得：或（不合题意舍去）． 【小问3详解】 解：① ∵，，两点到直线距离相等， ∴，整理得：， 当时，解得：或（不合题意舍去）； 当时，解得：或； 综上，m 的值为或或； ②∵抛物线表达式为：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为， 当P、Q在对称轴两侧时，图像与直线只有一个公共点是顶点坐标， ∴，解得：； 当时，即时，整理得：，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴这种情况不存在； 当时，即时，整理得：，解得：， ∴，解得：或， 当时，, 此时点在直线上， ∴或 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、解一元二次方程、解绝对值方程、二次函数的综合应用等知识点，灵活利用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期长春新区吉大慧谷学校第四次大练习 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知二次函数下列叙述正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象与轴只有一个交点 C. 当，随的增大而减小 D. 当时，有最大值 6. 如图，是圆的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 平分 7. 按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 当时，二次根式的值是______． 10. 已知为锐角，，则的度数是______． 11. 如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 _______． 12. 如图，分别与圆相切于两点，点为圆优弧上一点，连接，若，则的度数为___________． 13. 如图，已知抛物线解析式为，点是轴正半轴上一点，将点向右平移5个单位长度得到点；若线段与只有一个公共点，那么的取值范围是___________． 14. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论： ①； ②若，则： ③； ④若点为的中点，则； ⑤若，则， 其中一定正确的是___________． 三、解答题 15. 解方程： 16. 中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 （1）若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； （2）该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 17. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 18. 点均在上，仅用无刻度的直尺分别在给定图中按要求作图，点均不与点重合． （1）在图①中，画一个与相等的圆周角； （2）在图②中，画一个与互补的圆周角； （3）在图⑧中，画一个与互余的圆周角． 19. 在物理课上，有一个学习小组进行了如下观察实验：首先，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处；然后，向水槽注水，水面上升到水槽内壁AC的中点处时，停止注水．如图，直线为法线，为入射光线，为折射光线．点A、B、C、D、E、F、O、G、H在同一平面内，测得，入射光线与水槽内壁的夹角为，折射角．根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到） （参考数据：） 20. 6月2日，中国航天又创造了一个新的历史奇迹--嫦娥六号探测器成功着陆在月球背面的神秘领域，并采集两公斤珍贵的月壤样品．这一壮举不仅是中国航天事业的重大突破，也将为人类对月球奥秘的探索带来全新的启示．学校准备调查七年级学生对“嫦娥探月工程”有关知识的了解程度．设定“A非常了解”“B比较了解”，“C了解一点”，“D不了解”四个了解程度项进行调查． （1）在确定调查方案时，小明同学设计了三种方案： 方案一：调查七年级的部分女生； 方案二：调查七年级的部分男生； 方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生． 请问其中最有代表性的一个方案是________． （2）小明采用了最有代表性的方案，用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图， 请你根据图中信息，完成下列任务： ①补全条形统计图； ②扇形统计图中______，______； （3）学校七年级共有3000人，求“比较了解”的学生大约有多少人？ 21. 如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，在雕塑顶端点处安装喷水装置，喷出两股水流，以为轴建立平面直角坐标系，两股水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系图象可以近似看作抛物线的一部分（图中的，），抛物线，抛物线． （1）求抛物线的表达式； （2）小祎同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为，求出的取值范围． 22. 几何探究： （1）【发现】如图①，在平面内，若，其中，线段的长最大值为________； （2）【应用】如图②，点为线段外一动点，分别以为边．作等边和等边，连接． ①求证：； ②若，，则线段长度的最大值为________； （3）【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为、，点为线段外一动点，且，，当面积最大时，请直接写出点的坐标为________； （4）【提升】在（3）的条件下，．请直接写出面积的最大值为________，此时点的坐标为________． 23. 如图，在中，，，，点在边上运动，设，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形． （1）的长为________； （2）当点在边上时，求的值； （3）当正方形与重叠部分的图形为四边形时，求的取值范围； （4）连接，当面积是面积的2倍时，直接写出的值． 24. 抛物线与轴交于两点．点为抛物线上两点，其横坐标分别为，将两点间的部分记为图象（含两点）． （1）求抛物线表达式； （2）当平行于轴时，求的值； （3）①当两点到直线距离相等时，求的值； ②当图像与直线只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $