【课件】03 “新高考2卷 第19题 ”（南部）-特级教师拆解高考真题｜2026 全国数学讲题比赛全集（课件+视频）

此处放视频头象 不放文字 观式析构寻初等，借导溯源悟本质 ——2026年高考数学二卷19题的多解透视与教学思考 姓名:乔波、尹兴玉 所在单位：昆明市外国语学校、昆明润城学校 一、试题呈现 二、多解透析 三、错析溯源 四、变式训练 五、试题评析 六、解析链接 目录 一、试题呈现 已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)当时，已知函数，求的取值范围； (3)当，，求的最小值． 一、试题呈现 已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)当时，已知函数，求的取值范围； (3)当，，求的最小值． 方程思想 路径相通 思维路径 思路方法 溯源本质 工 具 工 具 第2,3问不等式恒成立求参问题 新的含参不等式恒成立求参问题 函数图象性质（单调性，增长快慢，凹凸性等） 用导数研究函数图象及性质 结论 解析结构 等价转化 构造函数 图象直观 数形结合 逻辑推理 二、多解透析 已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求； 方程思想 切点在曲线和切线上，得 导数的几何意义，得 ． 法1 已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求； 方程思想 切点在曲线和切线上，得 两函数在切点处变化率相同，得 法2 法2：二重零点的分析及解析 ． 第1问: 已知切线方程求参问题． 方程 思想 法1 常规方法 法2 二重 零点 法 第1问的思维导图 (2)当时，，求的取值范围． 代入 无法 分参 构造函数： 法1 不分参 (2)当时，，求的取值范围． 等价于求的取值范围． 构造函数： 等价于当求的取值范围． 用导数研究函数图象及性质: 得结论 等价转化 图象直观 逻辑推理 详见后面解析 法1通法 法1通法的分析及解析 数形结合 根据导函数正负性确定原函数的单调性+原函数关键点关键线 画草图． ， 法1通法的分析及解析 ， ， 不满足题意，舍去． 法1通法的分析及解析 ， ，不满足题意，舍去． 的草图 转化 法1通法的分析及解析 单调递减， ， 单调递增， 要使，只需 的草图 转化 综上 法1通法的分析及解析 法1通法 优化 (2)当时，已知函数，求的取值范围． (2)当时，，求的取值范围． 法1优化 法1通法的优化 说明： ①右端点值 ． 当时的情况（端点探路） (2)当时，已知函数，求的取值范围. 法2：端点效应的分析及解析 图象起点函数值应非负，(端点探路) . 得结论 逻辑推理 详见后面解析 法2 解得 不等式, 转化为，设， ， 不满足题意，舍去． ， 不满足题意，舍去． 法2 法2：端点效应的分析及解析 综上 (2)当时，，求的取值范围． 等价于 求的取值范围． 构造函数： 等价于当求的取值范围． 用导数研究函数图象及性质: 画草图． 得结论 等价转化 图象直观 逻辑推理 详见后面解析 法３的分析及解析 数形结合 同构 存在唯一的零点使得， 当时,单调递减， 当时，单调递增, 当时，， 在上单调递增， 又因为 当时，， 不合题意,舍去． 法３的分析及解析 ． 法３的分析及解析 (解析)． 不满足题意． 法３的分析及解析 综上 (解析)． 法3 C D E 由，得 当，只需要即可 当，， 所以． (2)当时，，求的取值范围． 等价于 求的取值范围． 构造函数： 等价于当求的取值范围． 用导数研究函数图象及性质: 画草图． 得结论 等价转化 图象直观 逻辑推理 详见后面解析 法4的分析及解析 数形结合 同构 的图象 分析：题目等价于的图象向右平移个单位对应的图象都落在它上方． 