【课件】“天津卷 第18题 ”（南部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头像 不放文字 以集合新定义立题，以分群思想破题 参赛人：任杨莉 侯长慧 刘涛 所在单位：山西省翼城中学校 ——2026年天津卷数列压轴题解析 此处放视频头像 不放文字 1.高考真题呈现 2.思路探析与解法 3.试题变式 4.复习备考 已知等差数列 与等比数列 满足: (1)求数列 ， 的通项公式; (2)记 , 或 , , 为 中的元素个数． (i)求 ； (ii)求 . 此处放视频头像 不放文字 等差数列、等比数列基本模型 将计数与交错求和融合，是整个题目的高潮与区分点 理解新定义，将集合转化为计数 求通项，为后续铺垫 思路探析与解法呈现 此处放视频头像 不放文字 第(1)问:已知 ， .求 的通项公式. 求通项，条件给出了两个数列的类型——等差和等比，以及两个等式，两个未知参数，两个方程，本质是解方程组. 此处放视频头像 不放文字 ，求 ，                                         思路1:方程思想（设参数列方程） 解法1：基本量法（通法） 思路2：函数思想（视通项为函数） 设 列方程组 ， (舍) 解法2：中项性质（巧法） 解法3：函数视角（高观点） 建方程组 列方程组 方法1：基本量法 解：设等差数列的公差为 ,等比数列的公比为 ,则 , 由 ，得 ，则 ． 由 ，得 ， 代入 ，得 ．又等比数列 ， 则 ．故 ， ． 此处放视频头像 不放文字 评注：基本量法是求解数列通项的“通法”，思路直接、步骤规范，学生最容易上手.关键有两点：一是敢于设未知数，二是注意等比数列公比不为零的隐含条件. 方法2：中项性质 解：设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 . 由 ，得2+d=1+q，即d=q−1. 由 ，得 .又 由等差中项性质： ， 得 ，解得 （舍去 ）， . 所以 ， . 此处放视频头像 不放文字 评注：中项法的巧妙之处在于利用等差中项将和的信息“汇总”到上.这种方法虽然与基本量法最终解得同一方程，但它体现的是对数列结构的洞察——看出下标之和相等，就能用中项搭桥. 方法3：函数视角 解：设等差数列通项为 .等比数列通项为 由 ，得 ，即 ， 由 ，得 ，即 ， 则 ，即 ， ，解得 ， （舍去 ）， .所以 , . 此处放视频头像 不放文字 评注：函数视角将数列纳入函数体系，打通了数列与函数的知识联系。虽然计算步骤与基本量法类似，但思维站位更高，有助于学生理解“数列是特殊的函数”这一本质. 第(2)(i)问：已知 ， ， ， ， ， 为 中的元素个数，求 . 此处放视频头像 不放文字 以集合语言包装的计数问题 第一步，集合 ，它是“不超过 的所有 和 组成的集合”. 为 中的元素个数, 即界限取 时集合的元素个数. 第二步，两个数列的值域有没有公共元素？ (偶数)与 (奇数)知两数列的值域无公共元素，则 为两数列中不超过 的项数之和. 此处放视频头像 不放文字 代入   ， ， ， 或 ， ，求   思路：翻译定义，发现结构 解法1： 公式代入法 （通法） ） 先推导 通式   殊途同归 解法2： 直接计数法 （直观法） 解法3：增量递推法 （伏笔法） 直接在 以内数 和 的个数   研究的新增量 个， 个   累加求和   方法1：公式代入法 解： ， ， ，数列 中满足 的项数为 ， ， ， ， ，数列 中满足 的项数为 ，则 ， ， 因为 为奇数，所以 ，所以 . 此处放视频头像 不放文字 评注：标准路径——“翻译定义→分析结构→分别计数→合并结果”，其中“分析两数列的值域有无公共元素”是关键.本题通过奇偶性判断无公共项，化繁为简. 方法2：直接计数法 解：在不超过 的范围内：数列 满足 ，即 ，共 个，即 个. 数列 满足 ，即 ，则 ，共 个. 则 . 此处放视频头像 不放文字 评注：最直观的方法，学生容易接受.局限在于只适用于具体数值，若界限改为其他值仍需回到方法一的通式.教学中可先用此法引入，再引导一般化。 方法3：增量递推法 解：设 ，考察增量 ，界限从 变为 时，落入新区间 新增的元素. 新增的 ：区间 内的偶数个数，区间长度为 ，两端均为奇数，故偶数项有 个. 新增的 ：只有 一项. 初始值 ，累加得， ， 则 . 此处放视频头像 不放文字 此处放视频头像 不放文字 评注：递推法引入了“按区间分析增量”的框架，与第(2)(ii)问“按幂次分段、逐段求和”一脉相承.从“数个数”到“算总和”，思想贯通，体现了“化整为零、逐步累加”的数学方法. 第(2)(ii)问：已知 , ,求 此处放视频头像 不放文字 关键在于处理两个结构：一是 带来的正负交替，二是 中含有的取整运算. 这是一道带交错符号与取整函数的复杂数列求和问题，直接求和几乎无从下手。 此处放视频头像 不放文字 求和 核心策略：“拆-分-合”三步走 思路1：按部就班 解法1： 奇偶拆解+分群求和 （通法） 殊途同归       思路2：观察结构 思路3：整体递推 解法2： 配对构造法 （巧算法） 解法3： 递推整体法（高阶法） 拆：奇偶分类消 拆：奇偶配对消 拆：研究 的新增量   分：按 分段， 取值分群   分:利用 化繁为简 分：增量△求和 合：错位相减 合：错位相减 合：化简得结果 方法1：奇偶分组与分群求和 解： 为偶数，设 ， ， 将 按 和 分组，得 ，又 , 设 ，因为 和 相邻，之间不跨越3的幂次，则 ,则 ， 又 ， ， 则 此处放视频头像 不放文字 此处放视频头像 不放文字 由取整定义， ， 等价于 ， 当 固定时，满足条件的 共有 个，则 则 . 评注：该解法采用“分组—分群—求和”三步策略，先以奇偶分组消去，再以取整函数的分段特性将复杂和式转化为标准的等差乘等比求和，体现了化归思想。 方法2：配对构造法 解：由 ， ， 得 ，即 ，则 . 以下同方法1. 此处放视频头像 不放文字 评注：与解法一殊途同归，但化简路径更巧妙——利用这一局部差，将配对展开从四步压缩为两步.其背后思想是用相邻项的差分关系重组和式，学生若能养成“先看差分再动手”的习惯，面对复杂和式时常能化繁为简. 另解视角：求 时，除了按 的取值分群再用错位相减，还可换一个分组角度，每个 会对所有满足 的 贡献1，共有 个. 即 ，代入即得. 此法直接求和，无需错位相减. 此处放视频头像 不放文字 方法3：递推整体法 解：设 ，考虑增量 ，即新增区间 内各项之和. 当 时， ，则 ， 则 ，该区间共 项， 此处放视频头像 不放文字 按奇偶分组, , 为一对， 奇数项 ，取值为 ， 偶数项 ，取值为 ， 一对的和 ， 区间 从 取到 ，共 对. 初始值 ， 此处放视频头像 不放文字 累加, , 分组求和并化解，得 . 此处放视频头像 不放文字 评注：整体递推法将静态求和转化为动态递推，核心在于观察区间 内 为常数，使 大幅简化，这一思路与第(2)(i)问的累加法一脉相承：(i)问按区间数“新增了多少个元素”，(ii)问按区间算“新增了多少和”是同一个分群框架，从计数走到求和，从萌芽走向 成熟. 进阶思考：回顾方法3，增量 是在区间 上求和，此时 ，段内奇偶配对的结果为 ，这里的 实际上就是幂次分段的编号——第 段内配对结果为 .既然如此，对整个求和区间 ，将段编号记为 ，在第 段 内 ，令 ，则段内奇偶配对的结果为 ，原和式即化为 ， 内层对求和为等差数列，外层对求和直接出结果.此法将“分段” 与“配对”融合为一次嵌套求和，推导更紧凑. 此处放视频头像 不放文字 更进一步: 的本质是一个计数函数——统计集合 中不超过 的元素个数.若记 ，则原和式可等价地表示为 .其含义是：将原来“按项求和”的顺序，转化为“按元素来源求和”——对 中的每个元素 ，计算它从首次出现到第 项所产生的累计贡献，偶数元素 的贡献为 ，3的幂元素 的贡献为 分别求和即得结果，这正是“重排求和”最精炼的代数表达，从“分群计数”到“分群求和”，再到“交换顺序”，思维层层递进. 此处放视频头像 不放文字 试题变式 此处放视频头像 不放文字 本题的核心是“分群求和”——按取整函数的取值将求和项重新归类，化无序为有序.围绕这一核心，可从以下四个方向进行变式： 变数列参数（变式1），改变公比或界限，观察计数公式的变化. 变公共项情况（变式2），调整首项使两数列产生公共项，引入容斥原理.改变集合定义（变式3）,从“不超过”到“介于”，创新计数方式. 变求和结构（变式4）,去掉交错符号，聚焦分群本质. 变式1：在原题条件下，求 . 解：由 ，得 ，共 个. 由 ，得 ，共 个，则 . 