分析：题目等价于的图象向左平移个单位对应的图象都落在它上方． 法4的分析及解析 备注：前面解析同法3 法4 蓝在红上 C 用蓝色表示平移后的图像，总存在蓝色图象在红色下面， 不满足题意，舍去． 当图象至少移动长度才能保证轴右侧蓝色图象都在红色图象上方. 即． 后同法3． 综上 第2问: 不等式恒成立求参问题． 等价 变换 路径二 不代入转换 第2问的思维导图 思路3 同构 法3： 点平移角度 法4： 图象平移角度 路径一 代入转换 思路2 不分离 × 思路1 分参 法1：通法 法2：端点效应 因式分解 路径一 代入转换 思路2 分离参数 思路3 半分离 思路1 不分参 构造函数 构造函数 构造函数 思路1 不分参 通法 等价于 等价于 用导数研究函数图象及性质：根据二阶导的零点是否在定义域确定分类标准． 得结论 等价转化 图象直观 逻辑推理 详见后面解析 法1通法的分析及解析 转化 转化 法1的分析及解析 又， ，所以 转化 法1的分析及解析 ， 当 ， 使得 ， ， ， 不满足题意，舍去． 综上 转化 法1 法1的分析及解析 思考？ 隐零点 极限 优化 转化 法1的优化 法1的优化 综上 单调递减， 所以 所以 法２：端点探路的分析及解析 法2 等价于 (必要性探路) (同法1) 得结论 等价转化 图象直觉 逻辑推理 详见法1优化解析 ❗注意 需验证 分参 等价于 等价于 得结论 等价转化 图象直观 逻辑推理 详见后面解析 法３的分析及解析 又由洛必达法则得： ， 利用切线不等式： 所以 转化 切线不等式证明见下一页． ❗注意 法3 法3：洛必达法则的分析及解析 下证切线不等式． 切线不等式： 切线不等式证明． 法3：洛必达法则的分析及解析 思考？ 洛必达法则高观点 初等 解法 替换 法4：切线放缩的分析及解析 利用切线不等式： 所以 法4 法5 法5：飘带放缩的分析及解析 所以 飘带不等式 证明见下一页． ❗注意 利用飘带不等式： 结合不等式性质可得， 下证飘带不等式． 令 飘带不等式： 飘带不等式的证明． 法5：飘带放缩的分析及解析 法6 法６:半分离的分析 两函数图象起点一样 两函数图象都是增的， 两函数图象竖直距离越来越大， 所以 (端点探路) ❗注意，适合小题，大题严谨性不好保证． 图象直觉 第３问路径一的思维导图 思路3 半分离 路径一 代入转换 构造函数 构造函数 构造函数 思路1 不分参 法1 通法及优化 法2 端点探路1 法3 洛必达法则 法4 切线放缩 法5 飘带放缩 法6 适合小题 思路2 分参 路径二 不代入转换 证明： 恒成立 所以 (必要性探路) 法７的分析及解析 图象直觉 ❗注意 需验证 法７的分析及解析 (反证法) 当时，又，存在区间 所以 法７的分析及解析 (充分性) 当 ， 所以， 所以 所以，故 所以 恒成立，满足题意． 综上 法7 法8，9的分析 A C B Ｄ 错析： ① 说明图象是向下凸的， 用下凸函数定义得 ，从而． 漏洞？ 法8，9的分析 凸函数定义是在整个定义域满足上面不等式，本题只在时满足. ，这意味着：两端点的弯曲程度加起来必须为正 =本质是这个“对称曲率和”由负变正的临界点． 跳出凸函数的表象，回归到代数结构本身． 路径二 不代入转换 构造函数 法7 法8 法9 伪凸函数定义 第３问路径二的思维导图 第３问: 不等式恒成立求参问题． 等价 变换 思路２ 分参 路径一 代入转换 路径二 不代入转换 第３问的思维导图 思路３ 半分离 思路５ 同构 思路４ 端点探路 思路６ 伪 思路１ 不分参 法１： 通法及优化 法２： 端点探路１ 法３： 洛必达法则 法４： 切线不等式 法５： 飘带放缩 法６： 半分离 法７： 端点探路２ 法8：差同构＋几何意义 法9：商同构＋几何意义 法10：伪凸函数定义 溯源补漏洞 三、错析溯源 溯源1 凸函数的定义 溯源2 凸函数的等价描述 证明见解析链接 整体凸性 溯源3 教材溯源 （人教A版必修一 p101，T8) 8 ． (苏教版必修第一册(苏教版必修第一册 p149，T14 ) 17．