此处放视频头像 不放文字 评注：对比原题 ， 的计数从整齐的 变为含对数取整，可见原题选择 是精心设计的. 变式2：已知数列 ， ， ， 为集合 中元素的个数，求 . 解：由 ，得 ，共 个. 由 ，得 ，即 ，共 个. 不超过 的公共项共 个，由容斥原理，得 . 此处放视频头像 不放文字 变式3：已知集合 中元素的个数为 . (1)若 ， ，求 . (2)若 ， 均为等差数列且 ， ，证明： 也为等差数列. (3)若 ， ，且 ，求数列 的前 项和 . 此处放视频头像 不放文字 解：(1)当 时， ， ，满足 的整数有 个.故 . (2)证明：因为 ， ，所以 . 所以 . 设数列 ， 的公差分别为 ， ，则 为常数.故 也为等差数列. 此处放视频头像 不放文字 此处放视频头像 不放文字 解：(3)由 ，得 ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，即 . 当 时， ， ， . 当 时， ， ， . 当 时， ， . 当 时， ， 则 . 当 时， . 当 时， . 当 时， .故 . 此处放视频头像 不放文字 变式4：若存在自然数 ，使得对于任意正整数 都有 ，则称数列 为 跳跃等差数列. (1)已知 为 跳跃等差数列，且 ， ， . (i)求 和 . (ii)求 的前 项和 . (2)已知 为 跳跃等差数列，且 ， ， ，若 ，证明： 能被 整除. 并找出一个 使得 是完全平方数. 此处放视频头像 不放文字 解：(1)(i)由 为 跳跃等差数列，得 ，则 ， 故 ， . （ii）[1]当 为偶数时，设 ，前 项包含 个奇数项和 个偶数项. 奇数项和： . 偶数项和： . 所以： ，即 . 此处放视频头像 不放文字 [2]当 为奇数时，设 ，利用偶数情形的 结果： ， 其中 ， 代入得 ，即 . 综上， . 此处放视频头像 不放文字 (2)因为 ， ，则 ，所以将 按 的余数分类，设 ， 为非负整数，由 ， ，得 ， 取 ，即 且 . 第 块和： . 则 此处放视频头像 不放文字 因为 为偶数，所以 为整数， 能被 整除. ， 时， ， 时， .故 或 时，均可使 是完全平方数. 此处放视频头像 不放文字 备考 此处放视频头像 不放文字 近年来，高考命题常从高等数学中萃取思想素材，将其转化为初等语言包装的创新型试题.本题便是一个典型范例：集合 的描述法定义背后，是离散数学中“分段常数函数的求和”模型；按对数取整重新分群的操作，本质上是阶梯函数积分的离散版本. 此处放视频头像 不放文字 值得强调的是，这一命题导向并非要求将高等数学知识下放到中学课堂，而是倡导教师以高阶视角审视问题本质——看清题目背后的数学结构，才能精准把握“为什么这样想”和“还能怎样变”. 本题的三种解法，从通法的奇偶分组与幂次分段，到巧法的差分化简，再到递推法的增量分析，归根结底都是同一思想的不同表达：将陌生问题转化为已知模型. 试题的立意是“高等”的，但解法是“初等”的；教师的视 野是“高等”的，但教学的语言是“初等”的. 此处放视频头像 不放文字 回归数列复习，本题给出了三点启示： 其一，夯实基本量法.等差数列由 和 唯一确定，等比数列由 和 唯一确定，这是数列通项问题的通性通法.复习中应让学生形成“条件→方程→检验”的解题本能，而非死记硬背题型. 其二，重视数学阅读. 的定义融合了集合描述法、存在量词与并集构造，学生需在考场上独立完成“符号翻译→结构发现→策略选择”的思维链条.日常教学中可将集合语言、逻辑用语渗透到数列、函数等板块，提升学生的符号解读能力. 此处放视频头像 不放文字 其三，强化分类讨论与化归转化.奇偶配对、幂次分段、错位相减——这些都不是孤立技巧，而是“分群求和”思想在不同环节的具体应用.复习中应引导学生从“术”的层面上升到“道”的层面，看到方法背后的统一性：将陌生问题拆解、归类，转化为已知模型.唯有如此，才能在面对陌生情境时，善于调用基本方法解决新问题，最终成长为创新型人才. 结语 今天这道题，完整演绎了分群思想的三重境界。 希望我们都能以此为镜，在教学中—— 不止于“算”，更走向“分”与“合”， 真正帮助学生搭建从“解题”到“思维”的成长阶梯。 一道好的高考题，如同一扇窗—— 透过它，学生看到分群、重排、交换的阶梯； 透过它，教师看到教、学、评的整体。 此处放视频头像 不放文字 谢谢倾听，请批评指正!