已知函数，对任意的，试比较 14．试比较 直的，不凸 下凸，弦在上 下凸，弦在上， 上凸，弦在下， 弦 曲 溯源4 真题溯源 根据苏教版必修第一册改编 溯源4 真题溯源 （2022高考北京卷，T20） 20． ； ； (2020全国高考二卷，T21) 21．已知函数． (1) 若，求的取值范围； (2) 设时，讨论函数 的单调性． 上凸， 只有减区间， ， 构造函数 变换主元 四、变式训练 方法没变，变的是函数的外壳． 强化对本题蕴含的典型思想方法及本质的理解． 解析见试题链接 五、试题评析 1.试题特点 本题三问逐级递进：第一问考基础，第二问做分层，第三问选拔高阶思维．解法灵活，可分类、构造或数形结合，既考基础熟练度，又测综合推演力，契合“立足基础、凸显思维、分层遴选”的命题要求，是一道兼具基础性与综合性的优质试题． 2．核心素养 本题能够很好实现数学核心素养，及关键能力的考查.试题全面覆盖数学抽象（同构与假性凸性的结构识别）、逻辑推理（分类讨论与充分性验证）、数学运算（求导、极限与放缩）、直观想象（数形结合）、数学建模（恒成立问题模型转化）五大核心素养，同时重点考查了思维探究、运算求解、论证推理等关键能力。 ３．命题立意 ①高考试题日益倾向于对概念本质的理解．如本题第三问在形式上与“函数的凹凸性”相近，但本质并非判断函数自身的凸性，而是分析横坐标对称两点处的曲率能否形成正向补偿．这种“形似而神异”的设计，恰恰考查了学生不被表象迷惑、回归代数本质的能力，能很好的筛选出那些真正理解问题本质而非只记形式的学生． ３．命题立意 ②导数有区分度的题目正逐步落在“对函数结构的正确理解”上．比如：看到时，等价变换后，第一反应不应是机械求导，也不应满足套用“下凸函数”的标签，而应是多想想这个结构对应着函数图象的哪些性质，然后再借助导数这个工具去研究，即回归数学最本源的思考方式：从几何直观出发，用代数工具验证，但不被任何单一直观去绑架． 4．教学思考 ①立足通法、回归本源，才是朴素而有效的教学之道．教师应以更高的数学视角洞察问题内核，在初等通法与代数本质之间架设桥梁，而非盲目追求技巧或高等背景，这样既能提升教学的前瞻性与方法论深度，又能为国家培育具备创新潜质的优秀人才。 4．教学思考 ②教学中我们要培养学生一题多解，多解归一的思维．既要引导学生发散思维，尝试多种解法路径，更要带领他们回归原点，追问“这些方法为什么都能奏效”，当学生能透过方法的多样性看到代数结构的不变性，便真正掌握了“以不变应万变”的数学智慧． 《七律析构寻真》 观形析构辨初真，借导穷源悟本因． 一点双弦藏曲直，千般化代见经纶． 分合有道终归简，恒变无妨始向新． 莫道高阶多巧技，通途自在守常心． 结语 六、解析链接 证明： 则． 因为， 所以． 溯源２ 由于，所以函数在区间上单调递增， 所以，即，所以函数在区间上单调递减， 所以，即 所以，得证． 溯源２ 令， 则原题等价于对任意的恒成立，求的取值范围． 又，由，得，所以 当)时，，单调递减； 当时，，单调递增． 若 时， 不合题意． 若 时，取， 由在单调递增，得 ， 练１ 即 对任意的不恒成立，舍去． 若时，令，则， 由在单调递增，， 得，在单调递增， 又当时，， 所以．即． 又因为，所以，解得． 所以的取值范围是． 练１ 证明：得 恒成立 所以 (必要性探路) 练２ 当时，又，存在区间 所以 练２ 当 ， 所以， 所以 所以，故 所以 恒成立，满足题意．（充分性证明） 综上 练２ 由题意得定义域为，， 以为变量，构造中间函数， 则． 因为， 所以． 由于， 所以函数在区间上单调递增， 练３ 所以， 即， 所以，得证． 练３ 谢谢倾听，请批评指正! $